朱曉星++袁泉

【摘要】本文分析了線(xiàn)性代數(shù)課程的內(nèi)容特點(diǎn)，教學(xué)中所面臨的實(shí)際環(huán)境，以及目前較為普遍多樣的授課模式，探討在課程內(nèi)容銜接、主線(xiàn)確立、學(xué)習(xí)規(guī)律、數(shù)學(xué)之美、慕課模式借鑒等方面進(jìn)行優(yōu)化教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】線(xiàn)性代數(shù) ?線(xiàn)性方程組 ?矩陣 ?秩

【中圖分類(lèi)號(hào)】G642 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ? ? ?【文章編號(hào)】2095-3089（2016）11-0140-02

一、研究背景

線(xiàn)性代數(shù)作為諸多理工科課程的基礎(chǔ)課程，盡管本身學(xué)時(shí)不長(zhǎng)，但對(duì)于后續(xù)課程的學(xué)習(xí)卻起著關(guān)鍵性的作用。在教學(xué)過(guò)程中既要使學(xué)生獲得必要的基礎(chǔ)知識(shí)， 同時(shí)又具有必要的基本能力。 能力的形成與思想方法的掌握是密不可分的。代數(shù)學(xué)的基本思想方法有技巧性的數(shù)學(xué)方法、邏輯性的數(shù)學(xué)方法、宏觀性的數(shù)學(xué)方法等[1]。關(guān)于如何合理安排教授內(nèi)容章節(jié)來(lái)教授線(xiàn)性代數(shù)，許多高校組織了學(xué)者進(jìn)行探討教改，并且整理出版了自己的教材，其中以同濟(jì)大學(xué)的教改成果尤為突出，其出版的《線(xiàn)性代數(shù)》第三版還獲得了2000年中國(guó)高?？茖W(xué)技術(shù)二等獎(jiǎng)。我校也依據(jù)本校學(xué)生特點(diǎn)，重新編寫(xiě)了《線(xiàn)性代數(shù)》[2]教程，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行了一系列教改探討及教學(xué)建設(shè)，該課程也被評(píng)選成為江蘇省精品課程。

二、教授線(xiàn)性代數(shù)課程面臨環(huán)境

1.學(xué)生初次學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)課程，會(huì)覺(jué)得該課程概念多而且抽象，實(shí)際生活中也難找到佐證。行列式，方程組、矩陣、二次型等概念框架思路不同，彼此間也難發(fā)現(xiàn)其深層次聯(lián)系，證明繁多，且思路與高等數(shù)學(xué)證明體系完全不同，初學(xué)者極易產(chǎn)生畏懼心理。

2.針對(duì)線(xiàn)性代數(shù)課程中所遇問(wèn)題，很多專(zhuān)家學(xué)者給出了不同的授課模式，諸如探究式課堂教學(xué)、問(wèn)題解決型課堂教學(xué)等模式，然而，對(duì)于以上的教學(xué)模式，首先對(duì)授課人數(shù)有了要求，小班教學(xué)情況下，才有探究式教學(xué)的空間，這對(duì)教職工人數(shù)和工作量安排提出了較高的要求，在一般工科學(xué)校中很難有這樣的教學(xué)環(huán)境;問(wèn)題解決型更是對(duì)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)有較高的要求，這對(duì)于線(xiàn)性代數(shù)這樣的為大一大二學(xué)生而設(shè)的基礎(chǔ)必修課而言，也有由較大的難度。

三、線(xiàn)性代數(shù)的教學(xué)嘗試

1.課程銜接

線(xiàn)性代數(shù)雖然課時(shí)不多，但是和高等數(shù)學(xué)一樣是整個(gè)大學(xué)學(xué)習(xí)的重要理論基石。這點(diǎn)可以由研究生入學(xué)考試中必含有線(xiàn)性代數(shù)部分可以得到體現(xiàn)。大部分學(xué)生都有在大學(xué)二年級(jí)學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)課程，經(jīng)過(guò)大一階段高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)不同于初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，然而高等數(shù)學(xué)重視解題能力，強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用，這一點(diǎn)在大學(xué)物理的學(xué)習(xí)過(guò)程中也得到了充分體現(xiàn)。初上線(xiàn)性代數(shù)課程時(shí)可向?qū)W生說(shuō)明，作為基礎(chǔ)課程，不一定能做到理論映射到現(xiàn)實(shí)生活中。所謂的學(xué)以致用，線(xiàn)性代數(shù)也在強(qiáng)調(diào)工具的應(yīng)用，但工具并非都是解決實(shí)際問(wèn)題，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、專(zhuān)業(yè)問(wèn)題的也稱(chēng)之為工具，線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)學(xué)科主要鍛煉學(xué)生的抽象思維能力以及邏輯思維能力。這與高等數(shù)學(xué)體系的思維鍛煉側(cè)重點(diǎn)不一樣。當(dāng)然，線(xiàn)性代數(shù)和高等數(shù)學(xué)也不是完全割裂的。例如說(shuō)，可以在剛開(kāi)始介紹行列式的時(shí)候提及解決隱函數(shù)方程組所用到的雅克比行列式，其實(shí)就是求解二元一次方程組的系數(shù)行列式。再如講到向量組的線(xiàn)性相關(guān)性，可以結(jié)合解析幾何中混合積的幾何意義加以釋義。諸如此類(lèi)，讓學(xué)生能夠覺(jué)得數(shù)學(xué)課程雖然分類(lèi)眾多，但彼此間聯(lián)系緊密。

2.確立主線(xiàn)

初學(xué)者在學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)，容易被紛雜抽象的概念所嚇倒，有一定的消極心理，不能真正做到主動(dòng)學(xué)習(xí)，即便學(xué)完線(xiàn)性代數(shù)課程，腦海中的印象也就止于一堆堆抽象的定義、枯燥的定理。其根本原因在于教師在授課時(shí)候沒(méi)有有效的給學(xué)生貫穿一條線(xiàn)性代數(shù)的學(xué)習(xí)主線(xiàn)，把繁多的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)。讓學(xué)生真正知道自己學(xué)到了什么，并用之于以后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中。關(guān)于線(xiàn)性代數(shù)主線(xiàn)的討論，許多學(xué)者給出了自己的建議，有的從矩陣出發(fā)，有的從方程組出發(fā)，還有的從向量組出發(fā)，筆者認(rèn)為以“初等變換”這一聯(lián)系方程組、矩陣、向量組三者之間的知識(shí)點(diǎn)作為主線(xiàn)或者更能收到成效。要把這一想法付諸實(shí)施，授課模塊的調(diào)整也是有需要的。將行列式和高斯消元法放至首章，緊隨著介紹矩陣的定義和基本性質(zhì)，然后再轉(zhuǎn)入向量組的學(xué)習(xí)，在利用向量組的知識(shí)講解方程組解的結(jié)構(gòu)時(shí)可進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)“初等變換”這一主線(xiàn)的重要性。

3.螺旋式切入

實(shí)際授課環(huán)境中，由于概念定理的抽象性，不可機(jī)械地填鴨式教育。根據(jù)德國(guó)心理學(xué)家艾賓浩斯的遺忘曲線(xiàn)理論，如果能增強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)的螺旋式切入，不斷的用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)來(lái)“推陳出新”，讓學(xué)生做到前后銜接，融會(huì)貫通。例如：在方程組的講解過(guò)程中，利用高斯消元法求解方程組時(shí)，要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)“初等變換”知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，并將其作為后續(xù)知識(shí)點(diǎn)的重要串聯(lián)點(diǎn)。學(xué)習(xí)向量組的性質(zhì)時(shí)，為了能呼應(yīng)剛結(jié)束的方程組知識(shí)，可以通過(guò)分析線(xiàn)性齊次和非齊次方程組，利用方程組的初等變換來(lái)化簡(jiǎn)方程組，可以得到關(guān)于向量組的兩個(gè)重要結(jié)論。

①即向量β可以由向量組α1，α2，…，αs線(xiàn)性表出的充要條件為以向量α1，α2，…，αs為系數(shù)列向量，β為常數(shù)項(xiàng)向量的線(xiàn)性方程組有解，并且每個(gè)解向量的分量就是一組組合系數(shù)。

② n維向量α1，α2，…，αs線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是以α1，α2，…，αs為系數(shù)列向量的齊次線(xiàn)性方程組有非零解。

這樣從方程組的知識(shí)到的向量組知識(shí)構(gòu)成一個(gè)有效過(guò)渡。對(duì)于矩陣而言，矩陣可逆的相關(guān)結(jié)論可作為聯(lián)系向量組，方程組，矩陣之間的重要紐帶。

例如 ，矩陣可逆矩陣滿(mǎn)秩;

矩陣行列式不為零;

行（列）向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān);

以該矩陣為系數(shù)矩陣的齊次線(xiàn)性方程組有唯一零解;

特征值均不為零;

任一可逆矩陣一定可以分解為一系列初等矩陣的乘積，即意味著可逆矩陣矩陣與任意矩陣相乘就是對(duì)該矩陣進(jìn)行一系列初等變換。在這樣反復(fù)的把前面的知識(shí)點(diǎn)貫穿于新知識(shí)點(diǎn)的引入中，不但能使學(xué)生在初學(xué)概念時(shí)去除陌生感，也能同時(shí)鞏固了對(duì)于前面知識(shí)點(diǎn)的理解。至于相似矩陣和二次型的學(xué)習(xí)，更是將這方程組、矩陣、向量組的知識(shí)點(diǎn)交互在一起的效果得到集中體現(xiàn)。

4. 體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美

線(xiàn)性代數(shù)課程中盡管概念抽象，證明繁多，讓很多學(xué)生感覺(jué)頭疼，但如果選取一些典型證明，將證明思路詳細(xì)分析給學(xué)生，讓學(xué)生不僅在證明中學(xué)到如何應(yīng)用理論，從而避免了枯燥記憶的努力，同時(shí)也去除了定理太多，以至于無(wú)所適從的茫然，也讓學(xué)生可以從中學(xué)習(xí)到代數(shù)思考的方式，這點(diǎn)也是與高等數(shù)學(xué)不同之處。讓他們?cè)谄渲畜w會(huì)到邏輯之美，數(shù)學(xué)之美，或許能激發(fā)學(xué)生對(duì)于抽象數(shù)學(xué)的熱忱。例如：定理3.7 矩陣的秩等于其列向量組的秩[1]，該定理的證明值得好好講解。學(xué)生能夠從其中仔細(xì)體會(huì)到行列式、方程組、向量組知識(shí)點(diǎn)互相轉(zhuǎn)換的思考模式;再如線(xiàn)性空間的定義，可從一些簡(jiǎn)單的線(xiàn)性空間得介紹中體會(huì)到抽象數(shù)學(xué)之美;講到線(xiàn)性空間的基底和坐標(biāo)時(shí)候，線(xiàn)性空間中向量之間的線(xiàn)性運(yùn)算可以借助于其一一對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)的線(xiàn)性運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，這樣就可以一般線(xiàn)性空間與我們熟知的 維向量空間之間的同構(gòu)，借此可以了解到不同線(xiàn)性空間的結(jié)構(gòu)。進(jìn)一步，在不同的基底下可以得到不同的坐標(biāo)系，可以適當(dāng)介紹仿射坐標(biāo)系，并與熟知的空間直角坐標(biāo)系作類(lèi)比，順帶引出施密特標(biāo)準(zhǔn)化，并介紹其應(yīng)用價(jià)值，并進(jìn)一步引出一種特殊而重要的線(xiàn)性變化--正交變化，其在實(shí)際應(yīng)用中可起到旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的作用，解決了非標(biāo)準(zhǔn)二次曲面化標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題。

五、結(jié)束語(yǔ)

線(xiàn)性代數(shù)課程很緊湊，內(nèi)容卻很豐富，最能體現(xiàn)出代數(shù)學(xué)思想的就是線(xiàn)性空間部分，然而因?yàn)檎n時(shí)原因，線(xiàn)性空間教學(xué)部分被大大壓縮，如何能夠調(diào)整知識(shí)點(diǎn)，把線(xiàn)性空間的思想融入到課程當(dāng)中去，也是一個(gè)重要課題。在探討不同教學(xué)模式的同時(shí)，對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的分配和講解串聯(lián)，也需要教師們加強(qiáng)內(nèi)功修養(yǎng)，讓學(xué)生能夠更好地學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李小平 關(guān)于《線(xiàn)性代數(shù)》教學(xué)改革的一些思考[J] 大學(xué)數(shù)學(xué)vol.27，NO.3，2011（6）

[2] 殷洪友，肖光世，張娟，袁泉，朱曉星 線(xiàn)性代數(shù)[M] 高等教育出版社，2012

項(xiàng)目來(lái)源：南京航空航天大學(xué)本科教學(xué)改革與建設(shè)項(xiàng)目“線(xiàn)性代數(shù)中的若干問(wèn)題研究”基金編號(hào)S003-081