西安交通大學(xué)附屬中學(xué)分校 熊 敏

一題多解，挖掘問題的本質(zhì)
——彰顯數(shù)學(xué)的魅力

西安交通大學(xué)附屬中學(xué)分校 熊 敏

我們在中考復(fù)習(xí)的過程中，教師常常會(huì)引導(dǎo)學(xué)生一題多解。筆者認(rèn)為作為教師要讓學(xué)生有展示的機(jī)會(huì)，并且要對(duì)學(xué)生的不同解法做出有層次的評(píng)價(jià)，挖掘出問題的本質(zhì)，這樣對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的發(fā)展能起到很好的推動(dòng)作用。下面，我要從一道中考真題的一題多解談?wù)勅绾芜M(jìn)行一題多解教學(xué)。

2013年陜西中考第10題：

已知兩點(diǎn)A（－5，y1）、B（3，y2）均在拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上，點(diǎn)C（x0，y0）是該拋物線的頂點(diǎn)，若y1＞y2≥y0，則x0的取值范圍是（）

A.x0＞－5 B.x0＞－1 C.－5＜x0＜－1 D.－2＜x0＜3

生甲：老師，我的解法是：

將A（－5，y1）、B（3，y2）代入y=ax2+bx+c（a≠0）得，

生乙：老師，我在甲同學(xué)的方法的基礎(chǔ)上稍有改動(dòng)，我的解法是：

由y1＞y2得：25a-5b+c＞9a+3b+c，

生丙：老師，我與前面兩位同學(xué)的方法完全不同，不用計(jì)算，只要畫圖像就可以得到答案。

由y1＞y2≥y0得a＞0。

（1）當(dāng)A、B在對(duì)稱軸的同側(cè)，如圖1，則x0≥-3，（2）當(dāng)A、B在對(duì)稱軸的異側(cè)，如圖2，假設(shè)y1=y2，則x0=-1，但y1＞y2，∴-1＜x0＜3，綜上x0＞-1。

生?。豪蠋?，我在丙的基礎(chǔ)上，不用分情況也能說理清楚：

兩邊平方，化簡得x0＞-1。

教師點(diǎn)評(píng)：

甲、乙兩生是同一種方法，均為代數(shù)方法，在解y1＞y2不等式的過程中，甲生用到了代入消元的思想，減少參數(shù)的個(gè)數(shù)才使得x0的范圍柳暗花明；乙生用到了分析法，要求x的范圍，只要求-

0的范圍即可，從結(jié)論出發(fā)找原因，是今后我們分析問題常用的方法。

丙生用了圖像法，非常形象直觀的幫助我們找到了x0的范圍，但同學(xué)們應(yīng)用這種方法時(shí)容易忽視二次函數(shù)有兩段單調(diào)區(qū)間，忘記分類討論，以偏概全。這也是出題人抓住了考生的心理，設(shè)下的陷阱。

丁生的解法由于抓住了比較二次函數(shù)兩個(gè)函數(shù)值大小的本質(zhì)，二次函數(shù)的增減性由開口方向和對(duì)稱軸共同確定，由題可知，拋物線開口向上，A、B兩點(diǎn)誰離對(duì)稱軸近誰對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就小。

同學(xué)們在經(jīng)歷了與甲、乙兩位同學(xué)的代數(shù)方法的比較，與丙生分類討論，圖像法的鋪墊，一致認(rèn)為，我們在解決此類問題時(shí)，丁生把數(shù)與形結(jié)合起來的方法，更為簡潔易懂。所以，讓學(xué)生在比較、討論、爭論中，找出最簡便的解法和獨(dú)特的富有新意的解題思路，有利于加深學(xué)生對(duì)多種解題方法的認(rèn)識(shí)，從而更熟練地把握一類題目的解決方法。

引導(dǎo)學(xué)生自己找出最簡便的解法，在學(xué)生求得多種解題方法之后，讓他們自己去分析比較，可以相互討論，在分析比較、相互討論的過程中感受最簡便的解題方法。這一過程就是一個(gè)繼續(xù)思考的過程，也是對(duì)一類題的各種解法的再認(rèn)識(shí)的過程。只有經(jīng)歷了這樣的過程，才能真正把握一類題的最簡便的解題方法，才能進(jìn)一步提高解決問題的能力和效率。