張曉濤， 唐力偉， 王 平， 鄧士杰

(軍械工程學院火炮工程系 石家莊，050003)

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自適應(yīng)鄰域構(gòu)造流形學習算法及故障降維診斷*

張曉濤， 唐力偉， 王 平， 鄧士杰

(軍械工程學院火炮工程系 石家莊，050003)

針對流形學習算法中近鄰構(gòu)造問題，提出一種自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法，該方法基于馬氏距離計算樣本間相似系數(shù)，由相似系數(shù)均值確定初始近鄰數(shù)，根據(jù)樣本高斯核概率密度估計調(diào)整近鄰數(shù)，并將自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法用于改進的主成分分析聯(lián)合局部保持投景(principal component analysis-locality preserving projections,簡稱PCA-LPP)流形學習算法中。通過齒輪箱故障類型識別對其特征降維性能進行驗證，結(jié)果表明，自適應(yīng)鄰域PCA-LPP方法比傳統(tǒng)的k近鄰方法及原始無處理的特征識別率都高，可以達到94.67%。

自適應(yīng)； 鄰域； 高斯核概率估計； 流形學習； 故障診斷

引 言

流形學習算法是一類非常有效的非線性數(shù)據(jù)降維算法[1]，在很多具體的流形學習算法實現(xiàn)中，諸如局部保持投影(locality preserving projection, 簡稱LPP)[2]、拉普拉斯映射(Laplacian eigenmap,簡稱LE)[3]都需要先構(gòu)造數(shù)據(jù)樣本近鄰圖。傳統(tǒng)的近鄰圖構(gòu)造主要是k近鄰和ε近鄰兩種方法[4]，其主要缺點在于各個樣本的近鄰數(shù)需要人為經(jīng)驗確定，且所有樣本采用相同的近鄰數(shù)，不能針對樣本自身的鄰域分布情況進行數(shù)據(jù)調(diào)整。自適應(yīng)鄰域的思想主要是基于樣本周圍一定范圍數(shù)據(jù)分布的情況，按照預(yù)設(shè)規(guī)則自動確定鄰域大小。目前常用的自適應(yīng)鄰域構(gòu)造思想主要基于歐氏距離或者余弦夾角距離計算相似系數(shù)，并根據(jù)相似系數(shù)的分布設(shè)定閾值自適應(yīng)求取近鄰數(shù)，這樣的方法多用于圖像處理及人臉識別研究中。Yang等[5]基于歐氏距離指數(shù)函數(shù)計算樣本相似系數(shù)。劉鳳連等[6]基于圖像歐氏距離導數(shù)計算樣本相似系數(shù)。黃璞等[7]采用樣本夾角余弦距離作為相似系數(shù)。三種方法在人臉識別研究中取得了良好的分類效果。李城梁等[8]將基于樣本切空間距離的自適應(yīng)鄰域方法應(yīng)用于機械故障信號特征提取，故障分類正確率得到明顯提升。

自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法能夠有效避免人為選擇近鄰范圍的隨意性，具有更好的樣本局部非線性流形特征表達能力。筆者提出一種自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法，基于馬氏距離相似系數(shù)均值及樣本高斯核概率密度估計調(diào)整自適應(yīng)獲得樣本近鄰數(shù)，并將自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法應(yīng)用于PCA-LPP流形學習算法，通過齒輪箱故障信號特征向量降維識別驗證了自適應(yīng)鄰域PCA-LPP方法的有效性。

1 自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法

設(shè)高維空間RD中存在數(shù)據(jù)集X=[x1,x2,…,xN]，基于近鄰圖構(gòu)造相似矩陣S能夠用于多種流形學習算法，實現(xiàn)數(shù)據(jù)的降維處理。

傳統(tǒng)的k近鄰構(gòu)造方法，基于樣本間的歐氏距離計算樣本相似性，每個樣本近鄰值相同，相似系數(shù)具體表達如下

(1)

k近鄰法存在兩點不足：a.所有樣本采用相同的近鄰數(shù)，不能很好地適應(yīng)每個樣本的局部流形結(jié)構(gòu)特征；b.近鄰數(shù)的選擇沒有成熟的算法，常使用的交叉驗證方法存在效率低下等弊端。

1.1 馬氏距離相似度衡量

馬氏距離是一種基于數(shù)據(jù)協(xié)方差的距離描述，其定義為

(2)

其中:C為數(shù)據(jù)集X的協(xié)方差矩陣。

馬氏距離對一切非奇異性線性變換具有不變性，不受特征量綱選擇的影響。馬氏距離與歐氏距離的對比如圖1所示，圖中虛線圓為歐氏距離等距線，實線橢圓為馬氏距離等距線。由圖1可以看出，馬氏距離的描述更符合數(shù)據(jù)真實的分布情況，僅當協(xié)方差矩陣C為單位矩陣時，馬氏距離與歐氏距離才會相等[9]。

圖1 馬氏距離與歐氏距離Fig.1 Mahalanobis distance and Euclidean distance

基于馬氏距離數(shù)據(jù)分布特征描述方面的優(yōu)勢，提出基于馬氏距離的樣本相似矩陣構(gòu)造方法，相似矩陣元素表達如下

(3)

其中：αij=exp(-dij/β)；β為所有樣本之間馬氏距離均值的平方。

1.2 核密度估計調(diào)整

樣本近鄰構(gòu)造時，空間中密集分布的樣本局部特征往往較為相似。對樣本xi來講，其附近區(qū)域其他樣本出現(xiàn)的概率密度越大，表示與其具有相似局部特征的樣本越多，則xi對應(yīng)的樣本近鄰數(shù)應(yīng)該大一些。據(jù)此提出將高斯核密度估計(Gauss kernel density estimation，簡稱GKDE)[10]用于近鄰圖構(gòu)造，對基于相似系數(shù)均值Mi的自適應(yīng)近鄰結(jié)果進行修正調(diào)整。

高斯核密度估計是一種非參數(shù)概率密度估計方法，能夠在樣本分布先驗知識未知的情況下，根據(jù)樣本自身信息估計總體分布概率密度。高維空間RD中樣本xi的鄰域概率密度高斯核估計為

(4)

(5)

其中：floor表示數(shù)據(jù)向負無窮大方向取整。

通過式(5)可知，當xi附近數(shù)據(jù)樣本分布密度大時，該點的近鄰數(shù)自動調(diào)整增大，當其附近數(shù)據(jù)分布稀疏時，近鄰數(shù)自動調(diào)整減小。

1.3 自適應(yīng)鄰域構(gòu)造流程及特性

圖2 自適應(yīng)鄰域構(gòu)造流程Fig.2 Flow chart of adaptive neighborhood selection

自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法最終得到的相似矩陣S一般情況下是非對稱的,主要包含以下幾種情況：

2) 與第1假設(shè)相同，當樣本xi和xj互相不為近鄰時，相似系數(shù)αij=αji=0，相似矩陣S對稱;

自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法與傳統(tǒng)k近鄰方法都是為了表達數(shù)據(jù)樣本局部結(jié)構(gòu)的相似性，主要不同為:

1) k近鄰方法基于歐氏距離計算樣本相似系數(shù)，自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法基于馬氏距離計算相似系數(shù)，能夠更好地考慮樣本分布特性；

2) k近鄰方法所有樣本近鄰數(shù)需人為設(shè)置，自適應(yīng)近鄰構(gòu)造方法根據(jù)相似系數(shù)均值Mi確定樣本初始近鄰數(shù)，并采用樣本分布概率密度調(diào)整近鄰數(shù)；

3) k近鄰方法所有樣本近鄰數(shù)均相等，自適應(yīng)近鄰構(gòu)造方法每個樣本的近鄰數(shù)不一定相等，且一般都不相等；

4) k近鄰方法得到的相似矩陣S是對稱的，自適應(yīng)近鄰構(gòu)造方法得到的相似矩陣S一般不對稱。

1.4 自適應(yīng)鄰域構(gòu)造實例

采用26個隨機二維數(shù)據(jù)樣本，說明自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法的特點。采用自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法尋找樣本近鄰，以樣本點A(1,4)和點B(8.5,5)的近鄰求解進行說明，并給出k近鄰方法的對比，設(shè)定k=8。表1為自適應(yīng)近鄰求解過程中的參數(shù)及結(jié)果。圖3中4幅圖所示為原始26個樣本點及點A和點B的3種近鄰求解結(jié)果。

表1 近鄰求解參數(shù)及結(jié)果

圖3 點A和點B近鄰結(jié)果分布Fig.3 Neighborhood for point A and point B

2 自適應(yīng)鄰域PCA-LPP流形學習算法

自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法能夠用于多種基于近鄰圖構(gòu)造的流形學習算法，筆者將其應(yīng)用于一種結(jié)合主元分析與局部保持投影的PCA-LPP改進流形學習算法中，標準局部保持投影算法中相似矩陣S為對稱矩陣，其對稱性對算法的求解帶來很大便利。但自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法得到的相似矩陣S一般為非對稱矩陣，其在PCA-LPP中的求解推導如下。

PCA-LPP流形學習目的在于將高維空間RD中的數(shù)據(jù)集X=[x1,x2,…,xN]，通過投影矩陣W轉(zhuǎn)換投影到低維投影空間Rd(d

PCA方法尋找數(shù)據(jù)分布方差最大的坐標系，其全局目標函數(shù)為

(6)

LPP是一種非線性局部流形保持投影算法，能夠保持投影前后數(shù)據(jù)樣本間的局部結(jié)構(gòu)相似，其局部目標函數(shù)為

(7)

其中：L′為拉普拉斯矩陣；Dii和Djj為對角陣，其元素為Dii=∑jsij，Djj=∑isij；D′=Dii+Djj;S′=S+ST;sij為相似系數(shù)，構(gòu)成相似矩陣S;W為投影矩陣。

PCA-LPP流形學習算法兼顧PCA的全局分布方差最大特性及LPP的局部流形保持特性，能夠全面刻畫數(shù)據(jù)的整體和局部特征，其全局目標函數(shù)為

(8)

其中：限定條件WTXD′XTW=I可消除隨機尺度因子的影響。

在LPP局部目標函數(shù)中，自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法得到的相似矩陣S是非對稱矩陣，但局部目標函數(shù)Jl(W)中的矩陣L′是對稱矩陣，其證明如下。

證明： ? 相似矩陣S

∵ Dii=∑jsij，Djj=∑isij均為對角陣

∴ Dii和Djj為對稱矩陣

∴ D′=Dii+Djj,S′=S+ST為對角對稱矩陣

∴ L′=D′-S′為對稱矩陣。

自適應(yīng)鄰域構(gòu)造PCA-LPP算法的目標函數(shù)式(8)可以通過拉格朗日乘子法[11]，將其轉(zhuǎn)化為有約束最大值問題，如式(9)所示

(9)

式(9)對W求導并置零可得

(10)

化簡式(10)可以得到

(C-XL′XT)W=λXD′XTW

(11)

由式(11)可知，投影矩陣W的求解，實質(zhì)是廣義特征值求解問題，通過求取前d個最大特征值對應(yīng)的特征向量，從而得到投影矩陣W，投影后低維數(shù)據(jù)通過Y=WTX計算。

由此可以得到自適應(yīng)鄰域PCA-LPP流形學習算法流程,如圖4所示。

圖4 自適應(yīng)鄰域PCA-LPP算法流程Fig.4 PCA-LPP algorithm based on adaptive neighborhood

3 齒輪箱故障特征降維分析

流形學習算法在數(shù)據(jù)可視化以及故障特征降維識別中應(yīng)用廣泛[12-13]，下面對自適應(yīng)鄰域PCA-LPP流形學習算法的性能進行驗證。

采用齒輪箱故障實測聲發(fā)射信號對PCA-LPP的特征降維性能進行驗證。試驗中齒輪箱故障包括正常狀態(tài)、軸承內(nèi)圈故障、外圈故障、內(nèi)外圈復(fù)合故障及齒根裂紋故障5種模式，故障軸承為6206，安裝在中間傳動軸，故障齒輪為中間傳動軸大齒輪，一級傳動比為0.5，齒輪箱結(jié)構(gòu)原理及傳感器安裝如圖5所示。試驗中齒輪箱空負載運轉(zhuǎn)，其輸入軸轉(zhuǎn)速為1 490 r/min。信號采集設(shè)備為北京軟島DS2-8A型全息聲發(fā)射信號分析儀，設(shè)置采集儀采樣頻率為1 MHz，采集儀硬件濾波參數(shù)為100 kHz～400 kHz帶通濾波，聲發(fā)射傳感器為聲華SR150M型，匹配40 dB前置放大器。每個數(shù)據(jù)樣本長度為1 s，每種故障模式對應(yīng)70個樣本，5種模式共350個樣本。

對每個故障信號樣本進行db4小波包4層分解，重構(gòu)各子頻帶小波包系數(shù)，得到16個子頻帶重構(gòu)分量，各子頻帶寬度為31.25 kHz，計算子頻帶信號能量，得到能量特征向量E=[E1，E2，…，E16]，求取16個子頻帶信號的能量熵作為特征向量[8]，能量熵的計算方法如下。

(12)

采用自適應(yīng)鄰域PCA-LPP方法對所提故障特征向量進行處理，并將降維后特征向量輸入支持向量機進行訓練識別，對比故障模式的分類識別性能，每個故障70個樣本中，40個用于訓練支持向量機分類器，30個用于樣本故障分類識別。

3.1 自適應(yīng)鄰域PCA-LPP故障特征降維識別分析 齒輪箱故障聲發(fā)射信號的特征向量原始維度為16維，采用自適應(yīng)鄰域PCA-LPP對故障特征向量進行降維處理，降維后特征的維度范圍為3～15維，間隔為1。不同降維數(shù)的特征向量輸入支持向量機的整體故障識別率如圖6所示。由圖6可以看到，原始的16維特征向量經(jīng)降維處理，不同維度的特征向量對應(yīng)的故障辨識率有所不同。辨識率在5維以后出現(xiàn)明顯增高，當降維數(shù)d=8時，整體故障辨識率最高，達到94.67%。其中整體故障辨識率指各單項故障識別率的均值，表示4種故障類型正確識別的總數(shù)占150個測試樣本的比例。

降維數(shù)d=8時，不同故障的辨識率如表2所示。由表2可知，各類故障模式中，齒根裂紋辨識率最高，因為齒根裂紋與其他幾種故障具有明顯不同，而復(fù)合故障辨識率最低，因為復(fù)合故障與內(nèi)、外圈故障具有相似特征成分。

圖6 不同降維數(shù)的故障識別率Fig.6 Fault identification rate of different dimensions

故障類型齒根裂紋正常狀態(tài)內(nèi)圈故障外圈故障復(fù)合故障整體識別率%10096．6793．3393．3390．0094．67

3.2 不同識別方法性能對比

對文中的故障特征向量，將k近鄰PCA-LPP方法降維識別結(jié)果、基于歐氏距離的自適應(yīng)PCA-LPP方法降維識別結(jié)果以及原始特征向量不做任何處理的識別結(jié)果與3.1節(jié)的識別結(jié)果進行對比，k近鄰方法的最優(yōu)識別結(jié)果通過交叉驗證獲得。設(shè)置近鄰值k的變換范圍為5～30，間隔為1，降維數(shù)d的范圍為3～15，間隔為1，計算后得到k近鄰方法在k=17，d=7時獲得最高識別率?；跉W氏距離的自適應(yīng)PCA-LPP方法降維識別在降維數(shù)d=8時取得最高識別率。4種方法的識別率對比如表3所示。

表3 3種情況識別率對比

從表3可以看到，原始16維特征向量，不經(jīng)任何處理，直接進行支持向量機分類器的訓練和識別，其故障識別率最低，僅為53.33%，而采用流形學習算法降維之后，故障識別率明顯提升。對于同樣的PCA-LPP流形學習算法，不同的鄰域構(gòu)造方法帶來的降維效果差異較大。自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法降維后特征的故障識別率可達94.67%，而k近鄰方法降維后特征的故障識別率為86.67%。不同相似度衡量方法帶來的降維效果也不同，基于馬氏距離的相似度衡量最終故障識別率為94.67%，而基于歐氏距離的相似度衡量最終識別率卻為88.67%。原始特征向量維度高，其中包含故障特征的差異信息，但高維度同時包含過多的冗余信息，因此其故障識別率低。k近鄰方法對所有樣本采用相同的近鄰數(shù)，對各樣本局部鄰域的描述不能做到分而劃之，基于歐氏距離的相似度衡量，對數(shù)據(jù)樣本的分布情況不能充分考慮，因此兩種方法特征向量的降維效果不如自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法，故其故障識別率低于自適應(yīng)鄰域PCA-LPP方法。

4 結(jié)束語

針對流形學習算法中近鄰圖的構(gòu)造問題，提出一種基于馬氏距離的相似矩陣元素計算。根據(jù)相似矩陣元素均值確定初始鄰域數(shù)，并由數(shù)據(jù)樣本鄰域高斯核概率密度估計結(jié)果調(diào)整樣本近鄰數(shù)，解決了自適應(yīng)構(gòu)造近鄰圖的問題。將自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法應(yīng)用于兼顧PCA與LPP二者特性的改進流形學習算法，并給出相應(yīng)的理論計算模型，證明了求解拉普拉斯矩陣的對稱性。通過齒輪箱故障聲發(fā)射信號16維能量熵特征的降維識別對自適應(yīng)鄰域PCA-LPP流形學習算法的性能進行驗證，結(jié)果表明故障特征降到8維時識別率最高，可以達到94.67%。對比研究表明，自適應(yīng)鄰域構(gòu)造PCA-LPP方法的降維識別性能優(yōu)于k近鄰PCA-LPP方法以及原始特征向量的識別率。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.06.027

*國家自然科學基金資助項目(50775219)

2014-11-12；

2015-03-27

TH165; TN911

張曉濤，男，1987年5月生，博士生。主要研究方向為機械系統(tǒng)性能檢測與故障診斷。曾發(fā)表《基于SVD與Fast Kurtogram算法的滾動軸承故障診斷》(《振動與沖擊》2014年第33卷第10期)等論文。 E-mail：headic@163.com