龐凱立，梁昔明

(北京建筑大學(xué) 理學(xué)院，北京 100044)

對(duì)較好和較差個(gè)體雙向更新的混合蛙跳算法

龐凱立，梁昔明

(北京建筑大學(xué) 理學(xué)院，北京 100044)

針對(duì)基本蛙跳算法在處理復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)求解精度低且易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)，將共軛梯度法引入基本蛙跳算法，對(duì)排名靠前的p個(gè)模因組中的精英個(gè)體和排名靠后的q個(gè)模因組中的落后個(gè)體同時(shí)使用共軛梯度法進(jìn)行更新，一方面增強(qiáng)對(duì)較差青蛙的指導(dǎo)能力，另一方面使最差的青蛙直接更新，提高了算法的收斂精度. 所得混合蛙跳算法有效結(jié)合了基本蛙跳算法較強(qiáng)的全局搜索能力和共軛梯度法快速精確的局部搜索能力. 將所得的混合蛙跳算法與其他智能優(yōu)化算法進(jìn)行對(duì)比，數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果表明，無(wú)論從收斂精度還是進(jìn)化代數(shù)而言，所得混合蛙跳算法較其他算法均有較大的改進(jìn)，具有更高的收斂精度，能有效避免陷入局部最優(yōu)，且優(yōu)化結(jié)果更加穩(wěn)定.

混合蛙跳算法； 共軛梯度法； 數(shù)值試驗(yàn)； 適應(yīng)度函數(shù)

基本蛙跳算法[1]是一種新的基于群體智能的啟發(fā)式算法，該算法是在2003年由Eusuff和Lansey受青蛙進(jìn)食行為的啟發(fā)進(jìn)行建模和仿真研究的結(jié)果，該算法結(jié)合了粒子群算法和模因算法兩者的優(yōu)點(diǎn)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、收斂速度快和全局尋優(yōu)能力強(qiáng)等特點(diǎn).

基本蛙跳算法與其他群體迭代算法一樣，雖然具有較強(qiáng)的全局搜索能力，但是易陷入局部最優(yōu)，且收斂精度不高. 為此，學(xué)者們進(jìn)行了深入的研究，提出了一些改進(jìn)算法，也都取得了不錯(cuò)的效果. 文獻(xiàn)[2]對(duì)子群中每只青蛙個(gè)體引入了隨機(jī)擾動(dòng)，并讓子群內(nèi)每只青蛙個(gè)體都參與產(chǎn)生新個(gè)體，充分利用每只青蛙個(gè)體的信息，增加了種群多樣性. 文獻(xiàn)[3]引入全局共享因子和局部共享因子，由于共享因子隨著迭代次數(shù)的增加而增大，使得在局部搜索初期，較小的共享因子初值能減弱最優(yōu)個(gè)體對(duì)最差個(gè)體的指導(dǎo)，避免了青蛙個(gè)體更新步長(zhǎng)過(guò)大而跳過(guò)局部最優(yōu)；在進(jìn)化后期，共享因子增大，增強(qiáng)了最優(yōu)個(gè)體對(duì)最差個(gè)體的指導(dǎo)，使得個(gè)體跳過(guò)局部最優(yōu)實(shí)現(xiàn)全局收斂，該算法動(dòng)態(tài)改變最優(yōu)個(gè)體對(duì)最差個(gè)體的指導(dǎo)能力，使得青蛙個(gè)體更容易跳出局部最優(yōu)實(shí)現(xiàn)全局收斂. 文獻(xiàn)[4]基于量子理論提出一種量子混合蛙跳算法，該算法采用量子位的Bloch球面坐標(biāo)編碼個(gè)體，利用量子位在Bloch球面上繞軸旋轉(zhuǎn)的方法更新個(gè)體，通過(guò)自適應(yīng)混沌旋轉(zhuǎn)角度算子提高子群內(nèi)部局部搜索能力，采用Hadamard門(mén)實(shí)現(xiàn)個(gè)體變異避免早熟，有效擴(kuò)展了空間的搜索范圍. 文獻(xiàn)[5]定義了新的粒子分類標(biāo)準(zhǔn)，將所有青蛙按此標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，青蛙個(gè)體在迭代過(guò)程中根據(jù)自身狀態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重，并以停滯代數(shù)判斷是否對(duì)最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行優(yōu)化，避免了陷入局部最優(yōu).

以上文獻(xiàn)中的改進(jìn)算法都較好地改善了基本SFLA算法，在克服種群陷入局部最優(yōu)缺陷的基礎(chǔ)上增加了種群多樣性. 考慮到傳統(tǒng)優(yōu)化算法—共軛梯度法具有較強(qiáng)的局部搜索能力，而現(xiàn)代智能優(yōu)化算法—基本蛙跳算法收斂精度不高，尋找一種方法將蛙跳算法與共軛梯度法結(jié)合起來(lái)從而凸顯各自的優(yōu)點(diǎn)顯得尤為重要，且歷來(lái)很少有學(xué)者將傳統(tǒng)優(yōu)化方法與基本蛙跳算法結(jié)合起來(lái)研究. 本文提出的對(duì)較好和較差個(gè)體進(jìn)行更新的混合蛙跳算法(SFLA_HH)，充分利用了SFLA算法和共軛梯度法兩者的優(yōu)點(diǎn)，彌補(bǔ)了兩者的不足，將SFLA_HH算法與其他智能優(yōu)化算法進(jìn)行對(duì)比，對(duì)五個(gè)測(cè)試問(wèn)題的試驗(yàn)結(jié)果表明，SFLA_HH算法收斂精度更高.

1 基本蛙跳算法與共軛梯度法分析

對(duì)無(wú)約束連續(xù)優(yōu)化問(wèn)題：

minf(x)，x∈Rd

(1)

若x*∈Rd滿足：

f(x*)≤f(x)，?x∈Rd

(2)

則稱x*為f(x)在全空間Rd上的全局最小點(diǎn)或整體極小點(diǎn).

1.1 SFLA原理

SFLA算法將每個(gè)個(gè)體看做池塘中的一只青蛙[6]，搜索區(qū)間即為整個(gè)池塘.SFLA算法首先在尋優(yōu)區(qū)間內(nèi)隨機(jī)初始化一組向量來(lái)組成青蛙的初始種群[7]P={X1,X2,…,Xi,…,XF}(i=1,2,…,F)，第i只青蛙為Xi=(xi1,xi2,…,xid)，每一只青蛙代表一個(gè)待選解，xij為第i只青蛙第j維的分量. 對(duì)于每個(gè)青蛙個(gè)體，計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)值fit(Xi)，本文中適應(yīng)度函數(shù)取為目標(biāo)函數(shù)，然后將所有青蛙個(gè)體按照它們的適應(yīng)度值進(jìn)行升序排列，并分別放入m個(gè)模因組中. 設(shè)Mk為第k個(gè)模因組青蛙的集合(k=1,2,…,m)，表達(dá)式如下：

Mk={Xk+m(l-1)∈P|1≤k≤m;1≤l≤n}

(3)

式中，n為每個(gè)模因組中的青蛙的個(gè)數(shù).

青蛙移動(dòng)的距離向量：

(4)

更新最差青蛙位置：

(5)

(6)

(7)

1.2 共軛梯度法

共軛梯度法[8]是由Hestenes和Stiefel( 1952)提出來(lái)的，是一種介于最速下降法和牛頓法之間的經(jīng)典非線性無(wú)約束優(yōu)化算法，它的基本思想是根據(jù)迭代點(diǎn)處的負(fù)梯度方向構(gòu)造出一組共軛方向，再沿著這組方向搜索目標(biāo)函數(shù)極值，共軛梯度法的機(jī)制保證了所得到的這組共軛方向就是函數(shù)值的下降方向. 共軛梯度法最大的優(yōu)勢(shì)在于同時(shí)解決了最速下降法收斂慢和牛頓法對(duì)目標(biāo)函數(shù)要求較高且計(jì)算量大的不足，具有較好的局部搜索能力，是求解大型非線性無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的有效算法之一，其求解流程如下：

步驟4令Xk+1=Xk+tkPk；

步驟6計(jì)算共軛方向Pk+1，令k=k+1并轉(zhuǎn)步驟3.

2 嵌入共軛梯度法的混合蛙跳算法

考慮到基本蛙跳算法中精英個(gè)體更新效率較低、較差個(gè)體更新效果不明顯等缺陷導(dǎo)致的進(jìn)化后期易陷入局部最優(yōu)這一缺點(diǎn)，本文提出在基本蛙跳算法中引入共軛梯度法，對(duì)前p個(gè)模因組中的精英個(gè)體和后q個(gè)模因組中的落后個(gè)體直接進(jìn)行更新，一方面增強(qiáng)了對(duì)較差個(gè)體的指導(dǎo)能力，另一方面提高了最差個(gè)體的更新效率. SFLA_HH算法首先對(duì)種群和參數(shù)進(jìn)行初始化，各青蛙的初始位置在給定搜索區(qū)間內(nèi)隨機(jī)生成；然后計(jì)算每只青蛙的適應(yīng)度函數(shù)值，對(duì)函數(shù)值進(jìn)行升值排序. 本文中適應(yīng)度函數(shù)取為目標(biāo)函數(shù)，故函數(shù)值越小代表點(diǎn)的位置越好，由此得到Xg；然后將排完序后的青蛙按照式(3)劃分模因組，找到每個(gè)模因組中的Xb和Xw，對(duì)模因組中的前p組和后q組與共軛梯度法進(jìn)行結(jié)合，具體更新規(guī)則為：前p組以Xb為初始點(diǎn)，即X0=Xb，初始搜索方向P0取為-g(Xb)，根據(jù)X1=X0+tP0對(duì)Xb進(jìn)行更新，其中步長(zhǎng)t根據(jù)：

(8)

求解. 如果X1滿足給定的精度要求，則跳出共軛梯度法循環(huán)，否則，按下式：

Xk+1=Xk+tPk

(9)

(10)

進(jìn)行下一點(diǎn)的迭代，重復(fù)計(jì)算直至達(dá)到給定的精度要求或次數(shù)，更新Xb，再按照式(4)、式(5)指導(dǎo)更新Xw；將排列在中間的的(m-p-q)個(gè)模因組按照式(5)、式(7)進(jìn)行更新；將排列在最后的q個(gè)模因組與共軛梯度法結(jié)合，以Xw為初始點(diǎn)，初始搜索方向P0取為-g(Xw)，再按照上面的式(8)、式(9)、式(10)對(duì)Xw進(jìn)行更新. 從整體效率來(lái)考慮，可以適當(dāng)放低共軛梯度法的精度要求[9]，并且同時(shí)使用精度和循環(huán)代數(shù)一起作為判斷共軛梯度法停止的條件. 當(dāng)所有模因組的局部更新操作都完成后，判斷是否達(dá)到全局搜索次數(shù)，若滿足，則輸出當(dāng)前最好解，即為全局最優(yōu)解；否則，將全部青蛙混合，重復(fù)進(jìn)行下一輪搜索. SFLA_HH算法流程如下：

步驟1隨機(jī)初始化F只青蛙，最大蛙跳步長(zhǎng)為Smax，模因組數(shù)為m，每個(gè)模因組中的青蛙數(shù)為n，局部迭代次數(shù)為L(zhǎng)，整體迭代次數(shù)為G；

步驟2計(jì)算所有青蛙適應(yīng)度函數(shù)值；

步驟3將青蛙按照適應(yīng)度函數(shù)值從小到大排序，適應(yīng)度函數(shù)值最小的青蛙記為Xg；

步驟4青蛙種群根據(jù)分組規(guī)則按照(3)式劃分為m個(gè)模因組；分別記下每個(gè)模因組中的Xb和Xw；

步驟5對(duì)前p個(gè)模因組結(jié)合共軛梯度法，以模因組中Xb為初始點(diǎn)進(jìn)行循環(huán)迭代r次或達(dá)到精度要求，更新Xb，再按照式(4)、式(5)指導(dǎo)更新Xw；對(duì)中間的(m-p-q)個(gè)模因組按照式(5)、式(7)進(jìn)行局部搜索L次，更新Xw；對(duì)剩余的q個(gè)模因組以Xw為初始點(diǎn)行進(jìn)行循環(huán)迭代r次或達(dá)到精度要求，更新Xw；

步驟6當(dāng)局部搜索全部完成后，判斷是否達(dá)到全局混合迭代次數(shù)G，若滿足，則輸出當(dāng)前最好解，即為全局最優(yōu)解；否則，將全部青蛙混合，返回步驟3進(jìn)行下一輪搜索.

因?yàn)楣曹椞荻确▽?duì)于一個(gè)n元正定二次目標(biāo)函數(shù)最多n次就可以尋得最優(yōu)解，可見(jiàn)共軛梯度法的尋優(yōu)效率之高. 由于共軛梯度法的運(yùn)算涉及到梯度計(jì)算，運(yùn)算過(guò)程中調(diào)用共軛梯度法的次數(shù)越多，耗時(shí)越久，在本文中共軛梯度法的運(yùn)算次數(shù)與兩個(gè)因素有關(guān)，一是結(jié)合共軛梯度法的組數(shù)，二是共軛梯度法的內(nèi)部終止迭代次數(shù)r. 為了整體尋優(yōu)速度，本試驗(yàn)調(diào)用共軛梯度法的次數(shù)不宜太多，故只選取前兩組和后兩組，即p=q=2.

共軛梯度法由于不涉及矩陣，僅僅存儲(chǔ)向量，因而存儲(chǔ)量小，適合于維數(shù)較高的優(yōu)化問(wèn)題，因此混合蛙跳算法SFLA_HH對(duì)較高維數(shù)的函數(shù)優(yōu)化具有較大的優(yōu)勢(shì).

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為驗(yàn)證混合蛙跳算法SFLA_HH的尋優(yōu)效果和穩(wěn)定性，將SFLA_HH算法與基本SFLA算法在不同維度下進(jìn)行試驗(yàn). 為了進(jìn)一步驗(yàn)證文中所提出的混合蛙跳算法的優(yōu)越性，將SFLA_HH與SFLA、文獻(xiàn)[2]中提出的內(nèi)嵌擾動(dòng)變異的混合蛙跳算法(DVSFLA)、文獻(xiàn)[10]中提出的自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法(APSO)以及文獻(xiàn)[11]中提出的強(qiáng)化學(xué)習(xí)的人工蜂群算法(GABC)分別在30維時(shí)固定全局迭代次數(shù)情況下進(jìn)行對(duì)比分析. 又將SFLA_HH與文獻(xiàn)[5]中基于新搜索策略的混合蛙跳算法(NSSFLA)在固定精度情況下進(jìn)行對(duì)比分析. 三種情況對(duì)比均使用表1中5個(gè)典型的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)，各問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式、搜索范圍和理論最優(yōu)值如表1所示[12]，其中D為問(wèn)題的維度.

函數(shù)f1為Sphere單峰函數(shù)，全局最小點(diǎn)是(0,0,…,0)；函數(shù)f2為Rastrigin函數(shù)，函數(shù)f3為Griewank函數(shù)，函數(shù)f4為Ackley函數(shù)，都是多峰函數(shù)，有很多局部極小點(diǎn)，全局最小點(diǎn)是(0,0,…,0)；函數(shù)f5為Rosenbrock函數(shù)，是非凸的病態(tài)函數(shù)，在極小值附近有陡峭的峽谷，用SFLA求解時(shí)很容易陷入局部極值，它的全局最小點(diǎn)是(1,1,…,1). 為了進(jìn)一步比較各種算法的性能，并減少偶然性的影響，本文采用Matlab R2014b試驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)，并對(duì)每個(gè)測(cè)試問(wèn)題進(jìn)行30次獨(dú)立試驗(yàn)，取試驗(yàn)所得的平均最優(yōu)值、標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行對(duì)比. 其中，平均最優(yōu)值為30次試驗(yàn)中每次求得的全局最優(yōu)解相加除以30；標(biāo)準(zhǔn)差即為30次試驗(yàn)中全局最優(yōu)解的標(biāo)準(zhǔn)差.

本文所選取的試驗(yàn)參數(shù)如下，其余對(duì)比算法參數(shù)設(shè)置見(jiàn)對(duì)應(yīng)文獻(xiàn)：

青蛙個(gè)體數(shù)F=200;

族群數(shù)m=20;

族群內(nèi)青蛙個(gè)數(shù)n=10;

局部循環(huán)迭代次數(shù)L=10;

全局循環(huán)迭代次數(shù)G=200;

青蛙最大移動(dòng)步長(zhǎng)設(shè)置規(guī)則根據(jù)文獻(xiàn)[13]，即：

Smax=可行域的界×45%；

p=2；q=2；r=5；eps=1e-2.

表2為將SFLA_HH算法與基本SFLA算法在不同維度下進(jìn)行試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)比.

表2 兩種算法在不同維度下對(duì)比

由表2中對(duì)比結(jié)果可以看出，在不同試驗(yàn)維度下，無(wú)論是解的質(zhì)量還是算法的穩(wěn)定性，SFLA_HH算法較SFLA算法均有較大提高. 對(duì)于五個(gè)測(cè)試問(wèn)題，SFLA算法均未找到最優(yōu)解，且隨著維數(shù)增高，SFLA尋優(yōu)效果也越來(lái)越差，而SFLA_HH算法都找到了最優(yōu)解，并且解的精度在維數(shù)變化較大的情況下保持一定的穩(wěn)定性. 對(duì)于問(wèn)題f1，f2，f3，SFLA_HH算法在三種維度下都找到了理論最優(yōu)解，

SFLA求解精度較差，且未找到最優(yōu)解；對(duì)于問(wèn)題f4，f5，SFLA_HH算法也都找到了最優(yōu)解，SFLA算法求解效果較差，且未找到最優(yōu)解.

表3為30維時(shí)SFLA_HH與其他現(xiàn)代智能優(yōu)化算法在固定全局迭代次數(shù)情況下結(jié)果對(duì)比.

表4為SFLA_HH與基本蛙跳算法及文獻(xiàn)[5]中NSSFLA算法在固定精度情況下結(jié)果對(duì)比.

表3 SFLA_HH與新近知名智能優(yōu)化算法尋優(yōu)結(jié)果對(duì)比

從表3對(duì)比結(jié)果中可以看出，SFLA_HH算法與其他算法相比有明顯的優(yōu)勢(shì)，對(duì)于五個(gè)測(cè)試問(wèn)題都找到了最優(yōu)解，其中對(duì)于f1，f2，f3都找到了理論最優(yōu)解；SFLA算法對(duì)于所有的問(wèn)題均未找到最優(yōu)解；DVSFLA只對(duì)f1找到了最優(yōu)解；APSO和GABC對(duì)于f1，f2和f4均找到了最優(yōu)解，但求解精度都不如SFLA_HH，可見(jiàn)SFLA_HH的尋優(yōu)精度之高.

從表4可以看出，SFLA對(duì)于所有問(wèn)題都沒(méi)能達(dá)到指定的精度，NSSFLA和SFLA_HH都達(dá)到了指定精度；對(duì)于f2，NSSFLA和SFLA_HH進(jìn)化代數(shù)沒(méi)有太大差異；對(duì)于f3，SFLA_HH比NSSFLA效果略差；但對(duì)于f1和f5，SFLA_HH只需一次就可以達(dá)到指定精度，比NSSFLA所需次數(shù)少，對(duì)于f4，NSSFLA最少需要17次才可以達(dá)到指定精度，而SFLA_HH最少只需11次就可以達(dá)到指定精度，且平均次數(shù)也比NSSFLA少.

表4 固定目標(biāo)精度下30次試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

綜上，SFLA_HH收斂精度和平均進(jìn)化代數(shù)均優(yōu)于基本蛙跳算法和其他幾種智能優(yōu)化算法.

4 結(jié)論

共軛梯度法是經(jīng)典無(wú)約束優(yōu)化算法，由于采用梯度信息，因此可以較快的收斂到函數(shù)極小值；基本蛙跳算法在搜索區(qū)間廣泛隨機(jī)采點(diǎn)，然后從各點(diǎn)出發(fā)，依據(jù)青蛙覓食原理搜尋全局最小點(diǎn)，因而具有較好的全局搜索能力. 本文所提出的SFLA_HH算法正是結(jié)合了兩者的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于排列在前面位置較好的模因組和后面位置較差的模因組均引入共軛梯度法，不僅加強(qiáng)了對(duì)最差青蛙個(gè)體的指導(dǎo)能力，更提高了最差青蛙的更新效率，進(jìn)而提高了算法的收斂精度. 改進(jìn)算法無(wú)論從收斂精度、進(jìn)化代數(shù)還是穩(wěn)定性方面都有較大的優(yōu)越性，但仍存在一些問(wèn)題，由于共軛梯度法每次循環(huán)都需要計(jì)算梯度信息，故對(duì)于有些復(fù)雜問(wèn)題，或者非凸問(wèn)題無(wú)法很好地解決，這也是需要改進(jìn)的地方.

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[責(zé)任編輯：佟啟巾]

Hybrid SFLA Algorithm with the Bidirectional Updates of Elite and Behind Individuals

Pang Kaili，Liang Ximing

(School of Science, Beijing University of Civil Engineering and Architecture, Beijing 100044)

A kind of hybrid Shuffled Frog Leaping Algorithm (SFLA) coupling with conjugate gradient method is proposed to solve the problem of low solution precision and easy to fall into local optimal solutions under basic SFLA. The elite individuals in the frontpmeme groups and the behind individuals in the lastqmeme groups are selected to search the solution with conjugate gradient method, which enhance the ability to guide the poor frogs in one hand, and in another hand update the worst frogs directly, and improve the convergence accuracy. The proposed hybrid SFLA algorithm combines the strongly global searing ability of SFLA with the fast local searching ability of conjugate gradient method. Comparisons among the hybrid SFLA and other well-known intelligent algorithms are made and the numerical experiment results show that, in terms of convergence or evolutionary generation, the improvements have been achieved greatly in the hybrid SFLA. The improved algorithm has a higher convergent precision, more stable optimal results, and better ability to jump out local optimal solution than other well-known intelligent algorithms.

shuffled frog leaping algorithm; conjugate gradient method; numerical experiment; fitness function

2016-07-09

國(guó)家自然科學(xué)基金(61463009)；北京市自然科學(xué)基金項(xiàng)目(4122022)；中央支持地方科研創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(PXM2013- 014210- 000173).

龐凱立(1990—)，女，碩士研究生，研究方向； 智能優(yōu)化算法.

1004-6011(2016)04-0052-06

TP301.6

A