劉玉華+王文清

教學(xué)過(guò)程

課前準(zhǔn)備：生合上書(shū)，準(zhǔn)備好練習(xí)本、直尺、筆、計(jì)算器等.

說(shuō)明：合上書(shū)的策略，是為了促使學(xué)生積極主動(dòng)地思考，盡量避免學(xué)生思維偷懶，盡量能暴露學(xué)生的真實(shí)思維成果，養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣，提高思維能力.

1溫故設(shè)疑，創(chuàng)設(shè)情境

師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，是按照怎樣的線索和思路研究等差數(shù)列的？研究了等差數(shù)列的哪些知識(shí)？

生眾：先學(xué)習(xí)等差數(shù)列的定義，然后學(xué)習(xí)通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.

師：回答得很好！等差數(shù)列的定義是什么？

生1：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差.

師：很準(zhǔn)確！數(shù)列是按照一定順序排列的一列數(shù)，等差數(shù)列實(shí)際上是根據(jù)研究數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)之間的運(yùn)算關(guān)系得出的特殊數(shù)列.那么，一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)既然可以做減法運(yùn)算，還可以做哪些運(yùn)算？

生2：還可以做加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算、除法運(yùn)算.

師：如果任意后一項(xiàng)與前一項(xiàng)分別做加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算、除法運(yùn)算，且其運(yùn)算結(jié)果分別不變，那么這樣的數(shù)列你認(rèn)為分別應(yīng)當(dāng)稱(chēng)為什么數(shù)列？

生3：等和數(shù)列、等積數(shù)列、等商數(shù)列.

師：如何定義這些數(shù)列？你能舉出幾個(gè)這樣的具體數(shù)列嗎？

生4（迫不及待站起來(lái)回答）：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的和都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和.如：1，2，1，2，….

師：非常棒！我們又得到了一種新的數(shù)列！

生5：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的積都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等積數(shù)列的公積.如1，2，1，2，….

師：你太聰明了，用了剛才的例子，我們又得到了另一種新的數(shù)列：等積數(shù)列！大家還能舉出其它等積數(shù)列的例子嗎？

生6∶1，1，1，…，這個(gè)數(shù)列是等積數(shù)列，并且它也是等和數(shù)列！

師：好！你有新發(fā)現(xiàn)，又舉了一個(gè)既是等和數(shù)列又是等積數(shù)列的好例子！

生7：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的商都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等商數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等商數(shù)列的公商.如：1，2，4，8，….

點(diǎn)評(píng)教師對(duì)本節(jié)課的引入沒(méi)有按照教材的設(shè)計(jì)進(jìn)行（人教A版教材安排：觀察生活中的實(shí)例→抽象得到數(shù)列→觀察數(shù)列的特點(diǎn)→得出等比數(shù)列的定義.），而是采用了本課例的點(diǎn)評(píng)人在2016年3月濱州市高中基礎(chǔ)年級(jí)教學(xué)研討會(huì)上評(píng)課時(shí)，提出的等比數(shù)列的引入，可以“從考察既然等差數(shù)列是一類(lèi)項(xiàng)與項(xiàng)其“差”不變的特殊數(shù)列，那么自然想到，若項(xiàng)與項(xiàng)其“和”不變，其“積”不變，其“商”不變，則這樣的數(shù)列有沒(méi)有研究?jī)r(jià)值呢？應(yīng)分別稱(chēng)為什么數(shù)列呢？”的視角引入（已研究了“差”，自然會(huì)想到還可以做哪些運(yùn)算？并且不變呢？），這是站在知識(shí)整體的高度設(shè)計(jì)教學(xué)，等差數(shù)列和等比數(shù)列只不過(guò)是對(duì)數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系研究得來(lái)，不僅使得等比數(shù)列的定義呼之欲出，而且我們還發(fā)現(xiàn)了教材上沒(méi)有的另外兩種數(shù)列——等和數(shù)列與等積數(shù)列.這種設(shè)計(jì)不僅讓學(xué)生知其然，更知其所以然，不但較好地培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，而且滲透了研究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)新知識(shí)的方式、方法.可以極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)的熱情！對(duì)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度和認(rèn)識(shí)的影響將是深遠(yuǎn)的、長(zhǎng)久的、巨大的.

2聯(lián)系類(lèi)比，生成新知

2.1等比數(shù)列的定義

師：同學(xué)們類(lèi)比得非常好！大家可以看出等和數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別相等（也可以是常數(shù)列，所有項(xiàng)都相等）；等積數(shù)列，如果公積不為0也是如此，若公積為0，情況比較復(fù)雜，暫不討論；與等差數(shù)列最為類(lèi)似的是同學(xué)們說(shuō)的等商數(shù)列，因?yàn)槊恳豁?xiàng)與它的前一項(xiàng)的商就是每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比，所以我們通常把等商數(shù)列叫做等比數(shù)列，這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)等比數(shù)列.（師板書(shū)課題）

師：如何定義等比數(shù)列？你能舉出一個(gè)具體的等比數(shù)列嗎？

生8：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比.如：1，3，9，27，….

（師在學(xué)生回答的過(guò)程中板書(shū)以上內(nèi)容.）

師：同學(xué)用文字語(yǔ)言敘述得很好，你能用符號(hào)語(yǔ)言表示嗎？

生9：和等差數(shù)列類(lèi)似，anan-1=q（n>1）或?qū)憺閍nan-1=q（n≥2）.

師：好！判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列？

（1）1，-1，1，-1…

（2）a，a，a，a…

（3）1，x，x2，x3…

生10：這三個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列.

生11：不對(duì)?。?）（3）不一定是，在（2）中，若a=0，0不能做分母，不滿足等比數(shù)列的定義；（3）中x=0也不行.

師：生11的思維很?chē)?yán)謹(jǐn)，由此看來(lái)，等比數(shù)列中的任意項(xiàng)都不能為0，這和等差數(shù)列不同，等差數(shù)列中的項(xiàng)可以為任意實(shí)數(shù)，公差也為任意實(shí)數(shù)，等比數(shù)列中的公比是否也為任意實(shí)數(shù)？

生12：等比數(shù)列中的公比不能為0.

師：所以等比數(shù)列的定義中我們加上：公比通常用q表示（q≠0）.

（師在剛才板書(shū)的等比數(shù)列定義后面寫(xiě)上公比通常用q表示（q≠0））

師：在日常生活中有許許多多等比數(shù)列的例子，你能舉出幾個(gè)等比數(shù)列的例子嗎？

（生13、生14、生15所舉實(shí)例，恰好就是教材上的“細(xì)胞分裂”、“計(jì)算機(jī)病毒”、“銀行存款”等問(wèn)題.所以這里從略.）如某種細(xì)胞分裂，1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，4個(gè)分裂成8個(gè)，…，細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)可以組成一個(gè)等比數(shù)列：1，2，4，8…，公比是2.

師：同學(xué)們舉的例子都很好，在日常生活中，等比數(shù)列的例子還有許許多多，我國(guó)古代一些學(xué)者提出：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭.”如果把“一尺之棰”看成單位“1”，那么得到的數(shù)列是什么？是否是等比數(shù)列？公比是什么？

生16：1，12，14，18…是等比數(shù)列，公比是12.

點(diǎn)評(píng)通過(guò)前面的溫故設(shè)疑，等比數(shù)列定義呼之即出，難能可貴的是執(zhí)教者在學(xué)生得出等比數(shù)列的定義后，沒(méi)有急于對(duì)等比數(shù)列進(jìn)行“一個(gè)定義三項(xiàng)注意”式的講解，而是通過(guò)舉例，讓學(xué)生辨析、比較、領(lǐng)悟等比數(shù)列與等差數(shù)列的不同之處，進(jìn)一步深化對(duì)等比數(shù)列定義的理解；不僅如此，老師進(jìn)一步讓學(xué)生舉出實(shí)際生活中的等比數(shù)列的例子，這不僅深化了學(xué)生對(duì)等比數(shù)列定義的理解，意在培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，把新課標(biāo)精神踏踏實(shí)實(shí)地落實(shí)到了課堂中.只是稍感遺憾的是，學(xué)生可能因?yàn)檎n前預(yù)習(xí)的緣故，但更可能是生活積累不足的原因，舉的都是課本上的例子，老師若能進(jìn)一步放飛學(xué)生的思維，舉出課本以外的例子會(huì)更好！

2.2等比中項(xiàng)的定義

師：我們已經(jīng)知道了什么是等比數(shù)列，最簡(jiǎn)單的等比數(shù)列有幾項(xiàng)？你能舉出一個(gè)例子嗎？

生17：和等差數(shù)列類(lèi)似，三項(xiàng)，如1，2，4.

師：對(duì)，既然和等差數(shù)列類(lèi)似，2可以叫做1和4的什么項(xiàng)？

生眾：等比中項(xiàng).

師：推廣到一般情況，如何定義等比中項(xiàng)？

生18：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)（師板書(shū)以上內(nèi)容）.

師：類(lèi)比得很好！能用a與b表示G嗎？

生19：G=ab.

生20：不對(duì)，G=±ab..

師：為什么？

生21：因?yàn)閍b的平方根有兩個(gè)，這兩個(gè)平方根都滿足題意.

師：很好！等比中項(xiàng)雖然和等差中項(xiàng)類(lèi)似，但還是有不同的地方，等比中項(xiàng)有兩個(gè)值，這兩個(gè)值互為相反數(shù).

師：請(qǐng)判斷下列兩組數(shù)有無(wú)等比中項(xiàng)，若有，請(qǐng)你求出其等比中項(xiàng)：

（1）―1與―4；（2）1與―4.

（生答（略））

師：由此可見(jiàn)，并不是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)，當(dāng)兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b滿足什么條件時(shí)才有等比中項(xiàng)？

生22：a與b的符號(hào)相同時(shí)才有等比中項(xiàng).

師：很好！a與b的符號(hào)相同時(shí)才有等比中項(xiàng)，并且等比中項(xiàng)應(yīng)該有兩個(gè).（師板書(shū)ab>0）

師：我們知道，有的數(shù)列如：1，2，1，2，……它既是等和數(shù)列又是等積數(shù)列，那么是否存在既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列的數(shù)列嗎？若存在，你能舉個(gè)例子嗎？

生23：常數(shù)列，如2，2，2….

師：常數(shù)列一定既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列嗎？

生24：不一定，如0，0，0…，應(yīng)該是非零的常數(shù)列一定既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列！

師：你總結(jié)得很準(zhǔn)確！非零的常數(shù)列非常特殊，它既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，還是等和數(shù)列，等積數(shù)列?。ò鍟?shū)）

2.3等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

師：我們先學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義，然后推導(dǎo)出了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的定義，接下來(lái)，我們應(yīng)當(dāng)干什么？

生眾：推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.

師：投影出示：已知等比數(shù)列{an}，首項(xiàng)為a1，公比為q，求an.

學(xué)生在練習(xí)本上獨(dú)立推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，師巡視指導(dǎo).

師（看到大部分學(xué)生都已推導(dǎo)完通項(xiàng)公式）：哪位同學(xué)上講臺(tái)展示一下自己的解法？

（先后有四位同學(xué)實(shí)物投影展示自己的解法）

生25：（歸納、猜想法，具體略.）

師：你怎么想到這種推導(dǎo)方法的？

生：類(lèi)比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法！

師：很好！所得結(jié)論顯然是正確的！類(lèi)比不僅是一種重要的學(xué)習(xí)方法，也是一種重要的發(fā)現(xiàn)方法.“類(lèi)比是一個(gè)偉大的引路人”，在許多知識(shí)的學(xué)習(xí)中都可以用到類(lèi)比.

師：同學(xué)們還有其它不同的解法嗎？

生26：我是類(lèi)比等差數(shù)列的疊加法想到用累乘法求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的.（略）

生27：和等差數(shù)列類(lèi)似，也可以運(yùn)用迭代法.

an=an-1q=an-2q2=…=a1qn-1（n∈N*）

顯然上式當(dāng)n=1時(shí)，也成立.

生28：an=a1·a2a1·a3a2···anan-1=a1qn-1

顯然上式當(dāng)n=1時(shí)，也成立.

師：上述解法都不錯(cuò)，尤其生28的解法妙極了！運(yùn)用了一個(gè)恒等式，就使問(wèn)題順利解決了.

生29：構(gòu)造常數(shù)列anqn，因?yàn)閍nqn=a1q，所以an=a1qn-1.

師：你的觀察能力非常強(qiáng)！化“變”為“不變”，用的是轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

剛才幾位同學(xué)解答得都非常好！不管用哪種方法，最后都得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1（師板書(shū)）.

師：剛才等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式都是類(lèi)比等差數(shù)列學(xué)習(xí)的，在等差數(shù)列（非常數(shù)列）中，通項(xiàng)公式an是關(guān)于n的一次函數(shù)，在等比數(shù)列中，通項(xiàng)公式an是關(guān)于n的什么類(lèi)型的函數(shù)？

生30：指數(shù)型函數(shù).

生31：不對(duì)，應(yīng)該是，當(dāng)q≠1時(shí)，通項(xiàng)公式an是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù).

師：好！請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出通項(xiàng)公式為an=2n-1的數(shù)列的圖象和函數(shù)y=2x-1的圖象，你會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生做圖，師巡視指導(dǎo).

生32：通項(xiàng)公式為an=2n-1的數(shù)列的圖象為函數(shù)y=2x-1的圖象上的一些孤立的點(diǎn)，就是當(dāng)x=1，2，3…時(shí)得到的那些點(diǎn).

師：由此看出，等比數(shù)列就是指數(shù)型函數(shù)的特例，原來(lái)研究指數(shù)函數(shù)的方法同樣適用于研究等比數(shù)列.

點(diǎn)評(píng)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).老師沒(méi)有直接講解通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，而是讓學(xué)生獨(dú)立推導(dǎo)，上講臺(tái)投影展示自己的解法，增大了課堂容量，暴露了學(xué)生的思維，保障了學(xué)生的主體地位；同時(shí)，老師在學(xué)生講解的基礎(chǔ)上，不斷總結(jié)、提煉、升華，充分發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用.這充分體現(xiàn)了執(zhí)教者“以生為本”的育人理念.值得一提的是，學(xué)生實(shí)物投影展示推導(dǎo)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的過(guò)程，沒(méi)在黑板上留下板書(shū)，不利于學(xué)生進(jìn)一步反芻思考、歸納整理，若改為四個(gè)同學(xué)板演，保留板演過(guò)程效果應(yīng)該會(huì)更好！

3學(xué)以致用，深化提高

師：在等比數(shù)列中，我們已經(jīng)推導(dǎo)出通項(xiàng)公式為an=a1qn-1，根據(jù)此公式，你能設(shè)計(jì)出什么題目？

生眾：和學(xué)習(xí)等差數(shù)列的題目類(lèi)似，已知通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d中的任何三個(gè)量就可以求另外一個(gè)量，也就是知三求一問(wèn)題.

師：那好，請(qǐng)同學(xué)們自編兩個(gè)知三求一的問(wèn)題.

同學(xué)們陸續(xù)編出很多問(wèn)題，老師精選四個(gè)題目寫(xiě)到黑板上：

（1）已知在等比數(shù)列{an}中，a1=1，q=3，求a5.

（2）已知在等比數(shù)列{an}中，a1=2，a5=8，求q.

（3）已知在等比數(shù)列{an}中，a2=12，a5=116，求a8.

（4）已知在等比數(shù)列{an}中，a3=1，q=3，求a5.

……

師：同學(xué)們編的題目很好，請(qǐng)同學(xué)們完成以上四個(gè)小題（四名學(xué)生板演）.（（1）、（2）、（4）解答略）

生33：（3）學(xué)生板演過(guò)程如下：

由題意得，a2=a1q=12， ①

a5=a1q4=116.②

解得a1=1，

q=12.

所以a8=a1q7=1×127=1128.

師（巡視，看同學(xué)們基本做完）：哪位同學(xué)點(diǎn)評(píng)一下這四個(gè)題目的解答過(guò)程？

生34點(diǎn)評(píng)：這四位同學(xué)的結(jié)果都是正確的，都利用了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1，只是在（2）中，我組有的同學(xué)把q=±42寫(xiě)成了q=42，一個(gè)正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，需引起重視.

師：點(diǎn)評(píng)得太漂亮了！這幾位同學(xué)把題目中的量都用a1、q表示，然后進(jìn)行求解，這種解決問(wèn)題的思想方法叫做基本量法，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的轉(zhuǎn)化思想.

生35：老師，（3）題，我還有簡(jiǎn)單做法！

（3）因?yàn)閍25=a2a8，

所以a8=a25a2=116212=1128.

師：你的觀察能力非常強(qiáng)，做得非常巧妙！他充分利用了a5是a2與a8的等比中項(xiàng)，和等差中項(xiàng)類(lèi)似，an是an-k與an+k（n>k>0）的等比中項(xiàng)，所以有：a2n=an-k·an+k（n>k>0）.

生36：老師，（3）題，我還有一種解法：

由a5=a2q3=12q3=116，得q=12.

所以a8=a5q3=116×123=1128.

師：非常好！他靈活運(yùn)用等比數(shù)列的定義，看出a5=a2q3，這里我們也可以得出一個(gè)一般性結(jié)論：an=amqn-m（n，m∈N*），也和等差數(shù)列類(lèi)似！

生37：老師，（4）題也可以用類(lèi)似的解法：

a5=a3q2=1×32=9.

師：剛才同學(xué)活學(xué)活用，解得很好！第（4）題用第（3）題總結(jié)出來(lái)的結(jié)論解答更簡(jiǎn)捷！

同學(xué)們的思維都很活躍！解決與等比數(shù)列通項(xiàng)公式有關(guān)的問(wèn)題，通法是基本量法，當(dāng)然，針對(duì)不同的題目，我們用等比數(shù)列的一些性質(zhì)解答會(huì)很方便，如剛才總結(jié)得出的a2n=an-k·an+k（n>k>0）和an=amqn-m（n，m∈N*），所以，請(qǐng)大家在運(yùn)用通法的同時(shí)，多思考、多探索，嘗試用一些巧法會(huì)更好！

點(diǎn)評(píng)提出一個(gè)問(wèn)題遠(yuǎn)比解決一個(gè)問(wèn)題更重要！此環(huán)節(jié)，老師沒(méi)有出示自己設(shè)計(jì)好的例題，而是放手讓學(xué)生設(shè)計(jì)題目，然后選取典型題目讓同學(xué)嘗試解答.這樣的題目來(lái)源于學(xué)生，學(xué)生解決自己提出的問(wèn)題會(huì)更有興趣，老師在學(xué)生智慧的閃光中因勢(shì)利導(dǎo)，總結(jié)解題規(guī)律，提煉解題方法，詮釋數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了執(zhí)教者高超的駕馭課堂的能力！

在力所能及的情況下，讓學(xué)生編題是本文點(diǎn)評(píng)者自80年代以來(lái)，一貫的做法和提倡，它不僅能豐富課堂練習(xí)，而且能加深學(xué)生對(duì)內(nèi)容的理解，是一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很好的、很有效的措施.另外，如果能引導(dǎo)學(xué)生編出幾道開(kāi)放性問(wèn)題，就更好了（如，（1）已知a3=3，a4=6，求；（2）已知a2=1，，求a8；等等.）.它不僅能加深學(xué)生對(duì)通項(xiàng)公式的理解，而且可以提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

對(duì)第（3）題的處理，本文點(diǎn)評(píng)者歷來(lái)不主張用等比數(shù)列的性質(zhì)，尤其，不應(yīng)作為對(duì)全體學(xué)生的要求！對(duì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀生可以記，可以用，但對(duì)于其他大多數(shù)學(xué)生不要求，不鼓勵(lì).因?yàn)樗粌H增加學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，而且會(huì)常常出錯(cuò).如果教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，始終滲透數(shù)學(xué)思考的一個(gè)最重要的方法——分析綜合法，那么，第（3）題的解答也會(huì)有不次于用性質(zhì)的解法，即注意到要求的a8=a1q7，則由生33解答中的②2÷①，即得.這樣一節(jié)課下來(lái)，始終就是緊緊抓住處理數(shù)列問(wèn)題的最重要，也是最通用的基本思想方法——基本量思想和分析綜合法，學(xué)生的負(fù)擔(dān)輕，思路明，方法專(zhuān)，就會(huì)學(xué)的輕松、愉快！

4反思小結(jié)，提煉觀點(diǎn)

師：同學(xué)們，我們本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？是如何學(xué)習(xí)這些知識(shí)的？用到了哪些思想方法？有哪些基本題型？你還有哪些感悟？

生38：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的定義、等比中項(xiàng)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，主要運(yùn)用類(lèi)比的思想方法學(xué)習(xí)的，主要題型有知三求一問(wèn)題.

生39：我覺(jué)得在學(xué)習(xí)時(shí)要先想想以前是否有類(lèi)似的問(wèn)題，注意運(yùn)用類(lèi)比；在學(xué)習(xí)時(shí)要理解好定義，定義是解決一切問(wèn)題的源頭；再就是注意觀察實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題！

師：同學(xué)們都總結(jié)得很好！請(qǐng)看屏幕（等差數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)比表格（略））：

師：數(shù)列孿生子，等差和等比；形神都相似，處處用類(lèi)比；

等比要條件，等差不挑剔；遇題要分清，巧解更容易.

點(diǎn)評(píng)小結(jié)是一節(jié)課的畫(huà)龍點(diǎn)睛之筆.本節(jié)課從五個(gè)方面讓學(xué)生進(jìn)行反思小結(jié)，建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，注重提高學(xué)生的思維能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)；最后教師用一首打油詩(shī)結(jié)束本課，進(jìn)一步展現(xiàn)了老師較高的教學(xué)藝術(shù)，給本節(jié)課帶來(lái)了生機(jī)和情趣，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性！

師生都沒(méi)有提到?jīng)]有用到的“分析綜合法”在意料之中，但都沒(méi)有提到已用到的歸納、猜想，迭代、累乘法、恒等式、轉(zhuǎn)化與化歸、基本量等思想方法和等和數(shù)列、等積數(shù)列，以及編題活動(dòng)，則很不正常，只能說(shuō)明學(xué)生對(duì)它們印象不深，重視不夠，這不能不說(shuō)是本節(jié)課的遺憾！

5布置作業(yè)，鞏固提高

作業(yè)：1.人教A版P53習(xí)題24中的第1題；

2.查找資料，就生活中的等差數(shù)列和等比數(shù)列問(wèn)題寫(xiě)一篇小論文.

點(diǎn)評(píng)新課標(biāo)提出了“四基三能”，作業(yè)第2題很好地落實(shí)了課標(biāo)的這一要求，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)大有裨益.

6總評(píng)

6.1整體建構(gòu)，突出創(chuàng)新

數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得應(yīng)該是遵循知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的自然規(guī)律，一般是在原有“舊知識(shí)”上的自然生成.本節(jié)課中，老師的導(dǎo)入由復(fù)習(xí)等差數(shù)列開(kāi)始，看似簡(jiǎn)單，卻指向性明確，不但復(fù)習(xí)了等差數(shù)列的研究思路，還挖掘出發(fā)現(xiàn)、研究數(shù)學(xué)的方法，尤其發(fā)現(xiàn)、研究特殊數(shù)列的方法（利用相鄰兩項(xiàng)的運(yùn)算關(guān)系），學(xué)生自然地得出“等和數(shù)列”、“等積數(shù)列”、“等商數(shù)列”這些新概念，使得等比數(shù)列概念的得出水到渠成，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)至關(guān)重要！這種整體建構(gòu)情境的做法，使得導(dǎo)入自然而又新穎，是本節(jié)課的一大亮點(diǎn).

6.2聯(lián)系類(lèi)比，自然生成

波利亞說(shuō)：“類(lèi)比是一個(gè)偉大的引路人”；開(kāi)普勒說(shuō)：“我珍視類(lèi)比勝于任何別的東西，它是我最可信賴(lài)的老師，它能揭示自然界的秘密”.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若能充分恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用類(lèi)比，驅(qū)學(xué)生的思維于最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，利于發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)在研究思路、方式、方法、內(nèi)容之間的區(qū)別和聯(lián)系，減輕學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.本節(jié)課中，等比數(shù)列是完全類(lèi)比等差數(shù)列來(lái)學(xué)習(xí)的，學(xué)生對(duì)等比數(shù)列、等比中項(xiàng)、通項(xiàng)公式的得來(lái)都感到得心應(yīng)手；即便是關(guān)于等比數(shù)列的題型，學(xué)生也非常容易地聯(lián)系和類(lèi)比等差數(shù)列，得到知三求一問(wèn)題，這些新知識(shí)的獲得都是自然而然、輕松自如的，因此可以輕而易舉地把這些新知識(shí)納入到已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中.

6.3學(xué)為主體，教為主導(dǎo)

《教育規(guī)劃綱要》指出：“要以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)，充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性……”本節(jié)課中，執(zhí)教者把教學(xué)的重心放在學(xué)生的學(xué)上，給了學(xué)生充分的話語(yǔ)權(quán)；同時(shí)，教師也未放棄自己的主導(dǎo)地位，不斷恰當(dāng)?shù)赜枰砸龑?dǎo)、點(diǎn)撥、總結(jié)、提煉、評(píng)價(jià).如：在等比數(shù)列定義的獲得和深度理解，等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和鞏固強(qiáng)化等處，老師都不斷地引導(dǎo)學(xué)生思考、總結(jié)，特別是放手讓學(xué)生編題，由學(xué)生板演和點(diǎn)評(píng)等等，充分保障了學(xué)生的主體地位；同時(shí)，教師在整個(gè)過(guò)程中總結(jié)出類(lèi)比、遞推、轉(zhuǎn)化、化歸等數(shù)學(xué)思想方法，起到了“授之以漁”的作用.

6.3.1注重培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)

“提出一個(gè)問(wèn)題遠(yuǎn)比解決一個(gè)問(wèn)題更重要”.新課標(biāo)明確指出：提高學(xué)生提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力；現(xiàn)代思維科學(xué)認(rèn)為，問(wèn)題是思維的起點(diǎn)，任何思維過(guò)程總是指向某一具體問(wèn)題的，問(wèn)題又是創(chuàng)造的前提，一切發(fā)明創(chuàng)造都是從問(wèn)題開(kāi)始的.培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).本節(jié)課中，執(zhí)教者從多個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，一是精心設(shè)置了一系列的問(wèn)題串推動(dòng)本節(jié)課的教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)；二是放手讓學(xué)生類(lèi)比、猜想、概括、總結(jié)等比數(shù)列的定義、等比中項(xiàng)、通項(xiàng)公式等，發(fā)展學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)；三是不斷評(píng)價(jià)稱(chēng)贊學(xué)生，保護(hù)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí).相信，長(zhǎng)此以往，學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)會(huì)越來(lái)越強(qiáng)，創(chuàng)新的種子必定會(huì)生根發(fā)芽.

6.3.2大膽放手，給學(xué)生思維的時(shí)空

羅曼·羅蘭曾說(shuō)“一個(gè)人只能為別人引路，不能代替他們走路.”俗話說(shuō)“告訴我，我會(huì)忘記；做給我看，我會(huì)記得；我親自做，我才懂得.”課堂是否有效，主要不在于教師教了學(xué)生什么，而在于學(xué)生學(xué)到了什么.這就需要教師在課堂上創(chuàng)設(shè)一種“海闊憑魚(yú)躍，天高任鳥(niǎo)飛”的發(fā)展空間，讓學(xué)生在自我摸索中發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)之道，體悟成功的快樂(lè)，讓課堂成為師生互動(dòng)的平臺(tái)，成為學(xué)生自主探究、放飛思維、升華能力的搖籃.本節(jié)課中，執(zhí)教者從等比數(shù)列定義的形成到通項(xiàng)公式的推導(dǎo)運(yùn)用，充分讓學(xué)生思考、發(fā)言、辨析、評(píng)價(jià)、總結(jié)，老師適時(shí)追問(wèn)、補(bǔ)充、總結(jié)、提煉、升華，課堂中充溢著理性的思考，閃爍著著智慧的靈光，真正讓課堂“活”、“動(dòng)”起來(lái)了！

6.3.3合理評(píng)價(jià)，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)發(fā)展

新課標(biāo)提出，要發(fā)揮評(píng)價(jià)的積極導(dǎo)向作用.課堂教學(xué)評(píng)價(jià)應(yīng)該是一種民主、平等的“對(duì)話”，這種“對(duì)話”過(guò)程貫穿著尊重人、愛(ài)護(hù)人、發(fā)展人的人本主義情懷.有效的課堂評(píng)價(jià)提供的是強(qiáng)有力的信息、敏銳的洞察力和正確的指導(dǎo)，其主要目的是為了全面了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，反映學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就和進(jìn)步，診斷學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的困難，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自己在解題策略、思維或習(xí)慣上的長(zhǎng)處和不足；及時(shí)調(diào)整和改善教學(xué)過(guò)程，使學(xué)生形成正確的學(xué)習(xí)期望，以及對(duì)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度、情感和價(jià)值觀.本節(jié)課，既有自我評(píng)價(jià)、生生互評(píng)，也有教師評(píng)價(jià).特別值得一提的是，教師態(tài)度和藹，不時(shí)給予學(xué)生肯定與贊美，給學(xué)生營(yíng)造了一種和諧愉悅的民主氛圍，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.例如：當(dāng)學(xué)生回答正確時(shí)，老師贊揚(yáng)學(xué)生“你太聰明了”，“你觀察能力非常強(qiáng)”，“非常好”，“點(diǎn)評(píng)得非常漂亮”等等，這些恰如其分的表?yè)P(yáng)無(wú)疑會(huì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，開(kāi)啟他們智慧的閥門(mén)，讓數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)變?yōu)橐环N享受、一種快樂(lè)，把數(shù)學(xué)的育人功能切切實(shí)實(shí)地落實(shí)到了課堂中.