馬 璐，高李昊

(廣西科技大學(xué)管理學(xué)院，廣西 柳州 545006)

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帶負(fù)值的Hybrid DEA 模型研究及其應(yīng)用

馬 璐，高李昊

(廣西科技大學(xué)管理學(xué)院，廣西 柳州 545006)

現(xiàn)有的對DEA模型中出現(xiàn)負(fù)值的研究，主要是針對一些簡單的半導(dǎo)向型、徑向的模型研究，但是對于復(fù)雜的模型，大多是將負(fù)值變量先行處理為正值后，再代入模型，喪失了原有的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致模型的準(zhǔn)確性和可靠性遭到質(zhì)疑，尤其是Hybrid DEA模型，包含了徑向與非徑向、無導(dǎo)向的因素，目前尚無對負(fù)值情況的研究。因此，本文以半導(dǎo)向模型CCR為基礎(chǔ)，經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到一系列無導(dǎo)向、非徑向的數(shù)學(xué)模型，并將Emrouznejad et al.的負(fù)值處理規(guī)則應(yīng)用到這些模型，從而得到能處理負(fù)值情況的無導(dǎo)向徑向模型(NORM-VRS DEA)和無導(dǎo)向非徑向模型(NOM-VRS DEA)，進(jìn)而對其數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了深入的研究，推導(dǎo)得出相關(guān)引理與結(jié)論，最終解決了Hybrid DEA模型帶有負(fù)值情況的問題。隨后，利用開發(fā)的模型對中國規(guī)范型證券公司的經(jīng)營效率進(jìn)行了實(shí)證分析，驗(yàn)證了模型的實(shí)際有效性以及所推導(dǎo)出的引理和結(jié)論是否正確，發(fā)現(xiàn)了與原有Hybrid DEA理論的一些不相符之處，并對其原因進(jìn)行了簡單分析。

Hybrid DEA；SORM；NOM DEA；風(fēng)險因素

1 引言

根據(jù)輸入變量和輸出變量的不同特征，可以將DEA(Data Envelopment Analysis)理論分為徑向的與非徑向的兩類。徑向理論將決策單元分為有效率部分和非有效率部分，輸入變量或者輸出變量按比例變化。其主要缺點(diǎn)就是忽視了非徑向輸入或輸出型的松弛變量。該理論主要代表是CCR (Charnes， Cooper and Rhodes (1978))[1]和BCC (Banker，Charnes and Cooper (1984))[2]。國內(nèi)學(xué)者在該領(lǐng)域也進(jìn)行了探討。傅敏維和尹航等[3]綜合利用CCR模型和C2GS2模型的優(yōu)點(diǎn)，提出了一個混合DEA模型，并將其用于醫(yī)藥行業(yè)經(jīng)營效率的測度。畢功兵和馮晨鵬等[4]考慮環(huán)境屬性因素，修正了平行結(jié)構(gòu)DEA模型，成功地應(yīng)用于中國各省份污染治理效率的測算。程昀和楊印生[5]構(gòu)建了基于CCR模型的新的網(wǎng)絡(luò) DEA模型，并與傳統(tǒng)CCR模型作了比較分析。李春好和蘇杭等[6]利用TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity)的理想點(diǎn)構(gòu)造方法，構(gòu)造了一種新型DEA交叉效率評價模型。與此同時，非徑向理論并未假定輸入變量或者輸出變量按比例變化。Russell[7]首次提出了Russell圖像法，解決了技術(shù)效率在計算和合理解釋方面的困難，將比率效率和松弛量統(tǒng)一為一個標(biāo)量。Pastor等[8]提出了一個新穎的GEM (Global Efficiency Measures) 方法，改進(jìn)了原來Russell圖像方法，投入變量或產(chǎn)出變量能按非徑向(不同比例)變化。Tone[9]首次成功開發(fā)了一個非徑向的SBM DEA模型，能夠解決松弛變量對效率值測量影響的問題。近年來，國內(nèi)學(xué)者孫立成和周得群等[10]提出了非徑向超效率DEA聚類模型，并將其與傳統(tǒng)DEA模型對比分析了我國各地區(qū)FEEEP系統(tǒng)的協(xié)調(diào)發(fā)展水平。周忠寶和孫亮[11]利用存在保證域的模糊非徑向偏好DEA模型，提高了對中科院研究所效率測算的準(zhǔn)確度。非徑向模型主要優(yōu)勢就是可以直接處理松弛變量，但是卻沒有考慮輸入變量和輸出變量的徑向特征。

因此，Tone[12]首次開發(fā)了一個全新的混合模型(Hybrid DEA)，將徑向特征與非徑向特征納入同一個分析框架中。當(dāng)所有決策單元(DMUs)中的輸入變量和輸出變量全部為正值時，傳統(tǒng)的DEA模型在實(shí)際應(yīng)用中變得非常有效。但是在現(xiàn)實(shí)中，一些決策單元中的輸入變量或者輸出變量存在負(fù)值或者兩者兼為負(fù)值的情況。例如，當(dāng)利潤作為輸出變量時，有時會出現(xiàn)利潤為負(fù)值，即損失。正因?yàn)槿绱?，許多知名學(xué)者提出了諸多解決方法。Ali和Seiford[13]，Lovell和Pastor[14]，Cooper等[15]，Seiford和Zhu[16]利用平移不變原理，將負(fù)值全部變成正值，進(jìn)而提出了加法DEA模型解釋這種問題。Chen和Lin[17]對負(fù)值風(fēng)險變量進(jìn)行處理，利用投入導(dǎo)向的BCC模型估算了共同基金的經(jīng)營效率。Portela等[18]首次開發(fā)出區(qū)間距離定向模型(RDM)處理負(fù)值情況，測算了銀行效率。Sharp等[19]利用修正的SBM模型(MSBM)，解決了輸入變量和輸出變量同時存在負(fù)值的問題。Emrouznejad等[20]構(gòu)建了新型能夠處理負(fù)值的半導(dǎo)向徑向的DEA模型(SORM DEA)用來測量評估單元的效率。Lamb和Tee[21]也提出了一種新方法來測算投資基金的經(jīng)營效率。Cheng Gang等[22]提出了一種處理全為負(fù)值的徑向變量的方法，并且將其與SORM和RDM方法進(jìn)行了比較研究。Kazemi R等[23]對SORM理論進(jìn)行了深入研究，對其無法得出決策單元(DMU)最優(yōu)目標(biāo)值的缺點(diǎn)進(jìn)行了一定程度的修正，并且實(shí)證驗(yàn)證了其效果。

綜上所述，現(xiàn)有的對負(fù)值情況DEA研究都是針對半導(dǎo)向型、徑向的模型，并未有對無導(dǎo)向型、非徑向模型的研究，尤其對于混合模型這種極為復(fù)雜的模型更是困難重重。正因?yàn)槿绱?，本文以半?dǎo)向模型CCR為基礎(chǔ)，經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到一系列無導(dǎo)向、非徑向的數(shù)學(xué)模型，并將負(fù)值處理規(guī)則應(yīng)用到這些模型，從而形成了能處理負(fù)值情況的無導(dǎo)向徑向模型(NORM-VRS DEA)和無導(dǎo)向非徑向模型(NOM-VRS DEA)。通過這些模型的深入探討，推導(dǎo)得出一些引理與結(jié)論，有利于解決Hybrid DEA模型中存在負(fù)值變量的問題，并將最后得到的[NOM-VRS-NHybrid]模型與之退化形式作比較分析，更深入一步的研究了該模型的性質(zhì)與特征，得出了一些結(jié)論。最后，本文將所得到的一系列模型應(yīng)用到對我國規(guī)范型證券公司的經(jīng)營效率研究上。

2 Hybrid DEA 模型

假設(shè)數(shù)據(jù)集合都是正數(shù)，即X>0,Y>0，則生產(chǎn)可能性集合可以定義為：

P={(x,y)|x≥Xλ,y≤Yλ,λ≥0}

這里的λ是非負(fù)向量屬于Rn，用以表示變化規(guī)模報酬模型如下：

∑λj=1

θ≤1,φ≥1,λ≥0,sR-≥0,sNR-≥0,sR+≥0,sNR≥0

其中sR-∈Rm1，sNR-∈Rm2表示徑向與非徑向輸入變量的過量投入值，而sR+∈RS1和sNR+∈RS2則表示徑向與非徑向輸出變量的過少產(chǎn)出值，它們都是松弛變量。如果θ=1,φ=1，λ0=1,λj=0(?j≠0)時，則可以解釋松弛變量全為零?；谝陨系谋磉_(dá)式，定義如下指標(biāo)：

(1)

θ≤1,φ≥1,λ≥0,sNR-≥0,sNR+≥0

[Hybrid]模型通過Charnes 和Cooper[24]

轉(zhuǎn)變?yōu)槿缦戮€性規(guī)劃問題：

(2)

Θ≤t,Φ≥t,Λ≥0,SNR-≥0,SNR+≥0

線性規(guī)劃問題的一個最優(yōu)解可表示為(t*,Θ*,Φ*,SNR-*,SNR+*)， 以及最佳混合效率的解如下：

ρ*=τ*,θ*=Θ*/t*,φ*=Φ*/t*

λ*=Λ*/t*,sNR-*=SNR-*/t*,sNR+=SNR+*/t*

至于一個混合無效的DMU，i.e. ρ*1，混合投影可以給出如下：

利用最優(yōu)解(θ*,φ*,λ*,sNR-*,sNR+*)，將混合效率指標(biāo)ρ*分解為如下四個方面：

當(dāng)然也可以定義投入與產(chǎn)出非有效值如下：

投入非有效值： α=α1+α2

產(chǎn)出非有效值： β=β1+β2

因此，ρ*可以表示如下：

通過以下條件限定[Hybrid]模型在計算變化規(guī)模報酬條件(VRS)下的混合效率。

∑λj=1

(3)

∑Λ=t

Θ≤t,Φ≥t,Λ≥0,SNR-≥0,SNR+≥0

3 修正的Hybrid DEA 模型

在這一部分，將提出解決有負(fù)值情況的Hybrid DEA模型，并將其定義為NOM-VRS- NHybrid DEA 模型。利用Emrouznejad等[18]的負(fù)值處理規(guī)則，本文將其應(yīng)用到無導(dǎo)向徑向模型(NORM-VRS DEA)、無導(dǎo)向非徑向模型(NOM- VRS DEA)以及擁有徑向與非徑向的無導(dǎo)向混合模型(NOM-VRS-Hybrid DEA)中，并對這些模型進(jìn)行了深入研究，推導(dǎo)得出新的引理與結(jié)論。

3.1 NORM-VRS DEA 模型

CCR與SBM是特殊的Hybrid DEA模型，也可以說成是一種混合模型的退化，即輸入變量和輸出變量全部為徑向變量以及輸入變量和輸出變量全為非徑向變量。Charnes， Cooper和Rhodes[1]提出CCR的半導(dǎo)向型(輸入半導(dǎo)向型或者輸出半導(dǎo)向型)模型。輸入半導(dǎo)向型具體數(shù)學(xué)模型如下：

s.t πx0≥Χλ

y0≤YHλ

(4)

∑λ=1

π≤1,λ≥0

令π=θ/φ,λ=Λ/φ，θ≤1,φ≥1，可以將[SEMI-VRS-CCR-I]轉(zhuǎn)化為下面的無導(dǎo)向徑向的CCR模型，具體如下：

s.t θx0≥ΧΛ

φy0≤YΛ

(5)

∑Λ=1

θ≤1,φ≥1,Λ≥0

將存在負(fù)值情況考慮到模型(5)中，假設(shè)K為輸入變量矩陣全為正數(shù)，L為輸出變量矩陣有負(fù)值的情況，其中L1表示輸出變量矩陣J中正值部分，L2表示輸出變量矩陣L中負(fù)值部分，即K∪L={1,…,M},K∩L=φ。根據(jù)Emrouznejad等[14]的規(guī)則對其定義如下：

同理，令H為輸出變量矩陣全為正數(shù)，J為輸出變量矩陣有負(fù)值的情況，其中J1表示輸出變量矩陣J中正值部分，J2表示輸出變量矩陣J中負(fù)值部分，即H∪J={1,…,S},H∩J=φ。我們對其定義如下：

其中L=L1-L2，J=J1-J2，所以評價DMU-0的VRS-CCR模型修正如下：

s.t θx0K≥ΧKΛ

θx0L1≥XL1Λ,θx0L2≥ΧL2Λ

φy0H≤YHΛ

(6)

φy0J1≤YJ1Λ,φy0J2≥YJ2Λ

∑Λ=1

θ≤1,φ≥1,Λ≥0

在模型(6)中，實(shí)質(zhì)上反映的是正值徑向內(nèi)容。對輸入變量以及輸出變量，卻將其分成正值和負(fù)值兩部分，從而增加了兩類變量分別處理這兩部分。該模型中，將負(fù)值的輸入變量認(rèn)為是輸出變量，從而通過增加負(fù)值的輸入變量改善效率值；將負(fù)值的輸出變量認(rèn)為是輸入變量，從而通過減少負(fù)值的輸出變量改善效率值。當(dāng)然這種改善是基于其他正值變量對于DMUs有一個正的合理值。當(dāng)然，由于模型是關(guān)于徑向的理論，因此并沒有考慮松弛變量對效率值的影響，也就是忽略了非徑向因素。

3.2 NOM-VRS DEA 模型

當(dāng)輸入變量和輸出變量全為非徑向變量時，Hybrid DEA模型退化為Tone[7]提出的SBM模型。模型(5)經(jīng)過以下推導(dǎo)可以轉(zhuǎn)化為模型(7)。

θx0≥ΧΛ

在不等式兩邊加上x0，減去θx0，可以得到：x0≥ΧΛ+(1-θ)x0。定義s-=(1-θ)x0≥0，

s.t x0=XΛ+S-y0=YΛ-S+

(7)

∑Λ=1

Λ≥0,S-≥0,S+≥0

將模型(5)條件放寬后，得到了模型(7)。正因?yàn)榇嬖谶@種子集關(guān)系，所以可以導(dǎo)出以下兩點(diǎn)結(jié)論：

同理，將負(fù)值情況考慮到模型(7)中，根據(jù)前面負(fù)值處理規(guī)則進(jìn)行處理，經(jīng)過[LP]轉(zhuǎn)化得到[NOM-VRS-NSBM]如下：

(8)

ty0H=YHΛ-SH+

ty0J1=YJ1Λ-SJ1+

ty0J2=YJ2Λ+SJ2-

∑Λ=t

t≥0,Λ≥0,S-≥0,S+≥0

最優(yōu)解為(ρ*,λ*,s-*,s+*)，其中λ*=Λ*/t*,s-*=S-*/t*,s+*=S+*/t*。

討論模型(8)和模型(6)求DMU-0解的充要條件，根據(jù)Emrouznejad等[25]對SORM DEA一些充分條件的研究證明，可以得出與其類似的結(jié)論。令α0=max{max{x0K:K∈M},max{x0L1:L1,∈L}}β0=max{max{y0H:H∈S},max{y0J1:J1,∈J}}定理1：(1)僅當(dāng)α0>0或者β0>0時，模型(8)

和模型(6)中DMU0的解有界。

(2)僅當(dāng)α0=0且β0=0時，模型(8)和模型(6)中DMU0的解無界。

更詳細(xì)的說，雖然將XL分解為XL1和XL2

以及YK分解為YK1和YK2，但是在應(yīng)用DEA模型時，PPS(Production Possibility Set)并沒有發(fā)生分解。在模型(8)中，tx0L1≥XL1Λ，-tx0L2≥-X0L2Λ，將兩者相加可得t(x0L1-x0L2)≥(XL1-XL2)Λ，XL=XL1-XL2所以可以得到在模型(7)中未分解的XL，同理可得未分解的YJ。所以任何模型(8)中的解全是模型(7)的解，反之不成立。根據(jù)前面的分析，存在模型(8)? 模型(7) ?模型(5)， 模型(6)?模型(5)，因此，需要對引理1作一些修正。

3.3 NOM-VRS-NHybrid DEA 模型

在前面對Hybrid DEA的退化模型的研究基礎(chǔ)上，提出解決Hybrid DEA中模型變量(輸入變量或者輸出變量或者兩者兼而有之)在某些決策單元有負(fù)值與此同時另一些決策單元為正值以及全為負(fù)值的變量。首先定義產(chǎn)出變量在徑向變量M1中K1表示輸入變量矩陣全為正數(shù)，L1表示輸入變量矩陣中有負(fù)值，即K∪L={1,…,M}，K∩L=φ，M2也同理可得如下表示：

K=K1+K2,L=L1+L2

M1=K1+L1,M2=K2+L2

K1>0,K2>0 M1∪M2={1,…,M},M1∩M2=φ

當(dāng)然，可以利用以下原則處理決策單元與變量矩陣。

同理，產(chǎn)出變量在徑向變量S1中H1表示輸出變量矩陣全為正數(shù)，J1表示輸出變量矩陣中有負(fù)值，即H∪J={1,…,S},H∩J=φ，S2也同理可得如下表示：

H=H1+H2,J=J1+J2

S1=H1+J1,S2=H2+J2

H1>0,H2>0 S1∪S2={1,…,S},S1∩S2=φ

將其應(yīng)用到模型(3)，可得[NOM-VRS-NHybrid]修正模型如下：

(9)

∑Λ=t

Θ≤t,Φ≥t,Λ≥0,SNR-≥0,SNR+≥0非徑向投入非有效值：

因此，效率值公式需要修正如下：

則可以得到下面定理(證明類似于Emrouznejad[20])。

定理2：(1)當(dāng)且僅當(dāng)α0>0或者β0>0時，模型(9)中DMU0的解有界。

(2)當(dāng)且僅當(dāng)α0=0且β0=0時，模型(9)中DMU0的解無界。

將Emrouznejad[20]作的關(guān)于負(fù)值的處理規(guī)則應(yīng)用于模型(3)中，可以不需要像其他方法處理負(fù)值問題時改變坐標(biāo)原點(diǎn)，保留了徑向理論的重要特征，同時又增加了非徑向因素作用。與此同時，當(dāng)模型中不存在負(fù)值變量時，模型就退化為模型(3)。缺點(diǎn)就是增加了維度，因?yàn)閷⒇?fù)值部分作為另外的變量加以考慮，從而意味著部分PPS被刪除，不能識別部分帕累托有效值，但是并不產(chǎn)生糟糕的效率值。

4 實(shí)證應(yīng)用

本文選取了2013年26家規(guī)范型證券公司，樣本的數(shù)據(jù)源來自中國證券業(yè)協(xié)會網(wǎng)站?；诮鹑谧C券機(jī)構(gòu)的特征和已有的研究文獻(xiàn)，從中選擇投入指標(biāo)分別是應(yīng)付職工薪酬(全部為正)、實(shí)收資本(全部為正)、營業(yè)費(fèi)用(全部為正)；產(chǎn)出指標(biāo)包括手續(xù)費(fèi)及傭金收入(全部為正)、其他收入(有正有負(fù))、投資收益(有正有負(fù))、匯兌損失(有正有負(fù))。然后，利用非參數(shù)統(tǒng)計方法(spearman 等級相關(guān)系數(shù))來檢測徑向和非徑向產(chǎn)出指標(biāo)是否存在顯著的線性關(guān)系，以及投入指標(biāo)是否也存在非徑向的指標(biāo)，以此來判斷其是否符合本文所建模型的基本條件，具體見表1。在表1中，顯然可以得到投入指標(biāo)相關(guān)系數(shù)至少0.57，且顯著性水平低于0.01，滿足徑向的要求，除了實(shí)收資本與應(yīng)付職工薪酬的結(jié)果有些令人失望。

表1 證券公司的Spearman's coefficient 測試

**Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).*Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed).

表2 各個負(fù)值模型的結(jié)果比較值(括號內(nèi)表示排名)

當(dāng)然，在規(guī)范型證券公司中，發(fā)現(xiàn)匯兌損失與其他三組依然不僅相關(guān)系數(shù)明顯低于0.13，且未通過顯著性水平0.05檢驗(yàn)，即表明其與另外3個變量有著本質(zhì)區(qū)別，是非徑向的。另外3個產(chǎn)出變量相互關(guān)系非常顯著，相關(guān)系數(shù)各自為0.822、0.604、0.381，并且至少通過了重要性水平0.05的測試。雖然出現(xiàn)了一些噪音，但是仍然認(rèn)為投入指標(biāo)存在非常高的相關(guān)性，可以歸為徑向指標(biāo)。在產(chǎn)出指標(biāo)中，匯兌損失顯然與其他明顯不同，可認(rèn)定為非徑向產(chǎn)出指標(biāo)，手續(xù)費(fèi)及傭金收入、投資收益和其他收入顯然有著令人滿意的相關(guān)性，而且都是正向的。因此，本文采用帶負(fù)值的Hybrid DEA模型是滿足相關(guān)條件要求的，也是令人可以接受的。

5 結(jié)語

自從Hybrid DEA理論問世以來，受到了廣泛的關(guān)注，但是由于其模型只適用于變量為正值的情況，因此應(yīng)用范圍受到了極大限制。本文在CCR DEA模型基礎(chǔ)上，利用處理負(fù)值的規(guī)則對無導(dǎo)向的存在徑向和非徑向的DEA模型進(jìn)行了深度研究，從而開發(fā)出了帶負(fù)值無導(dǎo)向徑向的DEA模型(NORM-VRS-NCCR DEA)以及帶負(fù)值無導(dǎo)向非徑向的DEA模型(NOM-VRS-NSBM DEA)，并在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出帶負(fù)值的混合DEA模型(NOM-VRS-NHybrid DEA)，并對這些模型進(jìn)行了深入研究，得到了一些非常有用的引理和結(jié)論。更進(jìn)一步，本文利用中國證券公司做了實(shí)證分析，不僅顯示了所提出模型的優(yōu)越性和合理性，也為今后金融機(jī)構(gòu)的效率研究提供了借鑒。

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A Non-Oriented Measure for Hybrid-DEA model with negative data

MA Lu, GAO Li-hao

(Management School, Guangxi University of Science and Technology，Liuzhou 545006, China)

The existing research appears to negative DEA model, mainly for some simple semi-oriented and radial model. As to complex models, mostly the negative variable look-ahead processing is positive, then substituted into model, but this idea loss the original data structure, resulting in the accuracy and reliability of the model has been questioned, particularly Hybrid DEA model, including radial and non-radial, non-oriented factors, and there is no case for the negative research. Therefore, from a semi-oriented CCR model ,it is based on mathematically derived to give a series of non-oriented, non-radial mathematical model and such negative processing rules provided by Emrouznejad apply to these models, thus forming the new ones handling the negative non-oriented situations radial model (NORM-VRS DEA), non-oriented and non-radial model (NOM-VRS DEA), further, conducted in-depth study of its mathematical model, there are some conclusions lemma and final settlement of Hybrid DEA model problems with the negative situations. Subsequently, the development of model specification for Chinese securities company's operating efficiency empirical analysis also verify the actual effectiveness of the model and whether deduced lemma and conclusions are correct or not. Finally, It’s found that something of the original Hybrid DEA theory contrary to the department, and give a simple analysis.

hybrid DEA；SORM；NOM-VRS DEA；NORM-VRS DEA

1003-207(2016)03-0149-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.03.018

2014-07-09；

2015-06-23

簡介：馬璐(1965-)，女(漢族)，云南人， 廣西科技大學(xué)管理學(xué)院院長，教授，研究方向：戰(zhàn)略風(fēng)險管理、企業(yè)組織、金融工程研究，E-mail:malu6655@163.com.

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