吳佳妮,陳永光,徐振海,熊子源,王雪松
(1. 國防科技大學(xué) 電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖南 長沙 410073;2. 北京跟蹤與通信技術(shù)研究所, 北京 100094)
陣列雷達(dá)波束內(nèi)雙目標(biāo)的極大似然角度估計(jì)方法*
吳佳妮1,陳永光2,徐振海1,熊子源1,王雪松1
(1. 國防科技大學(xué) 電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖南 長沙 410073;2. 北京跟蹤與通信技術(shù)研究所, 北京 100094)
單波束內(nèi)目標(biāo)往往相距較近,采用傳統(tǒng)角度分辨技術(shù)難以將其分辨,從而給目標(biāo)跟蹤和識(shí)別帶來較大困難。于是提出基于LM算法的極大似然角度估計(jì)方法,實(shí)現(xiàn)波束內(nèi)雙目標(biāo)的分辨。該方法在陣列雷達(dá)的基礎(chǔ)上建立雙目標(biāo)回波模型,推導(dǎo)極大似然角度估計(jì)算法??紤]到求解算法直接影響極大似然角度估計(jì)的收斂速度和估計(jì)精度,利用LM算法實(shí)現(xiàn)了極大似然估計(jì)的求解,從而得到目標(biāo)角度的精確估計(jì)。該方法避免了多次脈沖相干積累,具有計(jì)算量小的特點(diǎn)。仿真結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性。
單波束內(nèi)雙目標(biāo);極大似然估計(jì);LM算法
傳統(tǒng)的角度測量方法(如單脈沖法)主要針對(duì)波束內(nèi)存在單個(gè)目標(biāo)的情況,當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)目標(biāo)出現(xiàn)在同一波束內(nèi)時(shí),傳統(tǒng)方法將不能對(duì)目標(biāo)進(jìn)行有效分辨,其角度估計(jì)結(jié)果往往與真實(shí)值差異較大。除引起角度測量誤差外,不可分辨目標(biāo)還會(huì)使得目標(biāo)檢測概率下降[1]。
為解決這一問題,有關(guān)學(xué)者在不可分辨目標(biāo)的角度估計(jì)問題上展開了一系列深入的研究。Blair等[2-3]針對(duì)兩個(gè)不可分辨的瑞利目標(biāo),利用單脈沖比實(shí)部和虛部的分布特性,提出了較完整的角度檢測、估計(jì)的方法。Sinha等[4-5]基于單脈沖雷達(dá),針對(duì)Swerling I與Swerling III型目標(biāo),提出了極大似然角度估計(jì)方法,該方法較文獻(xiàn)[2]所述方法提高了估計(jì)精度,但在對(duì)似然函數(shù)解的搜索過程中,需要先驗(yàn)信息來排除一組錯(cuò)誤的解。Wang等[6]在前文的基礎(chǔ)上提出了聯(lián)合信號(hào)到達(dá)角(Direction Of Arrival, DOA)估計(jì),該方法結(jié)合了文獻(xiàn)[2]中方法閉型解的簡單形式以及文獻(xiàn)[4]中極大似然估計(jì)方法精度較高的優(yōu)點(diǎn),但要求已知目標(biāo)的信噪比。上述研究主要圍繞改進(jìn)的單脈沖技術(shù)展開,另一方面,基于陣列雷達(dá),空間譜估計(jì)的方法對(duì)于實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的超分辨也具有較好的效果[7]。其中,多重信號(hào)分類(MUltiple SIgnal Classfication, MUSIC)算法與旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)信號(hào)參數(shù)估計(jì)(Estimation of Signal Parameters by Rotational Invariance Techniques, ESPRIT)算法是DOA估計(jì)中最常用的方法,圍繞這兩種方法,國內(nèi)外學(xué)者提出了許多改進(jìn)方法,如root-MUSIC,TLS-ESPRIT等[8]。
上述方法適用于以多次回波脈沖實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì),一些方法的估計(jì)性能與脈沖積累數(shù)密切相關(guān)[2-8]。為了提高角度估計(jì)性能,本文針對(duì)單波束內(nèi)雙目標(biāo)問題,在陣列雷達(dá)的基礎(chǔ)上,研究利用單次快拍信息實(shí)現(xiàn)目標(biāo)角度估計(jì)的方法,以期在避免利用多次回波脈沖的同時(shí),減少計(jì)算量。
考慮陣元數(shù)為N的均勻線陣,接收目標(biāo)單次(快拍)回波的信號(hào)模型為:
x=A1s(u1)+A2s(u2)+n
(1)
其中:
根據(jù)噪聲的分布特性,接收信號(hào)的高斯密度函數(shù)為A1,A2,u1,u2的函數(shù),其表達(dá)式為:
p(x;u,a)=
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
這些方程滿足極大似然估計(jì),由式(3)、式(4)可得:
(7)
(8)
LM算法是一種在非線性最小二乘問題中利用梯度求最小值的算法,它具有梯度法和牛頓迭代法的優(yōu)點(diǎn),同時(shí)克服了牛頓迭代法在應(yīng)用中的一些限制[10-11]。牛頓迭代法具有局部二階收斂性,收斂速度快。而LM算法僅利用一階信息,獲得近似牛頓迭代法的收斂速度,因而具有較優(yōu)的收斂性能[12]。
g(ω)=Q(ω)=J(ω)TF(ω)
(9)
其中:J(ω)=F′(ω)=[F1(ω),…,FN(ω)]T,為F(ω)的Jacobi矩陣。
定義第k次迭代的搜索方向dk為:
(10)
其中:Jk=J(ωk),Fk=F(ωk),μk>0。
按照ωk+1=ωk+αkdk的迭代規(guī)則,產(chǎn)生迭代序列{ωk},其中αk為步長因子。迭代序列的最后一個(gè)值即為最優(yōu)化問題的解。
利用LM-ML角度估計(jì)算法估計(jì)角度的具體步驟如下所示。
步驟1:選取初始化的ω0值,即u10,u20,設(shè)定容許誤差0≤ε≤1,最大迭代次數(shù)K,取μ0>0,設(shè)置k=0;
步驟3:求解dk,得到
步驟4:由Armijo搜索法確定步長因子αk;
步驟5:令ωk+1=ωk+αkdk,k=k+1,按式(11)更新μk的值,且將ωk+1代入式(7)、式(8),更新A1,A2,轉(zhuǎn)步驟2。
經(jīng)多次迭代,最終輸出滿足條件的ωk(ωk=(u1k,u2k)),該值為LM-ML測角方法估計(jì)得到的兩目標(biāo)方位角的正弦值。注意到dk的取值是與μk相關(guān)的,實(shí)際上,在迭代過程中如何調(diào)整參數(shù)μk是LM方法的關(guān)鍵,其取值直接影響搜索方向角度,從而影響算法的收斂速度。依據(jù)參考文獻(xiàn)[12],設(shè):
(11)
為說明LM-ML算法得到的估計(jì)值即為雙目標(biāo)角度的極大似然估計(jì)值,下面證明算法的收斂性。LM算法的收斂性定理[12]為:設(shè){ωk}是LM算法產(chǎn)生的無窮迭代序列,若{ωk,μk}的某一聚點(diǎn)(ω*,μ*)滿足J(ω*)TJ(ω*)+μ*I正定,則Q(ω*)=J(ω*)TF(ω*)=0,即ω*為極小值點(diǎn)。
(12)
J(ω)為N×2的矩陣。
(13)
以上證明了LM-ML算法的全局收斂性。LM-ML算法引入最優(yōu)化LM方法,可通過簡單的計(jì)算得到雙目標(biāo)角度的極大似然估計(jì)。而極大似然估計(jì)為漸進(jìn)無偏估計(jì),可漸進(jìn)達(dá)到克拉美-羅下限(Cramer-Rao Lower Bound, CRLB)[13],因此通過分析CRLB,研究LM-ML算法的測角性能。
(14)
其中,γ(θ)=Sa,C(θ)=σ2I,
由CRLB(u)=[M-1(θ)]ii,i=3,4[14]得到:
{Re[(c⊙s)Hs]}2-{Im[(c⊙s)Hs]}2
(15)
值得注意的是,A1,A2為未知確定量,由文獻(xiàn)[15]可知,此時(shí)的極大似然角度估計(jì)為角度的有效估計(jì),其均方誤差(Mean Square Error, MSE)由CRLB給出。
下面分情況討論所提方法的收斂性能、角估計(jì)精度以及角分辨能力。分析收斂性能時(shí)將LM-ML算法與基于梯度下降法的ML(Gradient Descent based ML)算法[17]進(jìn)行比較,而分析角度估計(jì)精度時(shí)與G-ML算法以及單次快拍MUSIC(Single snapshot MUSIC, S-MUSIC)算法[18]進(jìn)行比較,以說明LM-ML方法具有收斂速度快,測角性能好的優(yōu)點(diǎn)。在研究某一因素對(duì)測角性能影響時(shí),固定其他參數(shù)為典型值。為分析統(tǒng)計(jì)性能,進(jìn)行Monte Carlo仿真,各實(shí)驗(yàn)的仿真次數(shù)均為1000。
5.1 收斂性能仿真分析
5.1.1 收斂性與信噪比的關(guān)系
圖1 兩種方法的迭代次數(shù)與SNR的關(guān)系曲線Fig.1 Iteration numbers of G-ML and LM-ML for different SNR
由圖1可見,LM-ML角估計(jì)方法的迭代次數(shù)遠(yuǎn)小于G-ML角估計(jì)方法,說明LM-ML能較快收斂。而G-ML角估計(jì)方法在SNR<25 dB時(shí),迭代次數(shù)為最大迭代次數(shù),即在容許誤差ε=10-8,最大迭代次數(shù)K=2000的條件下,該方法不能收斂。
5.1.2 收斂性與兩目標(biāo)夾角的關(guān)系
本實(shí)驗(yàn)中,設(shè)定SNR1=SNR2=30 dB,圖2給出了兩種方法的迭代次數(shù)隨目標(biāo)夾角的變化關(guān)系。
圖2 G-ML和LM-ML方法的迭代次數(shù)與的關(guān)系曲線Fig.2 Iteration numbers of G-ML and LM-ML for different inter-target angle
由圖2可見,當(dāng)目標(biāo)間隔小于0.4倍波束寬度時(shí),兩方法在迭代2000次時(shí)均未達(dá)到收斂條件,而間隔大于0.4倍波束寬度后,LM-ML方法的迭代次數(shù)隨著兩目標(biāo)夾角的增大顯著下降??梢?,LM-ML方法具有更好的收斂性能。
5.2 角度估計(jì)精度仿真分析
5.2.1 測角精度與信噪比的關(guān)系
圖3 三種方法的URMSE1與SNR的關(guān)系曲線Fig.3 URMSE derived from three methods for different SNR
從圖3看出,隨著信噪比的提高,URCRLB降低,LM-ML方法在SNR>25 dB時(shí),達(dá)到URCRLB。S-MUSIC算法均方根誤差相對(duì)較大,而G-ML方法在SNR<25 dB時(shí),角度估計(jì)誤差較大,測角精度較低??梢娺@兩種方法的抗噪性能較差。
5.2.2 測角精度與兩目標(biāo)夾角的關(guān)系
圖4 三種方法的URMSE1與的關(guān)系曲線Fig.4 URMSE1 derived from three methods for different
由圖4可見,URCRLB對(duì)目標(biāo)的夾角敏感,而隨著目標(biāo)夾角的增加,三種方法的測角的均方根誤差先后達(dá)到URCRLB。G-ML估計(jì)方法在目標(biāo)間隔小于0.5倍波束寬度時(shí),測角誤差急劇增大,且小于0.4倍波束寬度時(shí),URMSE1>1,此時(shí)該方法不可用。而S-MUSIC算法在小于0.9倍波束寬度時(shí),測角誤差顯著增大。相較而言,LM-ML角估計(jì)方法隨夾角的變化起伏較小,具有較高的測角精度。
通過以上實(shí)驗(yàn)對(duì)LM-ML方法與G-ML方法的對(duì)比可知,不同數(shù)值求解方法不僅直接決定角度估計(jì)算法收斂速度,同時(shí)還影響角度的測量精度。
5.2.3 幅相誤差對(duì)測角精度的影響
圖5 幅相誤差對(duì)URMSE1的影響Fig.5 Relationship between amplitude and phase errors and URMSE1
圖5中,幅相誤差為-40 dB時(shí),目標(biāo)1的角度估計(jì)精度與無幅相誤差時(shí)相近;幅相誤差為-30 dB時(shí),均方根誤差小幅增加。由此可見,LM-ML算法具有較好的穩(wěn)健性。
5.3 角度分辨力仿真分析
本實(shí)驗(yàn)分析了LM-ML算法的角度分辨能力,設(shè)定目標(biāo)估計(jì)的均方根誤差小于0.2倍目標(biāo)角度間隔時(shí),目標(biāo)為有效分辨。圖6給出了不同幅相誤差條件下,算法可分辨兩目標(biāo)的角度間隔的相對(duì)波束寬度隨信噪比變化的曲線。
圖6 角度分辨力與SNR的關(guān)系曲線Fig.6 Resolution of LM-ML for different SNR
由圖6可見,隨信噪比的增加,算法的角度分辨能力增強(qiáng)。而加入幅相誤差,算法分辨力有所下降,且在信噪比較低時(shí),幅相誤差對(duì)分辨力的影響更為顯著。
本文在陣列雷達(dá)基礎(chǔ)上,針對(duì)單波束內(nèi)存在雙目標(biāo)的情況展開研究。根據(jù)陣列雷達(dá)回波特點(diǎn),建立了雙目標(biāo)回波模型,得到了基于極大似然原理的角度估計(jì)方法。隨后研究了極大似然估計(jì)的數(shù)值求解方法,提出了一種基于LM算法的角度求解方法。仿真實(shí)驗(yàn)表明,LM-ML算法具有收斂速度快,測角性能好的優(yōu)點(diǎn),能夠?qū)尾ㄊ鴥?nèi)的雙目標(biāo)角度進(jìn)行精確估計(jì),從而實(shí)現(xiàn)不可分辨目標(biāo)的角度分辨。
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Maximum likelihood angle estimation of two targets with array radar
WU Jiani1, CHEN Yongguang2, XU Zhenhai1, XIONG Ziyuan1, WANG Xuesong1
(1. State Key Laboratory of Complex Electromagnetic Environment Effects on Electronics and Information System,National University of Defense Technology, Changsha 410073, China;2. Beijing Institute of Tracking and Telecommunications Technology, Beijing 100094, China)
As the targets in the same beam are close to each other, it is difficult to resolve them via traditional techniques. Furthermore, it also brings difficulty in detecting and tracking. The problem of resoling two targets in the same beam was studied with array radar. An echo model of two unresolved targets with array radar was established. An improved angle estimation method was proposed based on the maximum likelihood estimation principle. In consideration of the convergence speed and estimation accuracy, the Levenberg-Marquardt method was applied to obtain the maximum likelihood estimation of target direction. The simulation results prove that the method performs well in several aspects, including smaller estimation error and computational cost.
two targets in the same beam; maximum likelihood estimation; Levenberg-Marquardt method
10.11887/j.cn.201606021
2015-05-17
國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61401488,61490694);國家863計(jì)劃資助項(xiàng)目(2013AA122202)
吳佳妮(1988—),女,湖南醴陵人,博士研究生,E-mail:tuotuonini@163.com; 徐振海(通信作者),男,研究員,博士,碩士生導(dǎo)師,E-mail:drxzh930@sina.com
TN95
A
1001-2486(2016)06-130-06
http://journal.nudt.edu.cn