馬叢珊，高 俊，婁景藝

(海軍工程大學(xué) 電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430033)

一種改進(jìn)的變步長LMS算法在Costas環(huán)中的應(yīng)用*

馬叢珊，高 俊，婁景藝

(海軍工程大學(xué) 電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430033)

針對傳統(tǒng)固定步長LMS算法在穩(wěn)態(tài)誤差、收斂速度、跟蹤速度方面無法兼得的問題，比較多種不同的變步長LMS算法,提出了一種改進(jìn)變步長LMS算法。通過對該算法進(jìn)行仿真分析，發(fā)現(xiàn)該算法不僅滿足穩(wěn)態(tài)誤差、收斂速度、跟蹤速度各方面的要求，還減小了噪聲對算法的干擾。同時(shí)，為了解決科斯塔斯（Costas）環(huán)在現(xiàn)實(shí)硬件實(shí)現(xiàn)中兩路信號無法完全一致的問題，將改進(jìn)變步長LMS算法運(yùn)用到科斯塔斯（Costas）環(huán)中，成功實(shí)現(xiàn)了載波恢復(fù)。

LMS算法;變步長;科斯塔斯（Costas）環(huán);載波恢復(fù)

0 引 言

在短波通信系統(tǒng)接收機(jī)中，如何產(chǎn)生與載波信號同頻同相的本地載波信號，是最后輸出優(yōu)質(zhì)解調(diào)信號的重要條件之一。而隨著通信、導(dǎo)航等行業(yè)的發(fā)展，對短波接收機(jī)的要求也越來越高。而在傳統(tǒng)的載波同步方法中，無論是平方環(huán)還是科斯塔斯（Costas）環(huán)，都需要I、Q兩路信號，且要求經(jīng)過低通濾波器后的兩路信號具有頻率相同、相位相差90°的特性。然而，現(xiàn)實(shí)的硬件設(shè)計(jì)很難滿足。

而在LMS算法中，由于傳統(tǒng)固定步長LMS算法[1]無法在穩(wěn)態(tài)誤差、收斂速度和跟蹤速度方面獲得最優(yōu)性能，因此本文在對多種變步長LMS算法進(jìn)行討論的基礎(chǔ)上，提出一種改進(jìn)的變步長LMS算法。仿真分析表明，該算法不僅可滿足穩(wěn)態(tài)誤差、收斂速度和跟蹤速度的要求，而且對噪聲有很好的抑制作用。

同時(shí)，本文嘗試將改進(jìn)變步長LMS算法運(yùn)用到科斯塔斯（Costas）環(huán)中，只需一路信號，即可完成最后的本地載波提取。

1 算法推導(dǎo)

1.1 固定步長LMS算法

最小均方（Least Mean Square，LMS）算法是線性自適應(yīng)濾波算法[2]。它包含了濾波和自適應(yīng)兩個(gè)基本過程，設(shè)計(jì)準(zhǔn)則是最小均方誤差準(zhǔn)則（MinimumMean Square Error，MMSE），即濾波器的期望輸出與實(shí)際輸出響應(yīng)的均方誤差最小。設(shè)e(n)為濾波器在n時(shí)刻的誤差，濾波器的輸入為x(n)，濾波器的輸出為y(n)，濾波器的抽頭權(quán)向量為，步長參數(shù)為μ。

LMS算法流程如圖1所示。

圖1 LMS算法流程

（1）輸入μ和x(n), x(n)=[x(n),x(n-1),…,x(n-M+1)]T，M為濾波器長度；

（4）計(jì)算出濾波器在n時(shí)刻的誤差e(n)=d(n)-y(n)；

（5）計(jì)算新的抽頭權(quán)向量估計(jì)值

1.2 變步長LMS算法

為了使LMS算法具有好的穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)收斂速度快、跟蹤速度快，需要采用改變步長參數(shù)的方法[4]。以下就常見的四種變步長LMS算法進(jìn)行討論。

（1）基于抽樣函數(shù)的變步長LMS算法

（2）基于雙曲正切函數(shù)的變步長LMS算法

（3）基于Lorentzian函數(shù)的變步長LMS算 法

在Lorentzian函數(shù)y=log[1+e(n)2]的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[7]提出了一種新的算法，希望能提高收斂速度和跟蹤速度。

（4）基于Sigmoid函數(shù)的變步長LMS算法

1.3 算法的選擇和改進(jìn)

四種算法的μ(n)和e(n)的關(guān)系如圖2所示?；诔闃雍瘮?shù)的算法在e(n)趨近0時(shí)，步長參數(shù)μ(n)變化緩慢，但是當(dāng)e(n)較大時(shí)，有很明顯的旁瓣?；陔p曲正切函數(shù)、基于Lorentzian函數(shù)和基于Sigmoid函數(shù)的算法，在e(n)較大時(shí)，μ(n)擁有較快的變化速度，但是在接近穩(wěn)態(tài)時(shí)，μ(n)的變化速度沒有明顯減小，容易造成穩(wěn)態(tài)失調(diào)。四種算法里，只有基于抽樣函數(shù)的算法，在e(n)為0的時(shí)候μ(n)可以為0，其余三種算法均存在誤差。計(jì)算量上，基于Lorentzian函數(shù)的算法存在平方項(xiàng)和log項(xiàng)，使得計(jì)算量大大增加。同時(shí)，四種算法的抗干擾性均不佳。

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)四種算法的穩(wěn)態(tài)誤差、 收斂速度和跟蹤速度，將對這四種算法進(jìn)行仿真比較。

圖2 四種算法的(n)和e(n)的關(guān)系對比

搭建仿真平臺條件：

（1）濾波器的階數(shù)為2。

（2）迭代次數(shù)為2 000。

（3）仿真的統(tǒng)計(jì)次數(shù)為200。

（4）未知系統(tǒng)的FTR系數(shù)為w=[0.6,0.3]，在第1 000個(gè)抽樣點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)發(fā)生突變，突變后的FTR系數(shù)為w=[0.5,0.1]。

（5）系統(tǒng)的輸入為零均值、方差為1的高斯白噪聲。

（6）系統(tǒng)的加性噪聲為零均值、方差為0.04的高斯白噪聲。

仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 四種變步長算法的比較

如圖3所示，在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差相差無幾的情況下，基于雙曲正切函數(shù)的變步長LMS算法具有很快的收斂速度和追蹤速度。但是，如前文所述，這種算法的抗噪聲能力較差。當(dāng)未知系統(tǒng)存在干擾噪聲且噪聲的自相關(guān)性很強(qiáng)時(shí)，算法的性能將受到很大影響。

因此，本文將e(n)改為e(n)e(n-1)，從而較好地控制噪聲對算法的影響。這是因?yàn)檎`差信號中的噪聲自相關(guān)性一般很強(qiáng)，而互相關(guān)性一般很差，用e(n)e(n-1)可以通過噪聲較差的互相關(guān)性將其除去，從而降低噪聲對步長參數(shù)μ(n)的影響[9]。所以，改進(jìn)后基于雙曲正切函數(shù)的變步長LMS的相關(guān)參數(shù)如下：

修改后基于雙曲正切函數(shù)的變步長LMS算法與原始基于雙曲正切函數(shù)的變步長LMS算法的仿真比較，如圖4所示。修改后基于雙曲正切函數(shù)的變步長LMS算法在誤差信號較大時(shí)，擁有較快的收斂速度，而在誤差信號接近零時(shí)，又擁有較慢的收斂速度，減小了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)失調(diào)。同時(shí)，由圖5、圖6、圖7可知，通過改變a、b、h的值，可以改變μ(n)和e(n)的關(guān)系。其中，a越大、b越大、h越小時(shí)，算法的收斂速度越快。相較b的值，a和h的值更能影響曲線的底部特性。這將影響到e(n)趨近于0時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)定性。此外，算法對a值的變化更加敏感。最終，隨著e(n)的增大，步長μ(n)將變?yōu)橐粯?。而b值更能影響曲線的初始值。這將影響到系統(tǒng)的最初收斂步長。

此外，通過計(jì)算，在輸入相同信號和相同噪聲的情況下，修改后的算法將原基于雙曲正切函數(shù)的算法的信噪比提高了10 dB，一定程度上也減小了噪聲對算法的影響。

圖4 兩種基于雙曲正切函數(shù)的變步長LMS算法的比較

圖5 a值變化時(shí)μ(n)和e(n)的關(guān)系

圖6 b值變化時(shí)μ(n)和e(n)的關(guān)系

圖7 h值變化時(shí)μ(n)和e(n)的關(guān)系

2 科斯塔斯（Costas）環(huán)原理

在接收機(jī)中，為了獲得一個(gè)與接收信號載波同頻同相的本地震蕩信號，需要進(jìn)行載波同步[10]。載波同步的方法很多，如平方環(huán)、科斯塔斯（Costas）環(huán)、再調(diào)制等。本文采用科斯塔斯（Costas）環(huán)進(jìn)行載波同步?？扑顾梗–ostas）環(huán)的載波同步原理 如圖8所示。

圖8 科斯塔斯（Cos tas）環(huán)的原理

接收信號s(t)被送入I、Q兩路，分別與va和vb相乘，其中

分別經(jīng)過相乘器后，可得

經(jīng)過低通濾波器后，分別可得

將ve與vf同時(shí)經(jīng)過相乘器，有

當(dāng)m(t)為BPSK調(diào)制時(shí)，m2(t)=1，且當(dāng)φ很小時(shí)，可得

將vg輸入到壓控振蕩器中，調(diào)節(jié)壓控振蕩器的輸出va。當(dāng)φ=0時(shí)，vg=0，此時(shí)的va即為科斯塔斯（Costas）環(huán)的輸出載波，用它來做相干解調(diào)的本地載波時(shí)，得到的ve即為解調(diào)輸出。

3 變步長LMS算法在科斯塔斯（Costas）環(huán)中的應(yīng)用

將改進(jìn)的基于正切曲線的LMS算法應(yīng)用于科斯塔斯（Costas）環(huán)中，用算法的迭代結(jié)果取代原來I、Q兩路經(jīng)過相乘器后的結(jié)果，如圖9所示。

圖9 運(yùn)用變步長LMS算法的科斯塔斯（Costas）環(huán)

接收信號s(t)被送入I路與va相乘，其中

經(jīng)過相乘器后，可得

分別經(jīng)過低通濾波器和環(huán)路濾波器后，可得

當(dāng)m(t)為BPSK調(diào)制時(shí)，m2(t)=1，可得

將vc作為LMS算法的輸入x(n)，而算法的期望輸出d(n)=0。通過不斷迭代調(diào)整，當(dāng)e(n)→0時(shí)，將此時(shí)所得的y(n)輸入給壓控振蕩器所得的va，即為運(yùn)用LMS算法的科斯塔斯環(huán)（Costas）環(huán)的輸出載波，用它來做相干解調(diào)的本地載波時(shí)，得到的vc即為解調(diào)輸出。如圖10所示，假設(shè)信噪比為-20 dB，通過MATLAB仿真，最后φ值趨近于零，此時(shí)va=cos(ωct)即為提取的本地載波，符合對科斯塔斯（Costas）環(huán)設(shè)計(jì)的最基本要求。

圖10 φ值的變化情況

4 結(jié) 語

通過比較前人的算法，提出了一種改進(jìn)的變步長LMS算法，并將其成功應(yīng)用于斯塔斯（Costas）環(huán)，實(shí)現(xiàn)了本地載波的提取。通過仿真分析提出的改進(jìn)算法變步長LMS算法，發(fā)現(xiàn)其不僅滿足穩(wěn)態(tài)誤差、收斂速度、跟蹤速度各方面的要求，還減小了噪聲對算法的干擾。同時(shí)，通過MATLAB仿真可以看出，這種基于變步長LMS算法的科斯塔斯（Costas）環(huán)，可以很好地完成本地載波的提取，很好地解決了科斯塔斯（Costas）環(huán)在現(xiàn)實(shí)硬件實(shí)現(xiàn)中兩路信號無法完全一致的問題。

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馬叢珊（1990—），女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閿?shù)字理論與技術(shù)；

高 ?。?957—），男，博士，博士生導(dǎo)師，教授，主要研究方向?yàn)橥ㄐ爬碚撆c技術(shù)、無線通信；

婁景藝（1979—），女，博士，副教授，研究方向?yàn)閿?shù)字通信、衛(wèi)星通信。

Application of A Modified Variable-step LMS Algorithm in the Costas Loop

MA Cong-shan,GAO Jun,LOU Jing-yi
(College of Electronic Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan Hubei 430033,China)

Aiming at traditional constant-step LMS algorithm cannot simultaneously satisfy the steadystate error, the convergence speed and tracking speed, comparing different Variable-step LMS algorithm, a Modified Variable-step LMS algorithm is proposed. Simulation and analysis on the algorithm indicate that the algorithm not only can simultaneously satisfy the steady-state error, the convergence speed and tracking speed, but also can decrease the interference of noise. At the same time, it is difficult for Costas to have Identical two-way signal in the hardware implementation. A Modified Variable-step LMS algorithm is applied Costas. It is batter at carrier recovery.

LMS algorithm; Variable-step; Costas loop; carrier recovery

TN911

：A

：1002-0802(2016)-06-0673-06

10.3969/j.issn.1002-0802.2016.06.005

2016-02-15;

：2016-05-07 Received date:2016-02-15;Revised date:2016-05-07