秦娟娟

(天津財(cái)經(jīng)大學(xué)商學(xué)院，天津 300222)

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時(shí)變供需下基于商業(yè)信用的零售商最優(yōu)訂貨策略

秦娟娟

(天津財(cái)經(jīng)大學(xué)商學(xué)院，天津 300222)

論文在時(shí)變供需環(huán)境下，即市場(chǎng)需求為斜坡式時(shí)間函數(shù)及補(bǔ)貨率依賴于市場(chǎng)需求情境下，探討了基于商業(yè)信用的供應(yīng)鏈中零售商最優(yōu)訂貨策略。首先，根據(jù)商業(yè)信用期和零售商補(bǔ)貨周期的關(guān)系，分兩種情形構(gòu)建了零售商庫(kù)存模型；其次，根據(jù)零售商的庫(kù)存模型，證明了其最優(yōu)解的存在，并給出相關(guān)的命題和算法來(lái)求解零售商的最優(yōu)庫(kù)存策略；最后，通過數(shù)值算例和靈敏度分析來(lái)論證文中的有關(guān)結(jié)論。研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)供應(yīng)商給予零售商的商業(yè)信用期較短時(shí)，此時(shí)市場(chǎng)需求仍處于增長(zhǎng)期，隨著市場(chǎng)需求穩(wěn)定時(shí)間點(diǎn)的增大，零售商的最優(yōu)訂貨周期逐漸減小，最優(yōu)訂貨量和年費(fèi)用也逐漸減??；當(dāng)供應(yīng)商給予零售商的商業(yè)信用期較長(zhǎng)時(shí)，此時(shí)市場(chǎng)需求已趨于穩(wěn)定期，隨著市場(chǎng)需求穩(wěn)定時(shí)間點(diǎn)的增大，零售商的最優(yōu)訂貨周期逐漸增大，最優(yōu)訂貨量和年費(fèi)用也逐漸增大；當(dāng)供應(yīng)商生產(chǎn)與市場(chǎng)需求依賴性逐漸增大時(shí)，零售商的最優(yōu)訂貨周期逐漸增大，最優(yōu)訂貨量及年費(fèi)用也逐漸增大。

商業(yè)信用；斜坡式時(shí)間函數(shù)；補(bǔ)貨率依賴于需求；訂貨策略

1 引言

商業(yè)信用是賣方向買方提供的一種信用，允許買方從賣方購(gòu)得商品而不需要立刻支付貨款，是企業(yè)間普遍采用的短期融資方式。據(jù)金融時(shí)報(bào)報(bào)道，2007年全球商品貿(mào)易的資金90%是通過商業(yè)信用來(lái)提供的，約25萬(wàn)億美元；2009年3月，Wal-Mart的資產(chǎn)負(fù)債表中，有28.8萬(wàn)億美元的應(yīng)付賬款，占其持有庫(kù)存的75%。在供應(yīng)商提供的商業(yè)信用期到達(dá)之前，零售商可以通過合理利用所積累的銷售收入獲得額外的利息收入；當(dāng)超過了商業(yè)信用期時(shí)，零售商則要支付高額的利息支出費(fèi)用。

現(xiàn)實(shí)中，隨著技術(shù)的快速發(fā)展和消費(fèi)者需求的快速變化，許多產(chǎn)品面臨著更短的生命周期，新產(chǎn)品的引入更加頻繁，如國(guó)美的電子數(shù)碼產(chǎn)品銷售。描述新產(chǎn)品銷售較常用的函數(shù)是斜坡式時(shí)間函數(shù)，即市場(chǎng)需求隨著時(shí)間線性增長(zhǎng) (市場(chǎng)增長(zhǎng)階段)，在某特定的時(shí)間，市場(chǎng)需求達(dá)到穩(wěn)定且保持該穩(wěn)定狀態(tài)(市場(chǎng)成熟階段)。除了新產(chǎn)品引入，許多節(jié)日銷售相關(guān)產(chǎn)品，如國(guó)慶等假日產(chǎn)品的促銷，實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)這些商品的市場(chǎng)需求也符合斜坡式時(shí)間函數(shù)。另一方面，隨著市場(chǎng)需求的變化，其供應(yīng)商會(huì)逐漸基于市場(chǎng)需求來(lái)調(diào)整生產(chǎn)策略，如新產(chǎn)品引入過程中，當(dāng)需求趨于旺盛時(shí)，供應(yīng)商會(huì)相應(yīng)的提高生產(chǎn)率， 間市場(chǎng)需求和補(bǔ)貨依賴于市場(chǎng)需求下，基于商業(yè)信用的供應(yīng)鏈庫(kù)存優(yōu)化問題，成為供應(yīng)加快補(bǔ)貨速率；當(dāng)新產(chǎn)品需求趨于成熟時(shí)，則供應(yīng)商的生產(chǎn)也趨于穩(wěn)定。因此，基于上述情景，如何構(gòu)建求解商業(yè)信用影響下，斜坡式時(shí)市場(chǎng)需求及生產(chǎn)依賴與需求下的庫(kù)存優(yōu)化問題，成為供應(yīng)鏈中企業(yè)廣泛關(guān)注的一個(gè)問題，但相關(guān)文獻(xiàn)很少探討該問題。

傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型(EOQ)假設(shè)采購(gòu)商收到供應(yīng)商的貨物就立即支付全額的貨款，沒有考慮到采購(gòu)商向客戶提供的商業(yè)信用期。Goyal[1]首先提出了允許延期支付的商業(yè)信用下的EOQ模型，隨后又有不少學(xué)者對(duì)該模型進(jìn)行了多方面的擴(kuò)展。Huang Yungfu[2-3]]分析了二階信用期限下采購(gòu)商的最優(yōu)庫(kù)存更新策略。賈濤等[4]在兩級(jí)商業(yè)信用下探討存在顧客預(yù)付的易腐蝕品庫(kù)存模型。Thangam[5]分析了類似的問題情境，但是其利息收入和利息支出的計(jì)算方法更加合理。有些學(xué)者考慮了不同支付期限下利息率的差異，如Goyal等[6]和Chung[7]在商業(yè)信用限期之后引入了“regular interest”。Soni和Shah[8]討論了三階段利率模型，包括免息期，利息支出率及利息支出率。此外，還有許多學(xué)者從不同的角度對(duì)商業(yè)信用下企業(yè)的庫(kù)存決策問題進(jìn)行研究，如邱昊等[9]研究了現(xiàn)金折扣問題；Huang等[10]探討了訂單處理成本的降低；Tsao[11]分析了兩類零售商業(yè)折扣策略：多商品下促銷努力成本共享及價(jià)格折扣策略。秦娟娟[12]考慮商業(yè)信用所帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)，在固定市場(chǎng)需求情景下，研究壞賬和延期支付策略下零售商的最優(yōu)訂貨策略。

但許多文章在構(gòu)建商業(yè)信用下庫(kù)存管理模型時(shí)，常假設(shè)市場(chǎng)需求率是固定的。然而，在企業(yè)運(yùn)作中，市場(chǎng)需求是經(jīng)常變化的且會(huì)受到多種因素的影響，如產(chǎn)品價(jià)格、庫(kù)存水平、產(chǎn)品生命周期階段等。因此，一些學(xué)者在市場(chǎng)需求是變化的假設(shè)條件下，探討了商業(yè)信用下企業(yè)的庫(kù)存決策，如Tsao和Sheen[13]在需求依賴于價(jià)格和時(shí)間的函數(shù)下，探討了易腐蝕品的最優(yōu)定價(jià)、促銷及補(bǔ)貨策略；Soni和Shah[14]討論了需求依賴于庫(kù)存水平的二階延期支付策略。Sarkar[15]在需求依賴于時(shí)間及有限補(bǔ)貨率情境下探討了商業(yè)信用下的EOQ模型。Diwakar和wang Lei[16]在隨機(jī)需求假設(shè)下，構(gòu)建了商業(yè)信用下零售商運(yùn)營(yíng)的離散時(shí)間模型。Chen等[17]設(shè)市場(chǎng)需求依賴于商業(yè)信用，探討了零售商的最優(yōu)訂貨策略。Jaggi等[18]假設(shè)市場(chǎng)需求受商業(yè)信用的影響，探討了兩級(jí)商業(yè)信用支付下零售商的最優(yōu)庫(kù)存及最優(yōu)商業(yè)信用政策。Giri和Maiti等[19]假設(shè)市場(chǎng)需求與價(jià)格及商業(yè)信用期相關(guān)，探討了兩級(jí)延期支付策略下供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨策略。

然而，在斜坡式時(shí)間市場(chǎng)需求函數(shù)下基于商業(yè)信用探討供應(yīng)鏈中的庫(kù)存優(yōu)化問題的還沒有受到學(xué)者們太多的關(guān)注，僅有Huang等[20]在斜坡式市場(chǎng)需求下探討了單個(gè)產(chǎn)品的最優(yōu)訂貨策略。Darzanou和Skouri[21]在市場(chǎng)需求為斜坡式市場(chǎng)需求函數(shù)下，考慮缺貨影響，探討了易逝品的兩級(jí)商業(yè)信用支付下的最優(yōu)庫(kù)存更新策略。Singh和Sharma[22]也探討了易逝品、斜坡式市場(chǎng)需求函數(shù)及允許缺貨下兩級(jí)商業(yè)信用支付下的最優(yōu)庫(kù)存更新策略，并考慮了產(chǎn)品保存技術(shù)的影響。

但是，這些研究均假設(shè)補(bǔ)貨率為無(wú)限的或?yàn)橐还潭ㄑa(bǔ)貨率。然而，現(xiàn)實(shí)中，當(dāng)市場(chǎng)需求提高時(shí)，供應(yīng)商也會(huì)相應(yīng)的提高生產(chǎn)率，加快補(bǔ)貨速度；如果市場(chǎng)需求萎縮時(shí)，供應(yīng)商則會(huì)降低生產(chǎn)率，補(bǔ)貨速度相應(yīng)的也會(huì)降低。Chaudhuri[23]和Skouri等[24]分析了斜坡式市場(chǎng)需求及生產(chǎn)依賴于需求下的庫(kù)存優(yōu)化問題，但其沒有考慮商業(yè)信用的影響。

因此，基于上述文獻(xiàn)分析，可見在斜坡式時(shí)間市場(chǎng)需求和補(bǔ)貨依賴于市場(chǎng)需求的市場(chǎng)環(huán)境下，探討基于商業(yè)信用的供應(yīng)鏈庫(kù)存優(yōu)化問題還沒有相關(guān)的文獻(xiàn)研究。本文從以下幾個(gè)方面拓展經(jīng)典的經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型：基于商業(yè)信用來(lái)探討EOQ模型；引入斜坡式時(shí)間的市場(chǎng)需求函數(shù)；補(bǔ)貨率依賴于需求率，即補(bǔ)貨率為時(shí)間的函數(shù)，進(jìn)而在時(shí)變供需環(huán)境下探討基于商業(yè)信用的零售商最優(yōu)庫(kù)存優(yōu)化問題。

2 符號(hào)表示與假設(shè)條件

假設(shè)條件主要有：

1)供應(yīng)鏈系統(tǒng)有單個(gè)供應(yīng)商和單零售商組成，僅涉及到一種產(chǎn)品的生產(chǎn)和銷售。

2)供應(yīng)鏈中，訂貨提前期為0，且不允許缺貨。

3)系統(tǒng)中，初始庫(kù)存水平和最終庫(kù)存水平都為0。

4)產(chǎn)品市場(chǎng)需求為隨時(shí)間變化的斜坡式需求函數(shù)：R=f(t)=D0[t-(t-μ)H(t-μ)]，t≥0, D0和μ也為正的常數(shù)值。H(t-μ)為 Heaviside函數(shù)：

5)供應(yīng)商的生產(chǎn)率為k=rf(t),r(>1)為常數(shù)。在供應(yīng)商的生產(chǎn)周期內(nèi)，一旦產(chǎn)品被生產(chǎn)出來(lái)就立即運(yùn)送給零售商，不考慮其運(yùn)輸時(shí)間。也就是說，零售商的補(bǔ)貨率為k。

6)供應(yīng)商給予零售商商業(yè)信用期限M。當(dāng)T≥M時(shí)，零售商需要為時(shí)間區(qū)間為[M, T]中未銷售的庫(kù)存支出一定的利息，利息支出率為Ic；當(dāng)T≤M時(shí)，零售商不需要支付任何的利息支出。在商業(yè)信用期M之前，零售商不需要支付貨款，可以利用其銷售收入獲得一定的利息收入，利息收入率為Ie。

7)生產(chǎn)周期時(shí)間t1大于時(shí)間點(diǎn)μ，且時(shí)間點(diǎn)μ小于零售商補(bǔ)貨周期T。否則，斜坡式需求函數(shù)則為隨時(shí)間變化的遞增函數(shù)，不是本研究所要探討的主要問題。

本文用的主要符號(hào)如下：A: 單個(gè)訂單的訂貨費(fèi)用；t1:庫(kù)存水平達(dá)到最大的時(shí)間點(diǎn)；S: 最大庫(kù)存水平；ch: 單位庫(kù)存持有成本(不計(jì)利息支出)；p: 單位銷售價(jià)格；Ie: 單位利息支出率；Ic: 單位利息收入率；M: 供應(yīng)商提供給零售商的商業(yè)信用期；I(t): 隨時(shí)間變化的庫(kù)存水平t∈[0,T]；T: 庫(kù)存補(bǔ)貨周期；TRC(T):年總費(fèi)用函數(shù)；基于上述的符號(hào)和假設(shè)，我們可以構(gòu)建時(shí)變供需環(huán)境下，基于商業(yè)信用的零售商最優(yōu)訂貨模型。

3 數(shù)學(xué)模型

3.1 庫(kù)存水平

論文研究的庫(kù)存系統(tǒng)如下：首先，在初始時(shí)間點(diǎn)，零售商的庫(kù)存水平為0，零售商從時(shí)間點(diǎn)t=0開始補(bǔ)貨直到t=t1停止，此時(shí)零售商庫(kù)存水平在時(shí)間點(diǎn)t=t1達(dá)到最大值。其次，隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)的庫(kù)存水平因市場(chǎng)需求而逐漸降低，直到t=T時(shí)，零售商的庫(kù)存水平又降為0。因此，零售商隨時(shí)間變化的庫(kù)存水平I(t)可以用如下的微分方程式來(lái)表示。

在市場(chǎng)增長(zhǎng)階段，即位于時(shí)間區(qū)間[0,μ]，需求率為D0t，補(bǔ)貨率為rD0t。因此，零售商時(shí)變的庫(kù)存水平為：

dI1(t)/dt=(r-1)D0t, 0≤t≤μ

(1)

其滿足的邊界條件為I1(0)=0。

在產(chǎn)品市場(chǎng)成熟階段[μ,t1]，市場(chǎng)需求率為D0μ，補(bǔ)貨率為rD0μ。因此，零售商時(shí)變的庫(kù)存水平為：

dI2(t)/dt=(r-1)D0μ,μ≤t≤t1

(2)

其滿足的邊界條件為I2(t1)=S。

在市場(chǎng)成熟階段[t1,T]，市場(chǎng)需求率為D0μ，補(bǔ)貨停止。因此，此階段時(shí)變的庫(kù)存水平為：

dI3(t)/dt=-D0μ,t1≤t≤T

(3)

其滿足的邊界條件為I3(t1)=S和I3(T)=0

由上述式子(1-3)，我們可以求得庫(kù)存水平Ii(t) (i=1,2,3) 分別為

I1(t)=(r-1)D0t2/2,0≤t≤μ

(4)

(5)

I3(t)=D0μ(T-t),t1≤t≤T

(6)

根據(jù)邊界條件I1(t1)=I3(t1)=s得:

(r-1)D0μt1-(r-1)D0μ2/2=D0μ(T-t1)

(7)

由式子(7)，易求得：

t1=[T+(r-1)μ/2]/r

(8)

3.2 年相關(guān)費(fèi)用

對(duì)零售商而言，年相關(guān)費(fèi)用主要有以下幾項(xiàng)組成：訂貨費(fèi)用，庫(kù)存持有成本，利息收入和利息支出。其中：年訂貨費(fèi)用為A/T。

(1)年庫(kù)存持有成本(不計(jì)利息支出)可基于各時(shí)間區(qū)間的庫(kù)存水平來(lái)求解，表示為：

(2)(2)對(duì)于年利息支出和年利息收入，論文分M≤μ及M>μ兩種情形分別討論。當(dāng)M≤μ時(shí)，即供應(yīng)商提供給零售商的商業(yè)信用期小于產(chǎn)品市場(chǎng)需求穩(wěn)定的時(shí)間點(diǎn)，市場(chǎng)需求處于增長(zhǎng)階段；當(dāng)M>μ時(shí)，供應(yīng)商提供給零售商的商業(yè)信用期大于產(chǎn)品市場(chǎng)需求穩(wěn)定的時(shí)間點(diǎn)，產(chǎn)品的市場(chǎng)需求已處于穩(wěn)定階段。

情形1: M≤μ

在此情景下，供應(yīng)商提供給零售商的商業(yè)信用期小于產(chǎn)品市場(chǎng)需求穩(wěn)定的時(shí)間點(diǎn)，市場(chǎng)需求處于增長(zhǎng)階段。同時(shí)，由假設(shè)條件μ≤t1≤T，生產(chǎn)周期時(shí)間t1大于時(shí)間點(diǎn)μ，且時(shí)間點(diǎn)μ小于零售商補(bǔ)貨周期T，可知當(dāng)M≤μ時(shí)，僅有一種情形，即M≤μ≤t1≤T。

情形 1-1M≤μ≤t1≤T

對(duì)于零售商而言，在時(shí)間區(qū)間[M,T]中，零售商需要為未售出的庫(kù)存商品支付一定的利息，因此其利息支出為：

在時(shí)間區(qū)間[0,M]，供應(yīng)商提供給零售商商業(yè)信用期限內(nèi)，零售商可以利用已銷售商品獲得一定的利息收入為：

情形 2: M>μ

此情景下，供應(yīng)商提供給零售商的商業(yè)信用期大于產(chǎn)品市場(chǎng)需求穩(wěn)定的時(shí)間點(diǎn)，產(chǎn)品的市場(chǎng)需求已處于穩(wěn)定。由假設(shè)條件μ≤t1≤T，可知當(dāng)M>μ時(shí)，有三種情形:

μ≤t1≤M≤T,μ≤M≤t1≤T,μ≤t1≤T

情形2-1: μ≤t1≤M≤T

對(duì)于零售商而言，在時(shí)間區(qū)間[M,T]中，零售商需要支付一定的利息，其利息支出為：

在時(shí)間區(qū)間[0,M]，零售商可以用已銷售的商品獲得一定的利息收入：

情形 2-2: μ≤M≤t1≤T

此情形下，對(duì)于零售商而言，在時(shí)間區(qū)間[M,T]中，其利息支出為：

在時(shí)間區(qū)間[0,M]，零售商可以用已銷售的商品獲得一定的利息收入：

情形2-3: μ≤t1≤T

此情形下，在時(shí)間點(diǎn)M，零售商已經(jīng)沒有了庫(kù)存商品，因此零售商的利息支出為0。

在時(shí)間區(qū)間[0,M]，零售商可以用已銷售的商品獲得一定的利息收入：

rD0(M-T)μ2/2+rD0(M-T)(t1-μ)]

4 模型求解

4.1 情形1:M≤μ

由假設(shè)條件μ≤t1≤T及式(8)，很容易證得T≥μ(r+1)/2。因此，當(dāng)M≤μ時(shí)，零售商的年費(fèi)用函數(shù)為：

TRC1(T)=TRC11,M≤μ≤t1≤T

其中：

令：

α=-A-(ch+cpIc)D0μ3(r-1)(1/24+1/8r)+D0M3[cpIc(r-1)+sIe]/6≥0零售商的最優(yōu)訂貨周期可由命題1求得。零售商的最優(yōu)訂貨水平為

命題1

證明：見附錄1。

4.2 情形 2:M>μ

當(dāng)M>μ,易知M>μ>μ/2，因此，可得Mr-(r-1)μ/2>M。對(duì)零售商而言，其年費(fèi)用函數(shù)為：

其中：

TRC21=A/T+ch[(r-1)D0μ3/6+rD0μt12/2-(r-1)D0μ2t1/2+D0μT2/2-D0μt1T]/T+cpIc(D0μT2/2-D0μTM+D0μM2/2)/T-sIe(-MD0μ2/2+D0μ3/6+D0μM2/2)/T

TRC22=A/T+ch[(r-1)D0μ3/6+rD0μt12/2-(r-1)D0μ2t1/2+D0μT2/2-D0μt1T]/T+cpIc(-D0t13/3+D0M3/3-D0μ2M/2-D0μTM+D0μ2M+D0μT2-D0μ2T/2)/T-sIe(-MD0μ2/2+D0μ3/6+D0μM2/2)/T

TRC23=A/T+ch[(r-1)D0μ3/6+rD0μt12/2-(r-1)D0μ2t1/2+D0μT2/2-D0μt1T]/T-sIe[MD0T2/2-D0T3/3+rD0(M-T)μ2/2+rD0(M-T)(t1-μ)]/T

對(duì)零售商而言，其目標(biāo)函數(shù)為minTRC2(T)。為了求得零售商的最優(yōu)解，我們對(duì)函數(shù)TRC2(T)的三個(gè)分枝函數(shù)分別求其對(duì)時(shí)間T的一階、二階導(dǎo)數(shù)。

令：

β1=-A-chD0μ3(r-1)(1/24+1/8r)+sIeD0μ(-Mμ/2+μ2/6+M2/2)-cpIcD0μM2/2

與命題1證明類似，易得命題2。

命題2

1)如果β1<0，則當(dāng)T∈(0,∞)時(shí)，TRC21是決策變量T的凸函數(shù)，存在極小值點(diǎn)。

2)如果β1≥0，則當(dāng)T∈(0,∞)時(shí)，TRC21是決策變量T的增函數(shù)。

證明：略。

令：

β2=-A-ch[(r-1)D0μ3/6-D0(r-1)2μ3/8r]+sIe(-MD0μ2/2+D0μ3/6+D0μM2/2)-cpIc(D0M3/3-D0μ2M/2+D0μ2M)

與命題1證明類似，可得命題3。

命題3

1)如果β2<0，則當(dāng)T∈(0,∞)時(shí)，TRC22是決策變量T的凸函數(shù)，存在極小值點(diǎn)。

2)如果β2≥0，則當(dāng)T∈(0,∞)時(shí)，TRC22是決策變量T的增函數(shù)。

證明：略。

令：

β3=-A-ch[(r-1)D0μ3/6-D0(r-1)2μ3/8r]-sIe(MrD0μ2/2+(r+1)D0Mμ/2)

與命題1證明類似，可得命題4。

命題4

1)如果β3<0，則當(dāng)T∈(0,∞)時(shí)，TRC23是決策變量T的凸函數(shù)，存在極小值點(diǎn)。

2)如果β3≥0，則當(dāng)T∈(0,∞)時(shí)，TRC23是決策變量T的增函數(shù)。

證明：略。

在上述約束條件下，情形2中零售商的年費(fèi)用函數(shù)可轉(zhuǎn)化為以下兩種情形。

(1)如果Tα

根據(jù)上文分析，我們可采用如下算法來(lái)求解零售商的最優(yōu)庫(kù)存更新策略。

算法1Tα

步驟3.2: 當(dāng)β3≥0，

步驟4:求解

(2)如果M≤Tα，則有：

我們可采用如下算法來(lái)求解零售商的最優(yōu)庫(kù)存更新策略。

算法2M≤Tα

步驟2.2: 當(dāng)β3≥0，

5 算例及靈敏度分析

5.1 數(shù)值算例

算例 1 (M≤μ)

算例2 (M>μ)

當(dāng)M≤(r+1)μ/2時(shí)，相關(guān)參數(shù)值如下：?jiǎn)挝挥唵斡嗀涃M(fèi)用A=$50,D0=500，r=2，產(chǎn)品銷售單價(jià)為s=$100，單位庫(kù)存持有成本ch=$5，產(chǎn)品單位購(gòu)買成本cp=$40，Ie=0.15，Ic=0.08，M=0.5年，μ=0.4年。

當(dāng)(r+1)μ/2≤M時(shí)，單位訂單訂貨費(fèi)用A=$250,D0=500，r=2，產(chǎn)品銷售單價(jià)為s=$40，單位庫(kù)存持有成本ch=$5，產(chǎn)品單位購(gòu)買成本cp=$20，Ie=0.15，Ic=0.08，M=0.7年，μ=0.4年。

5.2 靈敏度分析

從表1和表2的各參數(shù)對(duì)最優(yōu)解的靈敏度分析，可以得出以下結(jié)論：

1)隨著供應(yīng)商給予零售商商業(yè)信用期的延長(zhǎng)，零售商的最優(yōu)訂貨周期逐漸減小(或不變)，最優(yōu)訂貨量也逐漸減小(或不變)，其年費(fèi)用則逐漸減小。由此可見，零售商盡可能利用供應(yīng)商提供的商業(yè)信用期，縮短訂貨周期和每次的訂貨量。

2)當(dāng)M≤μ時(shí)，供應(yīng)商給予零售商的商業(yè)信用期較短時(shí)，即小于市場(chǎng)需求穩(wěn)定的時(shí)間點(diǎn)，此時(shí)市場(chǎng)需求仍處于增長(zhǎng)期，隨著市場(chǎng)需求穩(wěn)定時(shí)間點(diǎn)的增大，零售商的最優(yōu)訂貨周期逐漸減小，最優(yōu)訂貨量和年費(fèi)用也逐漸減小；當(dāng)M>μ時(shí)，即供應(yīng)商給予零售商的商業(yè)信用期較長(zhǎng)時(shí)，即大于市場(chǎng)需求穩(wěn)定的時(shí)間點(diǎn)，此時(shí)市場(chǎng)需求已趨于穩(wěn)定期，隨著市場(chǎng)需求穩(wěn)定時(shí)間點(diǎn)的增大，零售商的最優(yōu)訂貨周期逐漸增大，最優(yōu)訂貨量和年費(fèi)用也逐漸增大。

表1 相關(guān)參數(shù)的靈敏度分析M≤μ

基本參數(shù)值：A=$250,D0=500,r=2,s=$40,ch=$5,cp=$20,Ie=0.15,Ic=0.08,M=0.3年,μ=0.5年。

3)隨著供應(yīng)商生產(chǎn)率與市場(chǎng)需求依賴性的逐漸增大，零售商的最優(yōu)訂貨周期逐漸增大，最優(yōu)訂貨量及年費(fèi)用也逐漸增大。當(dāng)供應(yīng)商的補(bǔ)貨能力較強(qiáng)時(shí)，零售商不需要頻繁訂貨，訂貨周期較長(zhǎng)，每次訂貨量較多；但是，如果供應(yīng)商的補(bǔ)貨能力較弱時(shí)，零售商則傾向于提高訂貨頻率，因此相應(yīng)的訂貨周期和訂貨量則減小。因此，供應(yīng)商的供貨能力也會(huì)直接影響到零售商的最優(yōu)補(bǔ)貨決策。

表2 相關(guān)參數(shù)的靈敏度分析M>μ

基本參數(shù)值：A=$250,D0=500,r=2,s=$40,ch=$5,cp=$20,Ie=0.15,Ic=0.08,M=0.7年,μ=0.5年。

4)隨著零售商訂貨費(fèi)用的增加，零售商的最優(yōu)訂貨周期、最優(yōu)訂貨批量和年費(fèi)用函數(shù)逐漸增加(或不變)。結(jié)論表明，當(dāng)零售商的單次訂貨費(fèi)用較高時(shí)，零售商需要提高每次的訂貨量來(lái)減少訂貨的次數(shù)。

5)隨著市場(chǎng)需求率D0的增加，零售商的最優(yōu)訂貨周期減小(或不變)。當(dāng)市場(chǎng)需求變化較快時(shí)，零售商將提高訂貨頻率來(lái)滿足市場(chǎng)需求。當(dāng)M≤μ時(shí)，零售商的年費(fèi)用函數(shù)隨著參數(shù)D0的增大逐漸增大；而當(dāng)M>μ時(shí)，零售商的年費(fèi)用函數(shù)隨著參數(shù)D0的增大逐漸減小。

6)隨著零售商單位庫(kù)存持有成本的增加，零售商的最優(yōu)訂貨周期及最優(yōu)訂貨批量逐漸減小(或不變)，但是年費(fèi)用函數(shù)逐漸增加。因此，對(duì)零售商而言，當(dāng)單位庫(kù)存持有成本增大時(shí)，零售商將減少訂貨周期和訂貨批量來(lái)降低庫(kù)存持有水平，進(jìn)而節(jié)約相關(guān)的成本。

7)隨著零售商單位利息收入率Ie的增加，零售商的最優(yōu)訂貨周期、最優(yōu)訂貨批量和年費(fèi)用函數(shù)逐漸減小(或不變)。因此，對(duì)零售商而言，當(dāng)單位利息收入較高時(shí)，其年費(fèi)用逐漸減少。而隨著利息支出率Ic的逐漸增大，零售商的最優(yōu)訂貨周期及最優(yōu)訂貨量則逐漸減小(或不變)，年費(fèi)用函數(shù)逐漸增加。

6 結(jié)語(yǔ)

本文在市場(chǎng)需求為斜坡式時(shí)間函數(shù)及補(bǔ)貨率依賴于市場(chǎng)需求的情境下，探討了商業(yè)信用模式下，供應(yīng)鏈中零售商的最優(yōu)訂貨策略：分兩種情形構(gòu)建了零售商庫(kù)存模型；根據(jù)零售商的庫(kù)存模型，證明其最優(yōu)解的存在，并給出相關(guān)的命題和算法來(lái)求解零售商的最優(yōu)庫(kù)存策略；通過數(shù)值算例和靈敏度分析來(lái)驗(yàn)證文中的有關(guān)結(jié)論。

研究發(fā)現(xiàn)：隨著供應(yīng)商給予零售商商業(yè)信用期的延長(zhǎng)，零售商的最優(yōu)訂貨周期逐漸減小(或不變)，最優(yōu)訂貨量也逐漸減小(或不變)，其年費(fèi)用則逐漸減小；當(dāng)供應(yīng)商給予零售商的商業(yè)信用期較短時(shí)，即小于市場(chǎng)需求穩(wěn)定的時(shí)間點(diǎn)，此時(shí)市場(chǎng)需求仍處于增長(zhǎng)期，隨著市場(chǎng)需求穩(wěn)定時(shí)間點(diǎn)的增大，零售商的最優(yōu)訂貨周期逐漸減小，最優(yōu)訂貨量和年費(fèi)用也逐漸減??；當(dāng)供應(yīng)商給予零售商的商業(yè)信用期較長(zhǎng)時(shí)，即大于市場(chǎng)需求穩(wěn)定的時(shí)間點(diǎn)，此時(shí)市場(chǎng)需求已趨于穩(wěn)定期，隨著市場(chǎng)需求穩(wěn)定時(shí)間點(diǎn)的增大，零售商的最優(yōu)訂貨周期逐漸增大，最優(yōu)訂貨量和年費(fèi)用也逐漸增大；隨著供應(yīng)商生產(chǎn)率與需求依賴性的逐漸增大，零售商的最優(yōu)訂貨周期逐漸增大，最優(yōu)訂貨量及年費(fèi)用也逐漸增大。當(dāng)供應(yīng)商的補(bǔ)貨能力較強(qiáng)時(shí)，零售商不需要頻繁訂貨，訂貨周期較長(zhǎng)，每次訂貨量較多；但是，如果供應(yīng)商的補(bǔ)貨能力較弱時(shí)，零售商則傾向于提高訂貨頻率，因此相應(yīng)的訂貨周期和訂貨量則減小。因此，供應(yīng)商的供貨能力也會(huì)直接影響到零售商的最優(yōu)補(bǔ)貨決策。

附錄: 命題1證明

TRC1對(duì)時(shí)間T的一階導(dǎo)數(shù)為：

?TRC11/?T={-A-(ch+cpIc)[(r-1)D0μ3/6-D0(r-1)2μ3/8r-(r-1)D0μT2/2r]+cpIc(r-1)D0M3/6+sIeD0M3/6}/T2;

TRC1對(duì)時(shí)間T的二階導(dǎo)數(shù)為：

?2TRC11/?T2=-2{-A-(ch+cpIc)[(r-1)D0μ3/6-D0(r-1)2μ3/8r]+cpIc(r-1)D0M3/6+sIeD0M3/6}/T3

令：

f(T)=-A-(ch+cpIc)[(r-1)D0μ3/6-D0(r-1)2μ3/8r-(r-1)D0μT2/2r]+cpIc(r-1)D0M3/6+sIeD0M3/6。

如果

α=-A-(ch+cpIc)D0μ3(r-1)(1/24+1/8r)+D0M3[cpIc(r-1)+sIe]/6≥0

[1] Goyal S K. Economic order quantity under conditions of permissible delay in payments [J]. Journal of the Operational Research Society, 1985, 36(4):335-338.

[2] Huang Yungfu. Optimal retailer’s ordering policies in the EOQ model under trade credit financing [J]. Journal of the Operational research society, 2003, 54 (9): 1011 -1015.

[3] Huang Yungfun. Optimal retailer’s replenishment decisions in the EPQ model under two levels of trade credit policy [J].European Journal of Operational Research, 2007, 176(3): 1577-1591.

[4] 賈濤, 鄭毅, 常建龍. 兩級(jí)商業(yè)信用下存在顧客預(yù)付的易腐品庫(kù)存模型[J].中國(guó)管理科學(xué), 2013, 21 (6): 80-87

[5] Thangam A. Optimal price discounting and lot-sizing policies for perishable items in a supply chain under advance payment scheme and two-echelon trade credits [J].International Journal of Production Economics, 2012, 139 (1):459-472.

[6] Goyal S K, Teng J T, Wang Chuntao. Optimal ordering policies when the supplier provides a progressive interest scheme [J]. European Journal of Operational Research, 2007, 179(2): 404-413.

[7] Chung KJ. A note on optimal ordering policies when the supplier provides a progressive interest scheme [J]. European Journal of Operational Research, 2009, 199(2):611-617.

[8] Soni H, Shah NH. Optimal ordering policy for stock-dependent demand under progressive payment scheme [J]. European Journal of Operational Research, 2008, 184(1): 91-100.

[9] 邱昊，梁樑，楊樹.供應(yīng)商給定延期付款和現(xiàn)金折扣策略下的零售商最優(yōu)庫(kù)存策略[J].系統(tǒng)工程，2006,24(9):18-23.

[10] Huang C K, Tsai D M, Wu Jicheng,et al. An integrated vendor-buyer inventory model with order processing cost reduction and permissible delay in payments [J]. European Journal of Operational Research, 2010, 202 (2):473-478.

[11] Tsao Y C. Managing multi-echelon multi-item channels with trade allowances under credit period [J]. International Journal of Production Economics, 2009, 127(2): 226-237.

[12] 秦娟娟. 延期支付條件下考慮壞賬影響的三階段經(jīng)濟(jì)訂貨模型[J].中國(guó)管理科學(xué), 2012, 20(6): 94-101.

[13] Tsao Y C, Sheen G J. Dynamic pricing, promotion and replenishment policies for a deteriorating item under permissible delay in payments [J]. Computers & Operations Research, 2008, 35(11): 3562-3580.

[14] Soni H, Shah N H. Optimal ordering policy for stock-dependent demand under progressive payment scheme [J]. European Journal of Operational Research, 2008, 184(1): 91-100.

[15] Biswajit Sarkar. An EOQ model with delay in payments and time varying deterioration rate [J]. Mathematical and Computer Modeling, 2012, 55(3-4): 367-377.

[16] Diwakar G, Wang Lei. A stochastic inventory model with trade credit [J]. Manufacturing & Service Operations Management, 2009, 11 (1): 4-18.

[17] Chen S C, Barrón L E C, Teng J T. Retailer’s economic order quantity when the supplier offers conditionally permissible delay in payments link to order quantity [J]. International Journal of Production Economics, 2014, 155(9): 284-291

[18] Jaggi C K, Kapur P K, Goyal S K,et al. Optimal replenishment and credit policy in EOQ model under two-levels of trade credit policy when demand is influenced by credit period [J].International Journal of System Assurance Engineering and Management, 2012, 3(4): 352-359.

[19] Giria B C, Maitia T. Supply chain model with price- and trade credit-sensitive demand under two level permissible delay in payments [J]. International Journal of Systems Science, 2013, 44(5):937-948.

[20] Huang Y C, Wang K H, Tung C T. Optimal order policy for single period products under payment delay with ramp type demand rate [J]. Journal of Information and Optimization Sciences, 2010, 31 (6): 1337-1360.

[21] Darzanou G, Skouri K. An inventory system for deteriorating products with ramp-type demand rate under two-level trade credit financing [J].Advances in Decision Sciences, 2011,(2011):1-15.

[22] Singh S R, Sharma S. A global optimizing policy for decaying items with ramp-type demand rate under two-level trade credit financing taking account of preservation technology [J]. Advances in Decision Sciences, 2013, (2013):1-12.

[23] Biswaranjan M. An EOQ inventory model for Weibull distributed deteriorating items under ramp type demand and shortages [J]. OPSEARCH, 2010, 47(2): 158-165.

[24] Skouri K, Konstantaras I, Papachristos S, et al. Inventory models with ramp type demand rate, partial backlogging and Weibull deterioration rate [J]. European Journal of Operational Research, 2009, 192(1): 79-92.

The Optimal Replenishment Policy for the Retailer Under the Time Varying Demand and Supply Involving the Trade Credit Financing

QIN Juan-juan

(Business School in Tianjin University of Finance & Economics, Tianjin 300222,China)

The suppliers often provide the trade credit for the payment of the amount owed. Usually, there is no interest charged for the retailer if the outstanding amount is paid in the allowable delay. If the payment is unpaid in full by the end of the permissible delay period, interest is charged on the outstanding amount. The inventory replenishment policies under trade credit financing have been studied intensively. But most of the existing inventory models under trade credit financing are assumed that a constant demand and the infinite or a constant replenishment rate. However, in practice, the demand rate is the ramp type function of time for some cases, such as the new products and the holiday related products. On the other hand, the production rate is related to the market demand. Therefore, the optimal order strategy of the retailer was discussed based on the trade credit financing, considering the time varying supply and demand. First, according to the relationship of the trade credit period and the retailer’s replenishment cycle, the retailer’s inventory models are constructed from two kinds of situations; Second, based on the inventory model, the existence of the optimal solutions is proved and give related theorems and the algorithms are given to solve the retailer's optimal inventory strategy; Finally, the numerical example and sensitivity analysis are carried out to demonstrate the related conclusions. The results show that: when the supplier gives the retailer's short trade credit period, which is less than the stable point of the demand, with the increase of stable point time, the retailer's optimal order cycle, the optimal order quantity and the annual cost decreases; when the supplier gives the retailer's trade credit period long, greater than the stable point of the demand, with the increase of stable point time, the retailer's optimal order cycle, the optimal order quantity and the annual cost also increases; with the dependence of suppliers’ production on the demand stronger, the retailer's optimal order cycle, the optimal order quantity and the annual cost also increases. The paper extends the EOQ models and enables the managers to make the replenishment policies more effectively.

trade credit financing; the ramp type demand; replenishment time dependent on the demand; order policy

1003-207(2016)03-0089-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.03.011

2013-10-23；

2014-08-11

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71172018, 71302115)；教育部人文社會(huì)科學(xué)研究青年基金(13YJC630121); 天津市高等學(xué)校創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)培養(yǎng)計(jì)劃(TD12-5051)

簡(jiǎn)介：秦娟娟(1983-)，女(漢族)，河南平頂山人，天津財(cái)經(jīng)大學(xué)商學(xué)院副教授，研究方向：物流供應(yīng)鏈管理等.

C931

A