于大騰，王 華，周晚萌

(國防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長沙 410073)

考慮空間幾何關(guān)系的反交會規(guī)避機動方法*

于大騰，王 華，周晚萌

(國防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長沙 410073)

針對具有自主接近能力的航天器開展反交會規(guī)避機動方法研究。建立僅測角相對導(dǎo)航模型，對完全不可觀測機動進行定義，基于空間幾何關(guān)系推導(dǎo)并證明了完全不可觀測機動是不存在的。以施加規(guī)避機動后追蹤器對逃逸器的測量值與未機動時的差異為優(yōu)化目標(biāo)，利用矢量乘積原理設(shè)計目標(biāo)函數(shù)，建立優(yōu)化模型并對變量約束進行分析，隨后采用遺傳算法對最優(yōu)規(guī)避機動方向進行優(yōu)化。給出的仿真算例結(jié)果表明：提出的規(guī)避機動方向計算方法能夠使目標(biāo)函數(shù)值達到最小，從而提升追蹤器對逃逸器的狀態(tài)估計難度，降低其估計精度。這為規(guī)避機動問題研究提供了一種新的視角，可為以主動接近航天器為新對象進行的規(guī)避研究提供有益借鑒。

最優(yōu)規(guī)避；規(guī)避機動；可觀測性；遺傳算法；僅測角

隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展，特別是X-37B等一系列軌道轉(zhuǎn)移飛行器的成功試驗[1]，在軌航天器面臨的各種非合作主動交會目標(biāo)的威脅逐漸增多。若僅依靠地面指揮中心提供的指令信息進行規(guī)避，在面對這些新增的具有自主接近能力的非合作航天器時，其規(guī)避的有效性和及時性將完全得不到保證。若在具有地面觀測預(yù)警的基礎(chǔ)上，增加航天器自主測量設(shè)備，在地面對航天器給出預(yù)警警報的基礎(chǔ)上，通過對空間目標(biāo)的自主觀測，依靠其軌控與姿控發(fā)動機進行近距自主規(guī)避，與純粹依靠地面提供的遠距規(guī)避方案相比，將極大提升規(guī)避效果。因此開展在軌航天器規(guī)避機動方法研究是重要和必需的。

在導(dǎo)彈領(lǐng)域，很多學(xué)者對最優(yōu)規(guī)避機動問題進行過研究[2-6]。Forte等[7]將三維空間內(nèi)的非線性規(guī)避進行了等價線性化轉(zhuǎn)化，構(gòu)建了垂直于來襲導(dǎo)彈接近矢量平面的bang-bang結(jié)構(gòu)平面，并在此平面內(nèi)進行了最優(yōu)規(guī)避機動策略分析。Shinar等[8]利用線性動力學(xué)與受限加速度模型對追蹤器與逃逸器進行了分析，基于導(dǎo)彈相對動力學(xué)與相應(yīng)的導(dǎo)航增益推導(dǎo)得到了關(guān)于轉(zhuǎn)換方程與脫靶量的閉環(huán)形式解。在航天領(lǐng)域，規(guī)避機動問題也得到了很多應(yīng)用。Patera等[9-11]首先對碰撞概率進行了定義，并基于該概率提出了相應(yīng)的規(guī)避策略。Kelly等[12]利用非線性優(yōu)化技術(shù)提出了一種最優(yōu)交會逃逸機動方法。Bombardelli等[13]構(gòu)建了機動點與預(yù)測碰撞點之間關(guān)于距離的函數(shù)，通過最大化脫靶量得到了機動施加方向。王華等[14]利用分布迭代方法計算機動方向與大小，得到了固定機動方向和不固定機動方向兩種情況下的最優(yōu)規(guī)避機動。以上文獻進行了饒有價值的研究，豐富了最優(yōu)規(guī)避理論，但同時也存在一定的不足。目前絕大多數(shù)規(guī)避方法都依據(jù)傳統(tǒng)的規(guī)避機動指標(biāo)——碰撞概率和脫靶量進行規(guī)避設(shè)計，同時以理想測量為假設(shè)，不考慮實際導(dǎo)航精度，而導(dǎo)航是實際工程中必須要考慮的一個重要內(nèi)容。

在僅測角導(dǎo)航時，追蹤器和逃逸器兩者施加的機動會改變空間相對幾何關(guān)系，并對系統(tǒng)的可觀測性造成影響。Nardone和Hammel等[15-16]已經(jīng)證明了某些特定機動可以提升系統(tǒng)的可觀測性。Woffinden等[17]定義了可觀測條件并從幾何空間的角度推導(dǎo)得到了機動與系統(tǒng)可觀測性的關(guān)系。Vallado[18]進一步指出相對運動的差異性與系統(tǒng)的可觀測性成正相關(guān)。Grzymisch等[19]在追蹤器機動時對系統(tǒng)可觀測性進行了推導(dǎo)，得到了不可觀測機動的存在條件。文獻[20]將系統(tǒng)可觀測性進行量化，提出可觀測度的概念，并根據(jù)可觀測度進行優(yōu)化，從而得到最優(yōu)規(guī)避機動方向。

本文以逃逸器原軌道為標(biāo)稱軌道，將同時機動的兩航天器復(fù)雜模型轉(zhuǎn)化為單一目標(biāo)機動的簡單問題進行分析，提出一種基于空間幾何關(guān)系，對系統(tǒng)可觀測性指標(biāo)進行分析，進而求取最優(yōu)規(guī)避機動的反交會規(guī)避機動方法。

1 空間軌道機動與相對運動可觀測性分析

在研究的空間軌道規(guī)避問題中，假設(shè)追蹤器通過脈沖機動主動對逃逸器進行接近，而逃逸器按照一定的指標(biāo)進行規(guī)避機動，從而達到對追蹤器進行規(guī)避的目的。在以下分析中，假設(shè)兩航天器的初始時刻的相對狀態(tài)是已知的。

若初始時刻追蹤器與逃逸器相距較遠(≥100 km)，由于雙方的非合作性，此時相對距離信息將難以通過自主測量實時得到，通常追蹤器會采用僅測角信息進行自主導(dǎo)航。一般來說，光學(xué)相機是比較通用的測量裝備，相對測量關(guān)系如圖1所示。其中，坐標(biāo)系的x軸沿軸線方向，y軸指向速度的反方向，z軸與其他兩軸成右手坐標(biāo)系。

圖1 相對測量關(guān)系Fig.1 Relationship of relative measurement

1.1 僅測角導(dǎo)航

假設(shè)追蹤器與逃逸器初始軌道均為近圓軌道，且兩者之間的相對距離遠小于逃逸器的地心距。因此，可以使用C-W方程來描述兩航天器的相對運動。以t0為初始時刻，則任意t時的解[21]可表示為：

(1)

其中，Φ為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，X為相對狀態(tài)，u為推力加速度，Φ和Φv的表達式為

若追蹤器采用脈沖變軌方式，且在t0時施加的脈沖矢量為Δv，則追蹤器在t時刻的相對狀態(tài)Xt可表示為：

Xt=Φ(t,t0)Xt0+BΔv

(2)

對于采用光學(xué)相機進行僅測角測量，令測量坐標(biāo)系與追蹤器軌道坐標(biāo)系重合，則逃逸器在測量坐標(biāo)系中的相對位置rPE=[xPEyPEzPE]T與測量值之間的關(guān)系為：

(3)

其中，ε和θ分別是測量獲得的俯仰角和方位角。經(jīng)過線性化轉(zhuǎn)化，式(3)可以轉(zhuǎn)化為：

H(y)Xr=0

(4)

其中，Xr為相對狀態(tài)中的位置量，H(y)的具體表達式為：

(5)

通過以上線性化轉(zhuǎn)化，即建立了相對狀態(tài)與測量信息的線性化關(guān)系。

1.2 相對運動可觀測性分析

在追蹤器以僅測角進行導(dǎo)航時，一般是在一定的先驗信息基礎(chǔ)上，根據(jù)測量得到的角度信息進行航跡規(guī)劃。因此，若逃逸器施加規(guī)避機動后，追蹤器對其進行測量的測角信息與未機動時相同，則追蹤器將難以及時分辨逃逸器是否進行機動，此時的逃逸器狀態(tài)可視為不可觀測。故基于兩航天器的空間幾何關(guān)系，可有如下定義：

定義 若逃逸器施加一個非零的規(guī)避機動，使以后任意時刻追蹤器對其的角測量值與未機動時保持一致，則稱該機動為完全不可觀測機動。

圖2 完全不可觀測機動示意Fig.2 Completely unobservable maneuver

然而完全不可觀測機動僅為理想幾何假設(shè)，如圖2所示的完全不可觀測機動可以證明是不存在的。

定理 追蹤器與逃逸器初始相對位置為任意非零值時，完全不可觀測機動不存在。

證明： 假設(shè)逃逸器存在非零的完全不可觀測機動uE，令t0為初始時刻，以初始兩個時間步長t1和t2為例，施加規(guī)避機動的逃逸器與未機動軌道的相對位置為：

XEr1=BruE

(6)

XEr2=ΦpBuE

(7)

假設(shè)t0時，追蹤器與逃逸器的初始相對狀態(tài)為XP0，且位置分量不為零，則有

XPr1=ΦpXP0

(8)

(9)

根據(jù)式(4)，再結(jié)合完全不可觀測機動定義，可以得到

H(y1)XPr1=H(y1)XEr1=0

(10)

H(y2)XPr2=H(y2)XEr2=0

(11)

即

H(y1)(BruE)=H(y1)(ΦpXP0)=0

(12)

(13)

由解空間的性質(zhì)不難得出

BruE=α1(ΦpXP0)

(14)

(15)

其中，αi為任意非零實數(shù)。

因此，若使完全不可觀測機動存在，只需式(14)、式(15)成立即可。

由式(14)可得：

(16)

將式(16)代入式(15)以及由式(15)的下一個時間步長所得到的式子中并整理，可以得到：

(17)

(18)

其中，κi=αi+1/αi。

若使式(17)、式(18)成立，又Φp為線性變換，則在初始相對位置為任意非零值，即XP0存在任意非零解時，必有κ1=κ2≡κ。式(17)即

(19)

(20)

(21)

將κ=1代入式(20)，可以得到：

(22)

令XP0=[XPr0XPv0]T，由式(21)和式(22)可知，XPv0取值不對等式結(jié)果造成影響。而當(dāng)XPr0為任意值時，不能保證滿足等式條件，僅XPr0=0時式(21)恒成立，即和追蹤器與逃逸器初始相對位置為任意非零值這一條件相違，故定理得證。

雖然在理想測量情況下完全不可觀測機動是不存在的，但實際規(guī)避過程中如果規(guī)避后的軌道與原軌道之間的相對運動軌跡產(chǎn)生的測量角改變值接近或者小于測量精度，則追蹤器同樣難以識別逃逸器是否機動，即可將其視為完全不可觀測機動的相似解。可以這樣理解，施加的機動所引起的測角變化越小，則追蹤器進行機動識別的難度越大，亦即以可觀測性為規(guī)避指標(biāo)時，該規(guī)避機動越優(yōu)。

2 最優(yōu)規(guī)避機動方向計算

2.1 優(yōu)化模型

(23)

圖3 矢量標(biāo)量積示意圖Fig.3 Scalar product of vector and scalar

為便于利用優(yōu)化算法尋找極值，將式(20)取負，則新的目標(biāo)函數(shù)可表示為：

(24)

DVopt=[ε,θ]T

考慮追蹤器與逃逸器兩者的空間幾何關(guān)系，優(yōu)化機動的取值范圍應(yīng)滿足：

為對問題進行簡化，下面將通過分析進一步縮小優(yōu)化變量取值范圍。在目前的交會對接技術(shù)條件下，追蹤器一般采用共面的方式，利用脈沖變軌對逃逸器進行接近，這種方式都屬于低速交會。由于空間兩航天器進行相對運動時，異面相對運動的可觀測性要遠大于共面的可觀測性[18]，因此逃逸器的規(guī)避機動脈沖也應(yīng)使規(guī)避后的軌道面處于原軌道面附近，即有

2.2 遺傳算法優(yōu)化

遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)是自然遺傳和擇優(yōu)選擇相結(jié)合的搜索算法，具有一定的靈活性與魯棒性。近年來在計算機網(wǎng)絡(luò)、電子電信以及航空航天等諸多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。因此，選擇遺傳算法進行優(yōu)化。

遺傳算法計算流程具體步驟如下所示。

步驟1：根據(jù)2.1節(jié)中的變量約束進行種群初始化。

步驟2：計算式(24)中的目標(biāo)函數(shù)值。

步驟3：選擇適應(yīng)度高的個體，并判斷是否符合終止條件，如果滿足則算法結(jié)束，如果不滿足，繼續(xù)進行迭代。

步驟4：返回步驟2，通過交叉變異產(chǎn)生下一代新種群，繼續(xù)計算。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)利用MATLAB對算法的有效性和正確性進行了驗證。

設(shè)逃逸器初始軌道為400 km圓軌道，追蹤器與逃逸器在t0時刻的初始相對狀態(tài)為XP0=[79 933.5 m -57 232.0 m 0 m -111.35 m/s23.8 m/s 0 m/s]T，追蹤器測量頻率為0.1 Hz，取逃逸器規(guī)避脈沖大小Δv=3 m/s。若逃逸器針對初始時刻之后的1000 s時間內(nèi)的軌跡進行規(guī)避機動，總觀測次數(shù)為101次，則目標(biāo)函數(shù)的理想值為101。

利用遺傳算法進行最優(yōu)規(guī)避機動優(yōu)化。設(shè)初始種群數(shù)量為80，算法最大迭代數(shù)為第30代，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 遺傳算法優(yōu)化結(jié)果Fig.4 Optimization result of GA

圖5 不同情況下的方位角θ測量值Fig.5 Measurement of azimuth θ in different condition

可見，在第15代之后結(jié)果即已經(jīng)收斂，達到的最大目標(biāo)函數(shù)值為100.999 1，最優(yōu)規(guī)避機動方向DVopt=[0 -3.231]T。為驗證優(yōu)化所得規(guī)避機動方向的可觀測最優(yōu)性，隨機選取兩個規(guī)避機動方向DA=[0 -2.231]T和DB=[0 -1.571]T，首先對追蹤器與逃逸器的相對運動測量情況進行仿真，由于面外機動分量為零，因此俯仰角變化為零，而不同情況下的方位角變化情況如圖5所示。圖6則將施加不同機動時方位角測量值與未機動時的方位角測量值之差進行了對比。

從圖5和圖6可以看出，基于可觀測性的最優(yōu)規(guī)避機動方向所產(chǎn)生的測角與未機動時測角的偏差遠優(yōu)于其他機動方向。當(dāng)追蹤器測量精度小于0.01 rad時，甚至難以分辨逃逸器是否進行機動。

圖6 不同機動情況下與未機動時方位角θ測量值的差Fig.6 Measurement difference of azimuth θ between different maneuvering and non-maneuvering

下面通過仿真進一步說明基于可觀測性規(guī)避機動對狀態(tài)估計的影響。采用4階Runge-Kutta法進行數(shù)值仿真，對不同情況下的誤差傳播矩陣進行仿真分析。假設(shè)初始協(xié)方差矩陣為：

P0=diag(20002,20002, 20002,52,22,12)

其中，前三個量的單位為m，后三個量的單位為m/s。

仿真得到的追蹤器與逃逸器相對運動軌跡及估計誤差橢圓的演化情況如圖7所示。誤差橢圓的長軸表征了相對狀態(tài)估計的精度，長軸越長即估計精度越低，反之，則估計精度越高。同時，需要指出的是，由于角度測量的相互性，當(dāng)追蹤器與逃逸器的測量能力相同時，按照該方法進行規(guī)避機動會使逃逸器與追蹤器的測量精度同時提高或降低。

圖7 軌道面內(nèi)相對運動及估計誤差橢圓Fig.7 Relative motion in-plane and estimation error ellipse

由圖7可以看出，由機動方向B造成的估計誤差橢圓明顯小于其他三種情況，為便于詳細比較，將1000 s時另外三種情況下的終端誤差橢圓長軸大小列于表1中。由圖7和表1可以看出，采用最優(yōu)機動進行規(guī)避可使估計誤差橢圓長軸長度大于不機動或者隨機機動方向所產(chǎn)生的誤差橢圓長軸長度。因此，基于可觀測性的最優(yōu)規(guī)避可使追蹤器估計誤差變大，即降低其導(dǎo)航精度，而不當(dāng)?shù)囊?guī)避會使估計誤差甚至小于無機動的情況，不利于后續(xù)規(guī)避。需要指出的是，遺傳算法僅為一種可能的尋優(yōu)方法，若日后用于工程應(yīng)用，則應(yīng)選取其他高效優(yōu)化方法甚至是求取其解析解來適應(yīng)星上在軌計算能力。

表1 不同情況下的終端誤差橢圓長軸長度Tab.1 Long axis length of estimation error ellipse in different cases m

4 結(jié)論

對于空間兩航天器的規(guī)避機動問題，本文探討了一種可行的新思路。在給出的僅測角相對導(dǎo)航模型下，基于空間幾何關(guān)系對完全不可觀測機動的不存在性進行證明，隨后設(shè)計了最優(yōu)規(guī)避機動方向計算方法，并利用遺傳算法對最優(yōu)規(guī)避機動方向進行優(yōu)化。由仿真算例可知，逃逸器按照提出的基于可觀測性的最優(yōu)規(guī)避機動方法進行規(guī)避可使追蹤器對自身的測量值與未機動時差異最小，提升追蹤器狀態(tài)估計難度，增加其軌道重規(guī)劃反應(yīng)時間。

References)

[1] 于大騰， 王華， 尤岳, 等. 不完備軌道信息下的LEO軌道面內(nèi)機動檢測方法[J]. 宇航學(xué)報， 2013， 34(3): 314-319. YU Dateng, WANG Hua, YOU Yue, et al. A new in-plane maneuver detection method for incomplete orbit information of LEO spacecraft[J]. Journal of Astronautics, 2013, 34(3): 314-319. (in Chinese)

[2] Shinar J, Rotsztein Y, Bezner E. Analysis of three-dimensional optimal evasion with linearized kinematics[J]. Journal of Guidance and Control, 1979, 2(5): 353-360.

[3] Chan F K. Spacecraft maneuvers to mitigate potential collision threats[C]//Proceedings of AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit, AIAA 2002-4629, 2002.[4] Sanchez-Ortiz N, Bello-Mora M, Klinkrad H. Collision avoidance manoeuvres during spacecraft mission lifetime: risk reduction and required ΔV[J]. Advances in Space Research, 2006, 38(9): 2107-2116.

[5] Kim H D, Kim H J. Optimal collision avoidance maneuver to maintain a LEO station keeping: IAC-10-A6.2.9[R]. 2010.[6] Shima T. Optimal cooperative pursuit and evasion strategies against a homing missile[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2011, 34(2): 414-425.

[7] Forte I, Steinberg A, Shinar J. The effects of non-linear kinematics in optimal evasion[J]. Optimal Control Applications and Methods, 1983, 4: 139-152.

[8] Shinar J, Steinberg D. Analysis of optimal evasive maneuvers based on a linearized two-dimensional kinematic model[J]. Journal of Aircraft, 1977, 14(8): 795-802.

[9] Patera R P. General method for calculating satellite collision probability[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2001, 24(4): 716-722.

[10] Patera R P. Satellite collision probability for nonlinear relative motion[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2003, 26(5): 728-733.

[11] Patera R P, Peterson G E. Space vehicle maneuver method to lower collision risk to an acceptable level[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2003, 26(2): 233-237.

[12] Kelly B D, Picciotto S D. Probability based optimal collision avoidance maneuvers[C]//Proceedings of Space, AIAA 2005-6775, 2005.

[13] Bombardelli C. Analytical formulation of impulsive collision avoidance dynamics[J]. Celestial Mechanics & Dynamical Astronomy, 2014, 118(2): 99-114.

[14] 王華, 李海陽, 唐國金. 基于碰撞概率的交會對接最優(yōu)碰撞規(guī)避機動[J]. 宇航學(xué)報, 2008, 29(1): 220-223. WANG Hua, LI Haiyang, TANG Guojin. Collision probability based optimal collision avoidance maneuver in rendezvous and docking[J]. Journal of Astronautics, 2008, 29(1): 220-223. (in Chinese)

[15] Nardone S C, Aidala V J. Observability criteria for bearings-only target motion analysis[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1981, 17(2): 162-166. [16] Hammel S E, Aidala V J. Observability requirements for three-dimensional tracking via angle measurements[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1985, 21(2): 200-207.

[17] Woffinden D C, Geller D K. Observability criteria for angles-only navigation[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2009, 45(3): 1194-1208.

[18] Vallado D A. Evaluating gooding angles-only obit determination of space based space surveillance measurements[J]. Presented at the AAS Born Symposium， 2010: 1-22.

[19] Grzymisch J, Fichter W. Analytic optimal observability maneuvers for in-orbit bearings-only rendezvous[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2014, 37(5): 1658-1664.[20] 于大騰， 王華， 李九人. 考慮可觀測度的反交會規(guī)避機動方法[J]. 國防科技大學(xué)學(xué)報， 2014， 36(4)： 15-21. YU Dateng， WANG Hua， LI Jiuren. An anti-rendezvous evasion maneuver method based on degree of observability[J]. Journal of National University of Defense Technology, 2014, 36(4): 16-21. (in Chinese)

[21] 李九人， 李海陽， 唐國金, 等. 基于僅測角的自主交會相對導(dǎo)航策略研究[J]. 中國科學(xué)： 技術(shù)科學(xué), 2011, 41(9): 1865-1872. LI Jiuren, LI Haiyang, TANG Guojin, et al. Research on the strategy of angles-only relative navigation for autonomous rendezvous[J]. Scientia Sinica Techologica, 2011, 41(9): 1865-1872.(in Chinese)

[22] 李九人. 空間交會的僅測角相對導(dǎo)航與自主控制方法研究[D]. 長沙： 國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)， 2011. LI Jiuren. Research on angles-only relative navigation and autonomous control for space rendezvous[D]. Changsha: National University of Defense Technology, 2011. (in Chinese)

Anti-rendezvous evasive maneuver method considering space geometrical relationship

YU Dateng, WANG Hua, ZHOU Wanmeng

(College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

An anti-rendezvous evasion maneuver method was proposed in order to escape from the spacecraft that has autonomous approaching ability. A bearing-only relative navigation model was built and the definition of absolutely non-observable maneuver was proposed. After some algebra, it was proved that the absolutely non-observable maneuver is non-existent. Based on that, an object function using vector multiplication was designed to find the minimum of measurement difference during the evasion. An optimization model was established and the variable bound was given so that the minimum of the object function could be obtained by the Genetic Algorithm. The numerical simulation was conducted with different maneuver impulse. The result shows that the proposed method can minimize the measurement difference between evasive maneuver adopted and evasive maneuver ignored. The method presented offers a new viewpoint for evasion maneuver research.

optimal evasion; evasive maneuver; observability; genetic algorithm; bearings-only

10.11887/j.cn.201606015

2015-06-02

國家自然科學(xué)基金資助項目(11572345)；國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃資助項目(2013CB733100)

于大騰(1988—)，男，安徽阜陽人，博士研究生，E-mail：ydt236500@126.com； 王華(通信作者)，男，副研究員，博士，碩士生導(dǎo)師，E-mail：wangh@nudt.edu.cn

V412.4

A

1001-2486(2016)06-089-06

http://journal.nudt.edu.cn