郭旭曉,周 含，張文明

（上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240）

非局部理論的裂紋納米諧振梁振動(dòng)特性

郭旭曉,周 含，張文明

（上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240）

以兩端固支納米諧振梁為研究對象，考慮非局部效應(yīng)、非線性軸向拉伸應(yīng)力以及裂紋建立其物理模型并推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)控制方程。將裂紋等效為連接兩段納米梁的扭轉(zhuǎn)彈簧，研究非局部效應(yīng)、裂紋參數(shù)對系統(tǒng)自由振動(dòng)固有頻率以及振動(dòng)模態(tài)的影響。采用非線性靜電力和非線性軸向拉伸應(yīng)力模型，用多尺度的數(shù)值方法研究系統(tǒng)主諧波共振響應(yīng)的非線性剛度硬化現(xiàn)象與非局部效應(yīng)系數(shù)以及裂紋各參數(shù)的關(guān)系。數(shù)值結(jié)果表明，非局部效應(yīng)系數(shù)越大，系統(tǒng)固有頻率越小，主共振非線性強(qiáng)度越大。對于兩端固支諧振梁系統(tǒng)，裂紋位置對系統(tǒng)固有頻率以及主共振非線性強(qiáng)度的影響存在著三個(gè)分界點(diǎn)，分別是納米梁中點(diǎn)以及距離兩端四分之一的兩個(gè)點(diǎn)。研究結(jié)果可在微納米器件的設(shè)計(jì)、性能改進(jìn)及健康檢測中得到應(yīng)用。

振動(dòng)與波；納米梁；裂紋；非局部效應(yīng)；非線性響應(yīng)

梁狀結(jié)構(gòu)是微納米機(jī)電系統(tǒng)中典型的基本組成部分，并且極大地影響了該類微納米器件的性能，因此對微/納米梁的動(dòng)力學(xué)特性研究具有重大的實(shí)際意義[1-3]。研究納米梁機(jī)械特性的方法主要有三種：實(shí)驗(yàn)研究、分子動(dòng)力學(xué)模擬、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論。由于納米梁的尺度范圍較小，所以進(jìn)行核對實(shí)驗(yàn)較為困難，而分子動(dòng)力學(xué)模擬需要大量的計(jì)算量，對于大尺度系統(tǒng)難以實(shí)施，所以連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論是研究納米梁機(jī)械特性和振動(dòng)特性的重要方法。Daquesnes等人[4]分別用分子動(dòng)力學(xué)和連續(xù)體模型研究了碳納米管在不同邊界條件下的吸合特性和自然頻率，他們發(fā)現(xiàn)兩種方法得到的結(jié)果相吻合。

對于尺寸量級與分子距離相當(dāng)?shù)奈⒓{米機(jī)構(gòu)，眾多實(shí)驗(yàn)以及仿真結(jié)果都顯示了非局部效應(yīng)對其機(jī)械特性產(chǎn)生顯著影響，經(jīng)典的連續(xù)介質(zhì)理論已無法準(zhǔn)確預(yù)測其力學(xué)行為，納米尺度結(jié)構(gòu)受到的影響比微米尺度結(jié)構(gòu)更加明顯[5]。由Eringen在1983年提出的非局部彈性理論具有簡單的本構(gòu)關(guān)系[6]，特別是Peddieson等人提出的形式，能夠簡單而有效地研究非局部效應(yīng)對納米結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的影響，解決了在納米梁、板、殼等結(jié)構(gòu)中的眾多問題[7]。

近年來，微納米梁的線性和非線性動(dòng)力學(xué)特性研究進(jìn)展較快。傅衣銘[8]等采用數(shù)值方法分析了考慮尺度效應(yīng)的納米梁線性自由振動(dòng)特性以及非線性幅頻響應(yīng)特性?；诜蔷植繌椥岳碚?，Mesut等采用變分法研究了多種邊界條件下納米梁由于軸向拉伸力引起的的非線性特征[9]。劉燦昌等從梁的軸向非線性伸長出發(fā)對納米梁進(jìn)行受力分析，研究了納米梁非線性特性產(chǎn)生的物理機(jī)制，分析了非局部效應(yīng)對納米梁振動(dòng)特性的影響[10]。

然而以上研究主要以無缺陷的完整結(jié)構(gòu)為研究目標(biāo)，如果結(jié)構(gòu)出現(xiàn)缺陷，其對結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性造成的影響不容忽視。理論研究以及工程應(yīng)用中，裂紋一直是固體材料結(jié)構(gòu)中存在的重要問題。裂紋的存在引起了結(jié)構(gòu)柔度變化，減小了器件振動(dòng)的固有頻率，對結(jié)構(gòu)特性造成了不容忽視的影響。Sáez等人采用扭轉(zhuǎn)彈簧等效納米梁裂紋，他們發(fā)現(xiàn)該方法獲得的結(jié)果與用有限元得到的結(jié)果一致[11]。劉文光等人將復(fù)數(shù)阻尼理論應(yīng)用于裂紋梁的結(jié)構(gòu)振動(dòng)研究，使其與疲勞裂紋擴(kuò)展壽命估算同步進(jìn)行，提出一種含裂紋結(jié)構(gòu)的振動(dòng)疲勞分析思路[12]。Motallebi等人以靜電驅(qū)動(dòng)諧振梁為研究對象，探討了開始裂紋參數(shù)對諧振梁吸合效應(yīng)的影響[13]。劉素娟等人基于Euler-Bernoulli理論，提出了非線性靜電力和壓膜阻尼效應(yīng)下裂紋微懸臂梁的動(dòng)力學(xué)模型與分析方法，研究了耦合作用下裂紋微懸臂梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性[14]。

基于非局部彈性理論，研究裂紋納米梁的振動(dòng)特性，建立考慮非局部效應(yīng)、非線性軸向力以及裂紋的納米諧振梁的運(yùn)動(dòng)控制方程，研究非局部效應(yīng)以及裂紋參數(shù)對納米梁固有頻率的影響。采用多尺度的數(shù)值分析方法，探討了非局部效應(yīng)以及裂紋各參數(shù)對主共振幅頻響應(yīng)曲線的影響，對裂紋納米梁的非線性振動(dòng)特性進(jìn)行研究。

1 振動(dòng)模型與控制方程

圖1所示為兩端固支靜電驅(qū)動(dòng)單裂紋納米諧振梁模型,僅考慮橫向振動(dòng)，假定梁的各截面的中心主慣性軸在同一個(gè)平面oxy內(nèi)，外載荷也作用在該平面內(nèi)，梁在該平面內(nèi)作橫向振動(dòng)，梁的兩端固定運(yùn)動(dòng)受阻，引起中性面拉伸。對于細(xì)長梁，剪切變形以及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響可忽略不計(jì)。圖中裂紋距左固定端長為Xc，納米梁長度、厚度、寬度分別為L、h、b，密度為ρ、d為中性軸距底面距離，截面對中性軸的二次矩是I,且I=bh3/12。左端固支點(diǎn)為零點(diǎn)，x和w(x,t)分別代表沿著納米梁長度方向的坐標(biāo)以及在t時(shí)刻的橫向振動(dòng)位移。

圖1 兩端固支靜電驅(qū)動(dòng)單裂紋納米諧振梁模型[13]

取梁的微元dx進(jìn)行受力分析，如圖2所示。在微元左側(cè)，梁受到的垂直剪力為Q，彎矩為M，Na為非線性軸向拉伸應(yīng)力，且Nr為殘余應(yīng)力，文中記為常量[15]。右側(cè)為相應(yīng)的受力變化，為作用于梁上的非線性分布力[16]，ε0為介電常數(shù)，A=bh，為橫截面面積。由力和力矩的平衡條件可得到

圖2 納梁微元受力分析圖

根據(jù)非局部彈性理論可知應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為[5]

其中E為楊氏模量，σx和εx為經(jīng)典理論中的應(yīng)力與應(yīng)變,參數(shù)μ=(e0a)2表征納米結(jié)構(gòu)小尺度效應(yīng)的長度量綱系數(shù)。

由非局部本構(gòu)關(guān)系可得到如下非局部效應(yīng)下的軸向拉伸應(yīng)力以及力矩與變形之間的關(guān)系

將式(4)代入式(1)和式(2)，考慮系統(tǒng)的阻尼并等效為彈性阻尼c，可得圖1所示的靜電驅(qū)動(dòng)納米梁橫向振動(dòng)控制方程為

兩端固支梁的邊界條件為

為了便于定性分析，對式(5)、式(6)引入無量綱變量

進(jìn)行無量綱化處理，并將標(biāo)號*去掉可得無量綱化振動(dòng)控制方程以及邊界條件為

2 振動(dòng)分析

2.1 自由振動(dòng)分析

對式(8)引入變量分離表達(dá)式w(x,t)=Y(x)ejωt，則納米梁的靜態(tài)自由振動(dòng)方程為

其中ω為固有頻率，λ4=ω2為頻率參數(shù)。式(10)的數(shù)值解的模態(tài)函數(shù)為

如圖1所示，裂紋距左固定端的長度為Xc，這時(shí)圖3為裂紋梁等效模型。將裂紋等效為無質(zhì)量扭轉(zhuǎn)彈簧，記△θ和△u為微裂紋引起的扭轉(zhuǎn)角以及相應(yīng)的水平位移[5]，則二者可表示為

圖3 裂紋梁等效模型

其中kMM、kMN、kNM、kNN為柔性系數(shù)。在僅考慮橫向振動(dòng)的情況下,縱向振動(dòng)為零（u(x,t)=0），并且系數(shù)kMN、kNM、kNN一般被認(rèn)為是很小的值。因此，裂紋處的斜度增量可表示為如下無量綱形式

其中無量綱長度為Lc=Xc/L，裂紋因子表示裂紋開裂程度。

此時(shí)，基于式(8)，裂紋梁兩段的靜態(tài)自由振動(dòng)方程為表示為

且Ai、Bi、Ci、Di( )i=1，2為各段相應(yīng)常數(shù)，由邊界條件以及裂紋處的相容性條件，即式(9)、式(17)聯(lián)立而得的8×8階矩陣方程求解得出，相應(yīng)的第n階固有頻率參數(shù)λn也可同時(shí)求解。

2.2 主共振分析

圖1中諧振梁的靜電驅(qū)動(dòng)載荷由直流電Vp以及交流電vac組成，驅(qū)動(dòng)頻率為ωe，且Vp?vac，則

方程的右邊表達(dá)式可表示為

為研究納米梁的非線性特性，希望得到梁振動(dòng)的幅頻特性[17]。為此，仿照通常做法，取橫向振動(dòng)的變量分離形式并將其與式(19)代入式(8)可得由達(dá)芬方程描述的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

上述系統(tǒng)的振動(dòng)為弱非線性時(shí)變系統(tǒng)的參激振動(dòng)，應(yīng)用多尺度法求一次近似解，首先引入兩個(gè)越來越慢的時(shí)間尺度Tn=εnt(n=0,1)，其中ε為小參數(shù)，并假設(shè)u()

t可以表示為如下形式

研究系統(tǒng)ωe≈ω0時(shí)的主共振,引入頻率調(diào)諧因子σ，使得ωe=ω0+εσ。記χ=εχ，κ=εκ,式(20)可改寫成

將式(23)代入式(24)，并令兩端ε0和ε1的系數(shù)分別相等，可得

方程式(25)的解為

其中cc表示前項(xiàng)共軛。

將式(27)代入方程式(26)，消除永年項(xiàng)，并分離實(shí)虛部，可得如下自治微分方程

其中φ=σT1-δ。為確定對應(yīng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的定常解振幅和相位，令D1a=D1φ=0，并消去ε，對于可得到ωe的實(shí)系數(shù)二次代數(shù)方程

將激勵(lì)頻率無量綱化，取Ω=ωe/ω0，可得

其中主共振峰值大小滿足如下等式

出現(xiàn)最大峰值時(shí)的激勵(lì)力頻率為

3 結(jié)果分析與討論

以兩端固支裂紋納米諧振梁為仿真實(shí)例，諧振梁的相關(guān)物理參數(shù)為L=250 nm,b=50 nm，

3.1 裂紋梁固有頻率分析

通過數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算方程式(15)得到考慮非局部效應(yīng)以及裂紋參數(shù)的納米梁前4階固有頻率。圖4顯示了裂紋位置處于納米梁中點(diǎn)處即Lc=0.5時(shí)，不同非局部效應(yīng)系數(shù)μ對應(yīng)的前4階固有頻率隨著裂紋因子K的變化趨勢。

由圖4可見，裂紋開裂程度越大，且非局部效應(yīng)系數(shù)越大，系統(tǒng)的固有頻率越小，即納米梁的材料剛度降低。當(dāng)K增大到一定值時(shí)，固有頻率的變化將趨于固定值而不再變化。由圖中還可以看出，第2、4階固有頻率不隨裂紋因子的變化而變化（見圖4（b）、（d）），這是由于兩端固支梁振動(dòng)模態(tài)的對稱性，裂紋所在處恰好為2階、4階振型節(jié)點(diǎn)處，從而對納米梁2階、4階的振動(dòng)頻率沒有影響[18]。同理，當(dāng)裂紋位置Lc=0.25時(shí)，納米梁的第4階固有頻率不隨裂紋開裂程度發(fā)生變化。因此，對于兩端固支梁可以總結(jié)出，當(dāng)裂紋位置與固有頻率對應(yīng)的階數(shù)n滿足條件nLc=N時(shí)，裂紋梁的第n階固有頻率不隨裂紋開裂程度的變化而變化。圖5顯示了當(dāng)裂紋開裂程度不變，即K為常量時(shí)，納米梁前4階固有頻率隨著裂紋位置Lc的變化趨勢。由于納米諧振梁的對稱性，其固有頻率的變化趨勢都將關(guān)于中點(diǎn)對稱。

從圖5(a)可知，裂紋位置為Lc=0.25、Lc=0.75是另外兩個(gè)分界點(diǎn)。當(dāng)裂紋在此位置左邊時(shí)，裂紋越接近該位置，納米梁1階頻率越大；而當(dāng)裂紋在此位置右邊時(shí)，當(dāng)裂紋越接近中點(diǎn)處，1階固有頻率越小。裂紋越接近納米梁兩端根部，固有頻率越小。從圖5(b)可知，2階頻率變化趨勢的分界點(diǎn)更多。頻率對應(yīng)的階數(shù)越大，其隨裂紋位置的變化趨勢越多變。另外，與圖4結(jié)果相補(bǔ)充，當(dāng)裂紋在納米梁任意位置處，非局部效應(yīng)系數(shù)越大，固有頻率越小。

圖4 非局部效應(yīng)裂紋納米梁前4階固有頻率隨裂紋因子K的變化趨勢(Lc=0.5)

圖5 非局部效應(yīng)裂紋納米梁前2階固有頻率隨裂紋位置變化趨勢(K=1)

3.2 主共振特性分析

由式(30)可得到兩端固支裂紋納米諧振梁的1階主諧波共振的幅頻響應(yīng)（AFR）曲線，AFR曲線的彎曲程度顯示了納米梁振動(dòng)的非線性強(qiáng)度。由圖6、圖7可知，非局部效應(yīng)系數(shù)以及裂紋參數(shù)對納米梁振動(dòng)的非線性特性都有顯著影響，兩端固支梁存在分叉和跳躍等非線性現(xiàn)象，幅頻關(guān)系存在著多值性，并且曲線都向右彎曲，具有剛度硬化效應(yīng)。當(dāng)激勵(lì)頻率小于諧振頻率時(shí)，諧振梁幅值較小，當(dāng)頻率增加到某一頻率時(shí)，位移突然增大，而后又陡然下降，隨著激勵(lì)頻率持續(xù)增加，諧振梁的振動(dòng)位移又越來越小，幾乎不發(fā)生諧振，與已有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合[19]。

從式(20)中可知，系統(tǒng)存在固有幾何非線性特性，并且立方剛度項(xiàng)的大小受非局部效應(yīng)系數(shù)以及裂紋參數(shù)的影響。從圖6中可以看出，隨著非局部效應(yīng)系數(shù)的增大，系統(tǒng)諧振頻率逐漸變大，系統(tǒng)剛度漸硬趨勢更明顯。

從圖7中可以看出,裂紋位置為Lc=0.25是裂紋位置對諧振梁幅頻響應(yīng)影響趨勢的一個(gè)分界點(diǎn)，當(dāng)裂紋在此位置左邊時(shí)，裂紋越接近該位置，系統(tǒng)剛度硬化趨勢越明顯；而當(dāng)裂紋在此位置右邊時(shí)，當(dāng)裂紋距離該位置越遠(yuǎn)，系統(tǒng)剛度硬化趨勢減弱。對于兩端固支諧振梁，裂紋位置為Lc=0.25是系統(tǒng)剛度硬化最強(qiáng)的位置，而Lc=0.5則是系統(tǒng)剛度硬化最弱的位置，此現(xiàn)象與圖5(a)所顯示的規(guī)律相對應(yīng)。

圖6 非局部效應(yīng)對裂紋納米梁主共振非線性的影響(Lc=0.25)

圖7 裂紋位置對裂紋納米梁主共振非線性的影響(μ=0.2)

4 結(jié)語

以靜電驅(qū)動(dòng)裂紋納米諧振梁為研究對象，采用無質(zhì)量扭轉(zhuǎn)彈簧模型模擬裂紋，考慮非局部效應(yīng)以及非線性軸向拉伸應(yīng)力的影響，建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，對系統(tǒng)自由振動(dòng)的固有頻率以及振動(dòng)模態(tài)、主諧波共振的幅頻響應(yīng)進(jìn)行研究。研究發(fā)現(xiàn)非局部效應(yīng)系數(shù)對裂紋納米諧振梁固有頻率影響很大，裂紋處于梁上任意位置，固有頻率都隨著非局部效應(yīng)系數(shù)的增大而減小。忽略一些特殊情況（nLc=N），考慮非局部效應(yīng)時(shí)，高階頻率受到的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于低階頻率。裂紋開裂程度越大，固有頻率越小，但該影響隨著開裂程度的增大而減緩。裂紋位置對固有頻率的影響依情況而定。非局部效應(yīng)以及裂紋參數(shù)對系統(tǒng)的主諧波共振的幅頻響應(yīng)都有影響，并且與其對系統(tǒng)固有頻率的影響趨勢相對應(yīng)。

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Vibration Characteristics of a Cracked Resonant Nano-Beam Considering the Nonlocal Effect

GUO Xu-xiao,ZHOU Han,ZHANG Wen-ming
（State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration,Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240,China）

Characteristics of free transverse vibration and forced vibration of a cracked resonant nano-beam with both ends fixed are studied.The nonlocal effect,nonlinear axial stretching force and the crack effect are considered.The cracked nano-beam is modeled as two segments connected by a massless rotational spring located in the crack section.Dynamic equations of the nano-beam are derived and its nonlinear response is investigated by using the multiple scales method.The influence of the nonlocal effect and the crack position on the vibration nonlinearity is discussed.The numerical results show that enlarging the nonlocal effect coefficient can decrease the values of the natural frequencies and strengthen the nonlinearity of the resonant vibration.The effects of the crack parameters on the vibration characteristics are complicated. This study may be of interest for the design,performance improvement and health monitoring of nano-devices.

vibration and wave;nano-beam;crack;nonlocal effect;nonlinear response

O346.1

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.001

1006-1355(2016)06-0001-06

2016-07-27

國家優(yōu)秀青年科學(xué)基金項(xiàng)目(11322215)；國家高層次人才特殊支持計(jì)劃項(xiàng)目（青年拔尖人才）；教育部霍英東青年教師基金項(xiàng)目（141050）

郭旭曉(1990-)，男，山東省濰坊市人，碩士生，主要研究方向?yàn)槲C(jī)電系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)。

張文明(1978-)，男，博士生導(dǎo)師。E-mail:wenmingz@sjtu.edu.cn