潘劍儒

(成都師大一中高中部 610303)

數(shù)學(xué)教學(xué)以傳授與培養(yǎng)思想方法進(jìn)而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力為根本目的，以不同的角度去探究熟悉的數(shù)學(xué)問題往往會有更精彩的方法或更新的發(fā)現(xiàn).本文以“離心角”(參變量)為路徑探索關(guān)于焦點(diǎn)三角形面積與外接圓半徑R，內(nèi)切圓半徑r的關(guān)系.分別得到關(guān)于橢圓與雙曲線焦點(diǎn)三角形面積的奇異性質(zhì).本文所用方法簡單自然，結(jié)論奇異而且拓展空間大.

1 橢圓焦點(diǎn)三角形面積的性質(zhì)

F1(-c,0),F2(c,0)分別是左右焦點(diǎn),r1,r2分別為焦半徑PF1,PF2的長.

①

又由線段PF2的中垂線方程

②

由圓錐曲線統(tǒng)一定義知

r1=a+ccosθ,r2=a-ccosθ，

③

④

最后分母用均值不等式得

性質(zhì)1證畢.

2 雙曲線焦點(diǎn)三角形面積的性質(zhì)

因線段PF2的中垂線方程為

由圓錐曲線統(tǒng)一定義知

r1=csecθ+a,r2=csecθ-a，

則r1r2=c2(1+tan2θ)-a2=b2+c2tan2θ,

⑤

⑥

⑤與⑥式相乘得r1r2=2(1+secθ)Rr

⑦

由⑥兩邊平方整理得

r2(2+2secθ+tan2θ)=b2tan2θ，

⑧

故sin∠F1PF2=sin2α=2sinαcosα

⑨

分母用均值不等式知S≤(1+secθ)Rr

⑩

性質(zhì)2證畢.

正所謂所行道路不同,則欣賞的風(fēng)景不同,本文以“離心角”為路徑,得到如此有趣的性質(zhì).從本文證明過程不難看出上述③、④、⑦、⑧等式也是橢圓與雙曲線的有用性質(zhì)，用這些性質(zhì)可以得到相關(guān)更多奇異結(jié)論.作為拋磚引玉,最后給出下例兩個問題，有趣的讀者可根據(jù)本文的相關(guān)結(jié)論或推導(dǎo)思路解決.