劉 姍 張清芳

高中幾何概型教學(xué)策略探討

劉 姍 張清芳

幾何概型是高中數(shù)學(xué)課程的新增內(nèi)容，也是一個(gè)重要的概率模型，對(duì)于概率的學(xué)習(xí)有著非常重要的意義，高中生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)存在諸多困難。對(duì)此，文章提出了相應(yīng)的教學(xué)策略，以幫助高中生更好地理解并掌握幾何概型知識(shí)。

幾何概型；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)策略

幾何概型，是指如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)幾何概型。幾何概型是高中數(shù)學(xué)課程改革中的新增內(nèi)容，也是一個(gè)重要的概率模型。相比中學(xué)數(shù)學(xué)中的其它概念，“幾何概型”的概念是比較抽象的，學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)往往存在諸多困難，遇到具體問(wèn)題時(shí)常出錯(cuò)，且不易找到錯(cuò)誤原因。為此，筆者特提出如下幾點(diǎn)教學(xué)應(yīng)對(duì)策略：

一、加強(qiáng)對(duì)幾何概型知識(shí)的理解

在幾何概型的學(xué)習(xí)中，深刻理解幾何概型知識(shí)主要體現(xiàn)為對(duì)幾何概型核心思想（等可能性與無(wú)限性）的掌握。學(xué)生只要掌握了幾何概型的核心思想，就能夠突破古典概型的干擾，分辨出幾何概型，從而對(duì)幾何概型做出自己的解釋與判斷，形成自己的見(jiàn)解，進(jìn)而通過(guò)自己對(duì)幾何概型的理解，來(lái)解決有一定難度的幾何概型問(wèn)題。為此，在教學(xué)中，教師應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：

1.對(duì)比兩大概率模型，弄清本質(zhì)區(qū)別

幾何概型與古典概型既有聯(lián)系又有區(qū)別，根據(jù)這一特點(diǎn)，教師在教學(xué)中一定要重視概率中幾何概型和古典概型的對(duì)比，要弄清兩者的區(qū)別，讓學(xué)生學(xué)會(huì)區(qū)分這兩大概型。

例1 一個(gè)黑色的袋子里裝有6個(gè)大小完全相同的小球，其中有3個(gè)黑色小球，2個(gè)黃色小球，1個(gè)紅色小球，問(wèn)：在摸取一次的情況下，摸出是黃色小球的概率是多少？

解題思路分析：?jiǎn)栴}給定的是6個(gè)小球，在只摸取一次的情況下，一共會(huì)出現(xiàn)6種可能結(jié)果，即基本事件個(gè)數(shù)滿(mǎn)足有限性；并且摸出任何一個(gè)小球的機(jī)會(huì)是相等的，即滿(mǎn)足基本事件是等可能的，由此可以判斷出該題是一道古典概型的問(wèn)題。

例2 轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，圖中有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向A區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率。

解題思路分析：從這個(gè)圖表（圖1）中可以看出A與B分別是整個(gè)圓的一半，即在轉(zhuǎn)盤(pán)游戲中，甲或乙獲勝的概率各是因此，滿(mǎn)足幾何概型基本事件的等可能性。又由于指針落在某一個(gè)區(qū)域的任何一個(gè)點(diǎn)都是有可能的，即基本事件有無(wú)限多個(gè)，因此可以判斷該題滿(mǎn)足幾何概型的條件，即求甲獲勝的概率只與A區(qū)所占的面積與整個(gè)圓的面積比有關(guān)。

圖1 轉(zhuǎn)盤(pán)游戲

以上兩題是典型的古典概型和幾何概型的問(wèn)題，學(xué)生解答時(shí)常常容易混淆。因此，教師在講解時(shí)，應(yīng)重點(diǎn)指出幾何概型與古典概型的區(qū)別，還要將兩大概型的定義、特征以及計(jì)算公式對(duì)學(xué)生講清、講透，讓學(xué)生弄清它們的本質(zhì)區(qū)別。

2.借助多媒體演示，增強(qiáng)對(duì)幾何概型的理解

由于幾何概型知識(shí)具有抽象性的特點(diǎn)，學(xué)生學(xué)起來(lái)存在一定的困難。針對(duì)這一問(wèn)題，筆者認(rèn)為，教師在教學(xué)中不妨借助實(shí)驗(yàn)演示，引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察蘊(yùn)含在具體問(wèn)題中的幾何概型特點(diǎn)，從而增進(jìn)對(duì)幾何概型知識(shí)的理解。

例3 邊長(zhǎng)為4厘米的正方形及其內(nèi)部有一圓，若隨機(jī)向正方形內(nèi)扔一粒豆子，則豆子落在圓和正方形夾部分的概率是多少？

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題如何求解，多數(shù)學(xué)生都會(huì)感到很茫然，不知從哪里入手。教學(xué)時(shí)，教師不妨借助多媒體課件，將在正方形內(nèi)扔豆子這一過(guò)程制作成動(dòng)畫(huà)圖片，引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察隨著圓的大小的改變，豆子的運(yùn)動(dòng)軌跡，繼而求出概率。通過(guò)多媒體演示，學(xué)生直觀(guān)感受到從圓的變動(dòng)到軌跡的形成過(guò)程，進(jìn)而加深對(duì)幾何概型的理解。此外，通過(guò)多媒體動(dòng)畫(huà)演示，還可以營(yíng)造出良好的學(xué)習(xí)氛圍，促使學(xué)生積極參與課堂教學(xué)，最終提升教學(xué)效率。

3.結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生感知幾何概型

在幾何概型的學(xué)習(xí)中，應(yīng)注意結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生自己感知幾何概型，建構(gòu)對(duì)幾何概型的理解，這是對(duì)幾何概型知識(shí)加深理解的有效策略。比如，在講授幾何概型問(wèn)題時(shí)，可以設(shè)置基本事件的個(gè)數(shù)由有限到無(wú)限的、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的問(wèn)題情境，讓學(xué)生在自己的認(rèn)知沖突中發(fā)掘幾何概型的本質(zhì)特征，只有這樣，學(xué)生習(xí)得的知識(shí)才會(huì)牢固，對(duì)幾何概型的理解也才會(huì)更加深刻。

二、注重模型的建構(gòu)和轉(zhuǎn)化

建構(gòu)幾何概型的首要任務(wù)是計(jì)算事件A包括的基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域的長(zhǎng)度、面積或體積，但這里的計(jì)算并非重點(diǎn)，重點(diǎn)在于如何利用幾何模型，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為各種幾何概型問(wèn)題。為此，可參考以下辦法：適當(dāng)選擇觀(guān)察角度；把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域；把隨機(jī)事件A轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域；如果事件A的對(duì)應(yīng)區(qū)域不好處理，則可以用對(duì)應(yīng)事件概率公式進(jìn)行逆向思考。在此基礎(chǔ)上，再?gòu)拈L(zhǎng)度、面積和體積分類(lèi)考慮具體模型的建立。

1.與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型

這類(lèi)問(wèn)題通常是在一維空間中出現(xiàn)，即題目中涉及一個(gè)變量，可以近似地抽象為一條線(xiàn)段，該問(wèn)題求解的事件A的概率就轉(zhuǎn)化成求滿(mǎn)足所求事件的線(xiàn)段長(zhǎng)，從而將抽象、復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

例4 若A=[1，10]，則從A中任意取出一個(gè)數(shù)，求出這個(gè)數(shù)不大于4的概率是多少？

圖2

解答思路分析：在1至10中任意取一個(gè)數(shù)是一個(gè)基本事件，基本事件有無(wú)數(shù)個(gè)，且每一個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的，因此，事件發(fā)生的概率只與長(zhǎng)度有關(guān)，符合幾何概型條件。

解：記B為“在1至10中任意取一個(gè)不大于4的數(shù)”，畫(huà)出從1到10的線(xiàn)段長(zhǎng)（如圖2），將線(xiàn)段分為9段長(zhǎng)，而不大于4的線(xiàn)段長(zhǎng)為3段，所以

一般說(shuō)來(lái)，將每個(gè)事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型求解。

2.與面積有關(guān)的幾何概型

當(dāng)概率問(wèn)題中涉及兩個(gè)變量，則此問(wèn)題可以利用平面直角坐標(biāo)系來(lái)討論，從而將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求面積之比，建立起概率模型。

例5 兩人相約8點(diǎn)到9點(diǎn)在某地見(jiàn)面，先到者等候后到者20分鐘，過(guò)時(shí)就可離開(kāi)，求這兩人能會(huì)面的概率是多少？

解題思路分析：此問(wèn)題中的“兩人在8點(diǎn)到9點(diǎn)之間的任何一個(gè)時(shí)間到達(dá)某地”是一個(gè)基本事件。顯然，這里的基本事件有無(wú)數(shù)個(gè)，且基本事件發(fā)生都是等可能的。同時(shí)考慮到兩個(gè)人能見(jiàn)面，有兩個(gè)變量，因此，事件發(fā)生的概率只與面積有關(guān)，符合幾何概型的條件。

解：記事件A為“兩人在8點(diǎn)到9點(diǎn)之間能見(jiàn)到面”，分別設(shè)出兩人到達(dá)時(shí)間為x和y，

根據(jù)線(xiàn)性規(guī)劃在坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域，可知圖中（如圖3）陰影部分的面積即為事件A發(fā)生的相應(yīng)區(qū)域，故所求事件概率為

圖3

在解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)要根據(jù)題意找出條件，依據(jù)線(xiàn)性規(guī)劃在坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域，并求出事件A發(fā)生的相應(yīng)區(qū)域。解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是建立起關(guān)于面積的概率模型。

3.與體積有關(guān)的幾何概型

當(dāng)幾何概型問(wèn)題中涉及3個(gè)變量，或是在三維空間中進(jìn)行的概率計(jì)算，可轉(zhuǎn)化為體積計(jì)算。

例6 在棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)有一內(nèi)切球，若在正方體內(nèi)任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)在球內(nèi)的概率。

解題思路分析：此題中“在正方體內(nèi)切球內(nèi)任取一點(diǎn)”是一個(gè)基本事件，基本事件也有無(wú)數(shù)個(gè)，且基本事件發(fā)生都是等可能。由此可結(jié)合正方體圖形的特點(diǎn)，引入3個(gè)空間變量。故此，事件發(fā)生的概率與體積有關(guān)，符合幾何概型條件。

解：記A為“在正方體內(nèi)任取一點(diǎn)在內(nèi)切球中”，分別求出正方體與球的體積，

此題的結(jié)果顯然與正方體和球的體積有關(guān)，只要分別求出正方體與球的體積問(wèn)題就解決了。在這類(lèi)問(wèn)題中，關(guān)鍵是找到變量個(gè)數(shù)，以便建立體積模型。

三、加強(qiáng)思維訓(xùn)練

1.暴露思維過(guò)程，把握思維脈絡(luò)

我們知道，教學(xué)并不是單向地傳輸知識(shí)的過(guò)程，而是對(duì)知識(shí)的一個(gè)加工、轉(zhuǎn)化和處理的過(guò)程。幾何概型是古典概型的拓展與延伸，其學(xué)習(xí)過(guò)程蘊(yùn)涵著重要的思維過(guò)程。因此，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：首先，在講授幾何概型知識(shí)時(shí)，應(yīng)將學(xué)生原有的古典概型知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為幾何概型知識(shí)新的生長(zhǎng)點(diǎn)，使學(xué)生對(duì)已有的古典概型知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行重新改造、加工、擴(kuò)展，從而更好地理解并豐富幾何概型新知識(shí)。其次，教師在教學(xué)過(guò)程中不僅要注意展示問(wèn)題發(fā)生、發(fā)展的思維方式，還應(yīng)聽(tīng)取學(xué)生的想法，注意創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在自主、合作與探究學(xué)習(xí)的過(guò)程中，將自己對(duì)幾何概型問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、思考和分析的思維過(guò)程暴露出來(lái)，以利于教師準(zhǔn)確地把握學(xué)生的思維脈絡(luò)，掌握學(xué)生在解決幾何概型問(wèn)題的困難所在，從而有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)。比如，對(duì)于一道幾何概型題的講解，我們應(yīng)關(guān)注如下問(wèn)題：學(xué)生是如何讀題的，又是如何思考的？解答中有什么困惑？等等，其目的就是讓學(xué)生的思維得以充分暴露，使教師能夠掌握學(xué)生的思維動(dòng)態(tài)，從而使幾何概型教學(xué)更具針對(duì)性和有效性。

2.多角度舉例，培養(yǎng)思維的深刻性

高中生在剛剛接觸幾何概型的時(shí)候，對(duì)新知識(shí)存在理解上的困難，學(xué)生無(wú)法準(zhǔn)確掌握幾何概型與古典概型的本質(zhì)區(qū)別，沒(méi)有養(yǎng)成幾何概型的概率思維。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)進(jìn)行多角度舉例，讓學(xué)生全方位感受幾何概型的特點(diǎn)，從而理解新知識(shí)。在舉例方面，教師既要運(yùn)用正例，也要選用合適的反例：正例有利于學(xué)生鞏固幾何概型知識(shí)，反例則能強(qiáng)化或深化學(xué)生對(duì)幾何概型知識(shí)的本質(zhì)理解。實(shí)踐證明，合理、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用正反例，不僅能有效引導(dǎo)學(xué)生的思維，有助于幾何概型知識(shí)的學(xué)習(xí)和掌握，而且還能培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

3.變式教學(xué)，培養(yǎng)思維的靈活性

在幾何概型的教學(xué)過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)聽(tīng)到老師們抱怨：“這個(gè)問(wèn)題明明講過(guò)，學(xué)生也做過(guò)，考試時(shí)只是稍微變了一下形式而已，他們就不會(huì)做了！”這說(shuō)明學(xué)生并未真正理解問(wèn)題，變通能力不強(qiáng)。變式教學(xué)可以為解決這個(gè)問(wèn)題提供方法和途徑，比如，改變幾何概型問(wèn)題的條件或結(jié)論，將條件的范圍擴(kuò)大或者縮小，等等，通過(guò)對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的改變，學(xué)生在解題時(shí)就可以舉一反三、觸類(lèi)旁通。

[1]郭鳳艷.淺談數(shù)形結(jié)合思想及在概率中的應(yīng)用[J].高教論壇，2015，（11）：19.

[2]孫丹丹.幾何概型的構(gòu)建[J].數(shù)理化解題研究，2014，（4）：14.

[3]程?？愌┟?是強(qiáng)調(diào)幾何度量還是關(guān)注模型的建構(gòu)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2014，（11）：26.

（編輯：朱澤玲）

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1671-0568（2016）24-0060-03

劉姍、張清芳，黃岡師范學(xué)院。