郜曉定

所謂結(jié)構(gòu)，是指組成整體的各部分的搭配和安排。數(shù)學(xué)以邏輯為特長(zhǎng)，以系統(tǒng)為特征，數(shù)和形的演繹顯示著數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)。但是，現(xiàn)實(shí)教學(xué)中常見(jiàn)各種“碎片”式的數(shù)學(xué)教學(xué)，造成學(xué)生只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林，知識(shí)點(diǎn)累積得越多越容易迷失其中。皮亞杰的“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”理論和列維的結(jié)構(gòu)主義研究表明數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該關(guān)注數(shù)學(xué)本身，關(guān)注數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)化。真正意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是順著數(shù)學(xué)本身的結(jié)構(gòu)自然生長(zhǎng)，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生，獲得結(jié)構(gòu)化的思維方式，感悟數(shù)學(xué)的思想方法。

一、縱橫融通，把握結(jié)構(gòu)之“形”

數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)是內(nèi)隱的。我們所見(jiàn)的教材顯現(xiàn)的總是課時(shí)分明的教學(xué)內(nèi)容，教師應(yīng)該認(rèn)真研讀教材，不但研讀本課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，還要研讀與之相關(guān)的其他內(nèi)容，挖掘文本之外的暗線(xiàn)，深刻把握知識(shí)內(nèi)部的關(guān)聯(lián)。在此基礎(chǔ)上研究學(xué)生，了解學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從學(xué)生的角度出發(fā)幫助學(xué)生在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之上讓知識(shí)鏈伸長(zhǎng)、分支，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)，把握數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之“形”，讓學(xué)生學(xué)有結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)。

1.縱向融通，“串”起來(lái)

任何一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)都不可能獨(dú)立存在，往前追溯會(huì)有其生長(zhǎng)點(diǎn)，往后發(fā)展會(huì)有其延伸點(diǎn)。教師如果能引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到知識(shí)點(diǎn)的前后聯(lián)系，明白其發(fā)生與發(fā)展的過(guò)程，了解其在知識(shí)鏈中的結(jié)構(gòu)關(guān)系，那么新知識(shí)就會(huì)自然納入原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中，串成整體的知識(shí)鏈。

如對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生邊學(xué)邊“串”：三年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)把一個(gè)物體平均分成幾份，直觀(guān)認(rèn)識(shí)幾分之一和幾分之幾；三年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)把一些物體組成的整體平均分成幾份，認(rèn)識(shí)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)；五年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)把單位“1”平均分成若干份，認(rèn)識(shí)幾分之幾。每一階段都承上啟下，從直觀(guān)逐步抽象，完成分?jǐn)?shù)意義的建構(gòu)。緊接著，運(yùn)用分?jǐn)?shù)的意義可以理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，而運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可以將分?jǐn)?shù)約分或通分，約分或通分后可以順利地比較分?jǐn)?shù)大小和進(jìn)行分?jǐn)?shù)之間的運(yùn)算，而分?jǐn)?shù)之間的運(yùn)算直接為解決問(wèn)題服務(wù)。學(xué)生如果能清晰地明了這些內(nèi)容之間的關(guān)系，那么和分?jǐn)?shù)相關(guān)的知識(shí)自然就會(huì)形成有序的整體，而不是散落的碎片。整體的建構(gòu)同時(shí)能促進(jìn)學(xué)生的理解，使學(xué)生明白每一項(xiàng)內(nèi)容的價(jià)值和作用。

2.橫向融通，“合”起來(lái)

有些數(shù)學(xué)內(nèi)容從表面看關(guān)聯(lián)并不明顯，但如果深入進(jìn)去仔細(xì)分析，就能發(fā)現(xiàn)它們內(nèi)部隱藏的聯(lián)系，而這些聯(lián)系恰恰能幫助學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象理解其本質(zhì)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要帶領(lǐng)學(xué)生將不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行比較分析，尋找它們之間的共性，這樣，原本割裂的內(nèi)容就能通過(guò)一條暗線(xiàn)統(tǒng)一起來(lái)。

如商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、小數(shù)的性質(zhì)、比的基本性質(zhì)這些內(nèi)容散落在各個(gè)年級(jí)的各個(gè)單元，如果結(jié)合分?jǐn)?shù)、小數(shù)、除法、比的互化，引導(dǎo)學(xué)生把它們放在一起比較，學(xué)生就不難發(fā)現(xiàn)它們是相通的、是一致的。從本質(zhì)上看它們可以合成同一種性質(zhì)，不同的數(shù)學(xué)表示才衍生出名稱(chēng)不同的性質(zhì)和規(guī)律，由其中某一個(gè)性質(zhì)我們能順利地推想出其他的幾個(gè)性質(zhì)。

3.多向融通，“連”起來(lái)

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是奇妙的，龐大的數(shù)學(xué)體系猶如一張復(fù)雜的大網(wǎng)，節(jié)點(diǎn)處通向四面八方。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程也是將數(shù)學(xué)知識(shí)相連、相整合的過(guò)程。某一學(xué)習(xí)內(nèi)容和其他內(nèi)容相連的節(jié)點(diǎn)越多，建構(gòu)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)就越牢固，越具連續(xù)性和發(fā)展性。

如認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)，男生人數(shù)是女生的200%。這里的200%和以前的哪種說(shuō)法意思一樣？（2倍）王大伯家今年種的糧食比去年增產(chǎn)了10%。這里的10%可以換作什么？（■、一成）這樣溝通了百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)、倍數(shù)、成數(shù)之間的聯(lián)系，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)、成數(shù)、百分?jǐn)?shù)、倍數(shù)都可以表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，百分?jǐn)?shù)是常用的方式之一。如此，學(xué)生就能將百分?jǐn)?shù)順利納入到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并與相關(guān)概念建立聯(lián)系，既能入乎其內(nèi)，又能出乎其外。

二、反思遷移，領(lǐng)會(huì)結(jié)構(gòu)之“神”

數(shù)學(xué)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)是固有的，但是這些固有的結(jié)構(gòu)如果硬生生地填進(jìn)學(xué)生的頭腦，它依然是僵化的。教學(xué)的最終目標(biāo)是促進(jìn)學(xué)生自身的發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)止步于掌握數(shù)學(xué)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)，而應(yīng)該通過(guò)結(jié)構(gòu)化的教學(xué)促成學(xué)生進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)，通過(guò)結(jié)構(gòu)化過(guò)程的展開(kāi)培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)化的思維方式，進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)探究，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力。

1.展開(kāi)有結(jié)構(gòu)的思維

思維能力的培養(yǎng)是在具體的教學(xué)過(guò)程中潛移默化進(jìn)行的，教師應(yīng)該通過(guò)結(jié)構(gòu)化的教學(xué)促成學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維方式形成，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，培養(yǎng)學(xué)生理性的思維方式，這是學(xué)生終身受用的。

“角的度量”是四年級(jí)教學(xué)的難點(diǎn)之一，通常在教師口干舌燥地講了量角的操作方法后學(xué)生依然不得要領(lǐng)，常常把量角器上內(nèi)圈讀數(shù)與外圈讀數(shù)混淆。究其原因，這和教學(xué)方式有關(guān)，直接講授操作方法，學(xué)生缺乏思維的參與，不知其原因，機(jī)械操作必然錯(cuò)誤百出。

筆者曾這樣嘗試著進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)。

1.從厘米尺量長(zhǎng)度開(kāi)始。（二年級(jí)）

認(rèn)識(shí)1厘米后，教師用厘米尺量一支蠟筆的長(zhǎng)度，蠟筆長(zhǎng)幾厘米？你是怎么看出來(lái)的？為什么用尺可以量出蠟筆的長(zhǎng)度呢？（尺上有許多1厘米，將蠟筆對(duì)著尺比，蠟筆和尺上的8厘米一樣長(zhǎng)，所以蠟筆長(zhǎng)8厘米）

你能量出這條線(xiàn)段的長(zhǎng)嗎？（學(xué)生自己量）

交流：你是怎么量的？（學(xué)生量法五花八門(mén)，有從0刻度開(kāi)始，有從1開(kāi)始，有從其他刻度開(kāi)始……）

為什么說(shuō)它的長(zhǎng)度是4厘米？（和尺上4個(gè)1厘米一樣長(zhǎng)）

比較多種量法，你覺(jué)得從哪個(gè)刻度開(kāi)始量能很快知道它的長(zhǎng)度？為什么？

這樣教學(xué)使學(xué)生明白測(cè)量長(zhǎng)度的本質(zhì)是將物品和尺上的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度比較，里面包含了幾個(gè)1厘米，就是幾厘米長(zhǎng)。

2.用量角器量角。（四年級(jí)）

認(rèn)識(shí)角后，介紹角的單位：度（°），認(rèn)識(shí)1°的角。怎樣知道一個(gè)未知角的度數(shù)呢？（用1°的角去比，包含幾個(gè)1°的角就是多少度）

演示將若干個(gè)1°的角拼在一起形成量角器的過(guò)程，量角器可以量出角的度數(shù)嗎？為什么？

試著用量角器量出一個(gè)角的度數(shù)。交流：你是怎么量的？（有的學(xué)生并沒(méi)有從0刻度量起）為什么量法不同，卻都能量出角的度數(shù)？（只要看這個(gè)角里面包含了幾個(gè)1°的角）怎樣量能很快知道角的度數(shù)呢？

3.反思

量角度和量長(zhǎng)度有相同的地方嗎？（都是將測(cè)量對(duì)象和標(biāo)準(zhǔn)單位比較，里面包含了幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位就是要測(cè)量的數(shù)據(jù)）

以上教學(xué)過(guò)程雖然跨越兩個(gè)年級(jí)，但在“測(cè)量”的統(tǒng)領(lǐng)下自然形成一個(gè)整體。相信經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程學(xué)生一定不會(huì)再糾纏于內(nèi)圈和外圈讀數(shù)，即使是一個(gè)破損的量角器也一定能量出一個(gè)角的度數(shù)。更為重要的是學(xué)生以后對(duì)于其他量的測(cè)量一定能形成這樣的結(jié)構(gòu)思維：測(cè)量對(duì)象是什么？標(biāo)準(zhǔn)單位是什么？測(cè)量對(duì)象中包含了多少個(gè)這樣的標(biāo)準(zhǔn)單位？建立在這樣的結(jié)構(gòu)思維之上，還需要擔(dān)心不會(huì)操作嗎？

2.嘗試有結(jié)構(gòu)的探索

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是無(wú)止境的，已有知識(shí)的掌握是探索未知的基礎(chǔ)，已有經(jīng)驗(yàn)的積累也是以后探究的前提。在同一類(lèi)數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中教師帶領(lǐng)學(xué)生采用同樣的方式，經(jīng)歷類(lèi)似的過(guò)程，學(xué)生就能明了探究方法的結(jié)構(gòu)。

如“探索規(guī)律”的教學(xué)，教師引導(dǎo)學(xué)生按“觀(guān)察→猜想→驗(yàn)證→概括 →反思→運(yùn)用”的步驟展開(kāi)探索活動(dòng)，學(xué)生以后探索其他數(shù)學(xué)規(guī)律時(shí)便會(huì)自覺(jué)進(jìn)行方法結(jié)構(gòu)的遷移，獨(dú)立進(jìn)行數(shù)學(xué)研究和探索。從立體圖形的學(xué)習(xí)中學(xué)生會(huì)積累“研究特征→表面積→體積→應(yīng)用”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。從相關(guān)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中認(rèn)識(shí)“收集數(shù)據(jù)→整理數(shù)據(jù)→選擇合適的圖表分析數(shù)據(jù)→預(yù)測(cè)或決策”的統(tǒng)計(jì)步驟。過(guò)程與方法的結(jié)構(gòu)幫助學(xué)生指明途徑和方向，能夠使學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中主動(dòng)遷移，在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上獨(dú)立開(kāi)展學(xué)習(xí)探索活動(dòng)，學(xué)生獲取的不僅僅是知識(shí)本身，更是學(xué)習(xí)自主性的加強(qiáng)和探究新事物、研究新問(wèn)題能力的提升。

三、凸顯本質(zhì)，感悟結(jié)構(gòu)之“魂”

數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)的理性精神是數(shù)學(xué)的靈魂，有魂的數(shù)學(xué)教學(xué)才是有生命的，才能承載促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的重任。結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師要引導(dǎo)學(xué)生觸摸數(shù)學(xué)的靈魂，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，享受智趣的快樂(lè)。

1.體悟結(jié)構(gòu)蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法

在結(jié)構(gòu)化的教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法通常蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，學(xué)生只有經(jīng)歷了結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)過(guò)程才能逐步感悟數(shù)學(xué)思想方法。

如學(xué)習(xí)小數(shù)除法，需要經(jīng)歷把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法的過(guò)程；學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法需要經(jīng)歷把異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)的過(guò)程；學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形、圓形面積公式時(shí)需要經(jīng)歷把它們互相轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)同化和順應(yīng)，從而建構(gòu)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)的背后是化歸思想的統(tǒng)領(lǐng)。認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)時(shí)借助圖形幫忙；認(rèn)識(shí)乘法、學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)時(shí)用圖形表示算式；解決問(wèn)題時(shí)用線(xiàn)段圖表示數(shù)量關(guān)系，這些學(xué)習(xí)過(guò)程將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀(guān)的圖形結(jié)合，在數(shù)與形之間架設(shè)起聯(lián)系的橋梁，促進(jìn)形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，貫穿其中的是數(shù)形結(jié)合的思想。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法還有分類(lèi)思想、模型思想、函數(shù)思想等。在教學(xué)中，如果教師能引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)構(gòu)化的教學(xué)過(guò)程中凝練提升，學(xué)生就能感悟數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值，并用這些數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

2.感受結(jié)構(gòu)背后的數(shù)學(xué)理性精神

克萊因曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是一種理性精神，它使人類(lèi)的思維得以運(yùn)用到最完善的程度。”數(shù)學(xué)的理性精神主要體現(xiàn)在求實(shí)、求真、求簡(jiǎn)、求新。數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)練、精確、概括；分?jǐn)?shù)和小數(shù)的化簡(jiǎn)；運(yùn)算中的簡(jiǎn)便計(jì)算，這些無(wú)不彰顯數(shù)學(xué)化繁為簡(jiǎn)的特質(zhì)，數(shù)形合一、萬(wàn)物皆數(shù)。在學(xué)習(xí)“釘子板上的多邊形”時(shí)教師帶領(lǐng)學(xué)生共同觀(guān)察、提出猜想、反復(fù)驗(yàn)證，不斷修正發(fā)現(xiàn)，這種一絲不茍追求真理的的態(tài)度不正是數(shù)學(xué)求真的精神所在嗎？透過(guò)數(shù)學(xué)本身的知識(shí)結(jié)構(gòu)和教與學(xué)的結(jié)構(gòu)化，數(shù)學(xué)的理性精神會(huì)根植于學(xué)生的頭腦和血脈中。它雖然無(wú)形，卻具有強(qiáng)大的力量，推動(dòng)著學(xué)生以科學(xué)的方法不斷探究新的世界、尋求新的發(fā)現(xiàn)、進(jìn)行新的創(chuàng)造。

基于結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生能實(shí)現(xiàn)真正的自我建構(gòu)，讓學(xué)生在整體視野下認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)聯(lián)系和結(jié)構(gòu)，以全局的視界把握學(xué)習(xí)內(nèi)容，體會(huì)“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的感受?；诮Y(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)使學(xué)生逐步具有結(jié)構(gòu)化的思維方式，積累豐富的探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)的思想方法，體悟數(shù)學(xué)的理性精神，這些是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶給學(xué)生的寶貴財(cái)富。

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]