李新軍 康建群（煙臺(tái)大學(xué)，煙臺(tái) 64005） （大連理工大學(xué)，大連 604）

前景理論框架下基于期望的損失厭惡報(bào)童博弈

李新軍1，2康建群11（煙臺(tái)大學(xué)，煙臺(tái) 264005）2（大連理工大學(xué)，大連 116024）

本文運(yùn)用前景理論，考慮了損失厭惡報(bào)童期望水平對(duì)其損失厭惡程度的影響，擴(kuò)展了損失厭惡報(bào)童模型，分析了多個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童向一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性供應(yīng)商競(jìng)爭(zhēng)訂貨的情形，研究了報(bào)童相關(guān)參數(shù)對(duì)報(bào)童均衡總訂貨量的影響。在隨機(jī)需求情形下引入期望參考利潤(rùn)水平，首先基于前景理論建立單個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童效用函數(shù)，其次推導(dǎo)出多個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童博弈模型，然后證明了該博弈模型對(duì)稱純策略納什均衡的存在性和唯一性，推導(dǎo)出均衡總訂貨量的表達(dá)式并分析了均衡總訂貨量與報(bào)童數(shù)量、損失厭惡系數(shù)、期望水平的關(guān)系，最后通過(guò)算例論證了均衡總訂貨量與報(bào)童數(shù)量、損失厭惡系數(shù)和期望水平之間關(guān)系的正確性，進(jìn)而比較分析了風(fēng)險(xiǎn)中性報(bào)童最優(yōu)訂貨量、單個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童最優(yōu)訂貨量以及均衡總訂貨量之間的關(guān)系。結(jié)果表明，均衡總訂貨量隨著報(bào)童數(shù)量的增多而增加，隨著損失厭惡系數(shù)的增大而減少，隨著期望水平的增大而減少；單個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童最優(yōu)訂貨量要小于風(fēng)險(xiǎn)中性報(bào)童最優(yōu)訂貨量以及均衡總訂貨量。

運(yùn)作管理 報(bào)童模型 前景理論 損失厭惡 博弈理論

引言

1951年，Arrow等人提出的單階段報(bào)童模型，一直以來(lái)在運(yùn)作管理科學(xué)領(lǐng)域中被廣泛運(yùn)用和分析，成為隨機(jī)庫(kù)存管理問(wèn)題的經(jīng)典模型，在諸如產(chǎn)能計(jì)劃、收益管理和供應(yīng)鏈契約等方面近似反映了許多現(xiàn)實(shí)生活場(chǎng)景。近年來(lái)，報(bào)童模型不斷加入新的理論、不斷出現(xiàn)新的研究視角，其中比較典型的是博弈論在報(bào)童模型中的應(yīng)用以及考慮損失厭惡的報(bào)童模型。

博弈理論作為一項(xiàng)重要的分析工具，報(bào)童模型被廣泛應(yīng)用于供應(yīng)鏈運(yùn)作管理科學(xué)領(lǐng)域。Lippman和McCardle（1997）［1］最早研究了風(fēng)險(xiǎn)中性的報(bào)童博弈模型。Cachon（2003）［2］提出了一種按比例分配需求的準(zhǔn)則來(lái)研究報(bào)童博弈模型。Wang（2009）［3］擴(kuò)展了基于風(fēng)險(xiǎn)中性的報(bào)童模型，考慮了多個(gè)損失厭惡報(bào)童向一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性供應(yīng)商競(jìng)爭(zhēng)訂貨的情形，供應(yīng)商根據(jù)各個(gè)報(bào)童的訂貨量按比例分配總需求，則存在一個(gè)獨(dú)特的納什均衡訂貨量；需求竊取效應(yīng) （Demand－stealing Effect）會(huì)增加報(bào)童的總訂貨量，而損失厭惡效應(yīng) （Loss Aversion Effect）會(huì)減少報(bào)童的總訂貨量，減少的幅度增大時(shí)，損失厭惡效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致總庫(kù)存水平降低。李績(jī)才等 （2013）［4］以一個(gè)兩階段的供應(yīng)鏈系統(tǒng)為研究背景，建立了下游損失厭惡型零售商之間存在競(jìng)爭(zhēng)的收益共享契約協(xié)調(diào)模型。

報(bào)童模型近年的另外一個(gè)熱點(diǎn)是假設(shè)報(bào)童是損失厭惡型，這一假設(shè)的提出經(jīng)過(guò)了風(fēng)險(xiǎn)中性——風(fēng)險(xiǎn)厭惡和風(fēng)險(xiǎn)厭惡——損失厭惡兩個(gè)階段。報(bào)童模型通常假設(shè)報(bào)童為風(fēng)險(xiǎn)中性，然而，報(bào)童在不確定情況下做決策時(shí)，其行為會(huì)受到自身風(fēng)險(xiǎn)偏好的影響，且大多數(shù)決策者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度是厭惡的。Neumann和 Morgenstern（1944）［5］在《博弈論和經(jīng)濟(jì)行為》中提出了期望效用理論，促使人們用期望效用理論重新研究報(bào)童問(wèn)題。Eeckhoudt等 （1995）［6］在期望效用理論框架下論證了風(fēng)險(xiǎn)厭惡報(bào)童的訂貨量要少于風(fēng)險(xiǎn)中性報(bào)童的。Wang等 （2009）［7］論證了風(fēng)險(xiǎn)厭惡報(bào)童的訂貨量隨著零售價(jià)格的增高而減少。雖然期望效用理論合理解決了在風(fēng)險(xiǎn)條件下報(bào)童的決策問(wèn)題，但是期望效用理論在理論基礎(chǔ)和實(shí)證研究上均存在問(wèn)題，且無(wú)法解釋現(xiàn)實(shí)生活中的一些現(xiàn)象，比如買彩票。為了改進(jìn)期望效用理論以適用于行為運(yùn)作管理，Kahneman和Tversky（1979）［8，9］提出了前景理論 （Prospect Theory），指出人在作決策時(shí)是基于財(cái)富變化量的效用，而不是基于總財(cái)富的效用，并提出了損失厭惡的概念。Schweitzer和 Cachon（2000）［10］最早在前景理論框架下實(shí)證研究了在沒(méi)有缺貨懲罰下的損失厭惡報(bào)童問(wèn)題。K?szegi和Rabin（2006，2007）［11，12］考慮了參照點(diǎn)對(duì)報(bào)童風(fēng)險(xiǎn)偏好的影響，擴(kuò)展了損失厭惡報(bào)童模型。文平（2005）［13］在前景理論框架下重新研究報(bào)童問(wèn)題，得出損失厭惡報(bào)童的最優(yōu)訂貨量并進(jìn)行相關(guān)比較靜態(tài)分析。Wang和Webster（2007）［14］擴(kuò)展了損失厭惡報(bào)童問(wèn)題，研究 “一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性供應(yīng)商向一個(gè)損失厭惡報(bào)童供貨”的供應(yīng)鏈。Wang和Webster（2009）［15］研究了在前景理論框架下考慮缺貨損失的損失厭惡報(bào)童問(wèn)題。鄧天虎等 （2009）［16］基于前景理論研究了損失厭惡報(bào)童問(wèn)題最優(yōu)解的存在性和唯一性。Abeler等 （2011）［17］以及Ericson和Fuster（2011）［18］分別論證了 “當(dāng)報(bào)童有經(jīng)驗(yàn)或者至少能獲得歷史數(shù)據(jù)時(shí)，則報(bào)童自身風(fēng)險(xiǎn)偏好至少部分受其期望水平的影響”該假設(shè)的合理性。柳鍵等 （2012）［19］基于前景理論分析了損失厭惡零售商訂貨量與損失厭惡系數(shù)、零售價(jià)格、采購(gòu)價(jià)格、單位殘值、單位缺貨損失的關(guān)系。Herweg（2013）［20］通過(guò)引入一種受報(bào)童理性期望影響的內(nèi)生的報(bào)童收益參考水平，構(gòu)建了基于期望的損失厭惡報(bào)童模型，并給出了最優(yōu)訂貨量與損失因子、銷售價(jià)格等參數(shù)的關(guān)系。Nagarajan等 （2014）［21］證明了前景理論下報(bào)童最優(yōu)訂貨量與效用參數(shù)、權(quán)重參數(shù)的關(guān)系，比較了前景理論下報(bào)童最優(yōu)訂貨量與經(jīng)典報(bào)童最優(yōu)訂貨量。褚宏睿等（2014）［23］研究了回購(gòu)條件下存在缺貨懲罰的損失厭惡報(bào)童問(wèn)題，在需求預(yù)測(cè)中引入價(jià)格因素，推導(dǎo)證明了損失厭惡報(bào)童最優(yōu)訂貨量與銷售價(jià)格之間的關(guān)系式。

本文在文獻(xiàn) ［3］、文獻(xiàn) ［4］和文獻(xiàn) ［20］的基礎(chǔ)上展開(kāi)，在隨機(jī)需求情形下引入期望參考利潤(rùn)水平，利用前景理論研究單個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童問(wèn)題，然后根據(jù)特定需求分配準(zhǔn)則，考慮多個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童從一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性供應(yīng)商那里進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)性訂貨，進(jìn)而建立博弈模型。文獻(xiàn) ［3］、文獻(xiàn) ［4］的損失厭惡報(bào)童考慮了一種固定且外生的參照點(diǎn)，而我們研究了一種受報(bào)童理性期望影響的內(nèi)生的參照點(diǎn)；文獻(xiàn) ［20］研究了單個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童問(wèn)題，而我們研究了多個(gè)報(bào)童的博弈問(wèn)題。

1 單個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童的效用模型

假設(shè)整個(gè)銷售期間報(bào)童無(wú)法補(bǔ)貨，報(bào)童以批發(fā)價(jià)格w向風(fēng)險(xiǎn)中性供應(yīng)商進(jìn)行訂貨Q。報(bào)童零售價(jià)格為p，殘值為s，且0≤s＜w＜p，不考慮缺貨成本。市場(chǎng)需求X是一個(gè)隨機(jī)變量，在連續(xù)區(qū)間I∈［0，＋∞）上服從概率密度為f（x）的分布，其分布函數(shù)是F（x），假定f（x）和F（x）都是可微的。

1.1 風(fēng)險(xiǎn)中性報(bào)童的期望利潤(rùn)模型

風(fēng)險(xiǎn)中性報(bào)童訂貨QRN，需求x時(shí)的利潤(rùn)為：

風(fēng)險(xiǎn)中性報(bào)童的期望利潤(rùn)為：

易證，E［π（QRN，x）］是關(guān)于QRN的嚴(yán)格凹函數(shù)，最大值為且滿足

1.2 前景理論框架下基于期望的損失厭惡報(bào)童的效用模型

前景理論認(rèn)為，決策參考點(diǎn)決定決策者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，決策者感興趣的并不是利潤(rùn)的絕對(duì)量，而是相對(duì)于某一決策參考點(diǎn)的收益 （Gains）或損失 （Losses）水平。前景理論假定決策者是損失厭惡型——一定數(shù)量的損失給決策者帶來(lái)的痛苦程度要大于同樣數(shù)量的收益所帶來(lái)的愉悅程度，增加了損失厭惡系數(shù)來(lái)表示決策者對(duì)待損失的態(tài)度。相較于期望效用理論中的效用是總財(cái)富效用，前景理論中的效用是財(cái)富變化量的效用，即效用是根據(jù)參照點(diǎn)的所得與所失得到的，故 Shalev（2000）［24］用如下效用函數(shù)討論博弈論中的多重納什均衡問(wèn)題：

其中，π為利潤(rùn)水平，r為參考點(diǎn)，λ≥0為損失厭惡系數(shù)。

K?szegi和Rabin（2006，2007）和Herweg（2013）認(rèn)為，基于期望的損失厭惡報(bào)童的整體效用由內(nèi)生效用和增益損失效用組成?；谄谕膿p失厭惡報(bào)童訂貨QLA，由于不考慮缺貨成本，故報(bào)童獲得的最高利潤(rùn)是πmax＝（p－w）QLA。為了分析方便，假定期望參考利潤(rùn)R等于最高利潤(rùn)πmax的一定比例，即R＝kπmax＝k（p－w）QLA，其中k是報(bào)童期初預(yù)估的期望水平，0＜k≤1。

所以，前景理論框架下基于期望的損失厭惡報(bào)童的效用函數(shù)為：

當(dāng)x＜QLA時(shí)，基于期望的損失厭惡報(bào)童的效用函數(shù)為：

當(dāng)x≥QLA時(shí)，基于期望的損失厭惡報(bào)童i的效用函數(shù)為：

綜合上述兩種情況，基于期望的損失厭惡報(bào)童的期望效用函數(shù)為：

易證，E［U（π（QLA，x））］是關(guān)于QLA的嚴(yán)格凹函數(shù)，最大值為，且滿足

2 多個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童的博弈模型

上一節(jié)分析單個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童的情形，本節(jié)研究多個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童的博弈問(wèn)題，假設(shè)市場(chǎng)上存在n＞1個(gè)同質(zhì)且相互競(jìng)爭(zhēng)的基于期望的損失厭惡報(bào)童。報(bào)童i面對(duì)的需求Xi是一個(gè)隨機(jī)變量，在連續(xù)區(qū)間I∈［0，＋∞）上服從概率密度為g（xi）的分布，其分布函數(shù)是G（xi），假定G（xi）是可微、可逆的，并且在區(qū)間I上嚴(yán)格遞增。若Qi是報(bào)童i的訂貨量，則Q－i是其余 （n－1）個(gè)報(bào)童總訂貨量。

根據(jù)1.2可知，基于期望的損失厭惡報(bào)童i的期望效用函數(shù)為

假設(shè)市場(chǎng)需求X根據(jù)各報(bào)童的訂貨量按比例進(jìn)行劃分，則報(bào)童i的需求Xi為：

將式 （3）和式 （4）代入式 （2），整理可得：

其中，

定理1：對(duì)于任意Q－i≥0，基于期望的損失厭惡報(bào)童i的期望效用函數(shù)E［U（π（Qi，Q－i））］是Qi的凹函數(shù)，最優(yōu)訂貨量Q*i（Q－i）滿足如下條件：

證明：對(duì)式 （5）分別求關(guān)于Qi的一階偏微分和二階偏微分，得：

式 （8）表明E［U（π（Qi，Q－i））］是Qi的凹函數(shù)，所以存在一個(gè)最優(yōu)訂貨量Q*i（Q－i）使得期望效用最大，并且滿足式 （6）。

定理1刻畫(huà)了基于期望的損失厭惡報(bào)童i在面對(duì)其他 （n－1）個(gè)報(bào)童的總訂貨量Q－i時(shí)可做出的最優(yōu)反應(yīng)，也就是說(shuō)，如果給定其余 （n－1）個(gè)報(bào)童的總訂貨量Q－i，那么存在一個(gè)最優(yōu)訂貨量，使得報(bào)童i的期望效用最大。

定理2：多個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童博弈中，至少存在一個(gè)對(duì)稱純策略納什均衡。

證明：根據(jù)納什均衡存在定理［25］，在n人策略博弈中，純策略納什均衡存在的充分條件是：（?。┟總€(gè)參與人的純策略空間Si是歐氏空間上一個(gè)非空的、閉的、有界的凸集；（ⅱ）每個(gè)參與人的支付函數(shù)Ui（si）是連續(xù)的；（ⅲ）支付函數(shù)Ui（si）對(duì)si是擬凹的。

在策略博弈過(guò)程中，報(bào)童們同時(shí)決定他們各自的策略，即訂貨量，Qi∈σ＝［0，S］，其中σ是報(bào)童的策略空間，S充分大以保證不會(huì)限制報(bào)童們的選擇。（1）我們通過(guò)選擇一個(gè)足夠大、有界、閉的凸集［0，S］×［0，S］×…×［0，S］來(lái)實(shí)現(xiàn)條件（?。?；（2）因?yàn)槲覀兗俣╪個(gè)報(bào)童的總需求X的分布函數(shù)F（x）是連續(xù)的，那么基于期望的損失厭惡報(bào)童i的期望效用函數(shù)E［U（π（Qi，xi））］是連續(xù)的，所以滿足條件 （ⅱ）；（3）根據(jù)定理1可知，E［U（π（Qi，xi））］是Qi的凹函數(shù)，所以滿足條件（ⅲ）。因此，基于期望的損失厭惡報(bào)童博弈中，至少存在一個(gè)純策略納什均衡，又所有報(bào)童都是同質(zhì)的，所以這個(gè)純策略納什均衡是對(duì)稱的。

定理3：多個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童博弈中，對(duì)于n個(gè)報(bào)童而言，他們的訂貨量存在唯一的納什均衡特別地，對(duì)于任意i∈［1，2，…，n］，報(bào)童i的唯一均衡訂貨量滿足其中，n個(gè)報(bào)童唯一的均衡總訂貨量Q*應(yīng)使得下式成立：

證明：由于對(duì)任一報(bào)童i，其最優(yōu)訂貨量（Q－i）都有式 （6）成立，且n個(gè)零售商之間是同時(shí)決定各自訂貨量的納什博弈。根據(jù)對(duì)稱性，如果存在納什均衡解，則必然有成立。顯然

很明顯，T（Q，n）對(duì)Q的一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，即：

可知，T（Q，n）是Q的嚴(yán)格減函數(shù)。又因?yàn)椋?/p>

存在唯一的均衡總訂貨量Q*＞0使得T（Q，n）＝0，即滿足式 （9）。所以，在n個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童博弈中，n個(gè)報(bào)童的訂貨量存在唯一的納什均衡

推論1：多個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童的均衡總訂貨量Q*隨著報(bào)童數(shù)量n的增加而增加。

證明：對(duì)于任意n2＞n1＞1，令分別代表n1和n2個(gè)報(bào)童的均衡總訂貨量。由定理3可知，根據(jù)式 （10），易得那么T又因?yàn)門（Q，n）是Q的嚴(yán)格減函數(shù)，可得，當(dāng)n2＞n1＞1時(shí)，也就是說(shuō)，均衡總訂貨量Q*隨著報(bào)童數(shù)量n的增加而增加。

推論1表明，供應(yīng)鏈中報(bào)童的數(shù)量越多，整個(gè)供應(yīng)鏈的庫(kù)存水平就越高，這與Cachon（2003）的風(fēng)險(xiǎn)中性報(bào)童博弈模型的結(jié)論一致。由于需求偷竊效應(yīng)的影響，即某一報(bào)童訂得越多，其他報(bào)童面臨的隨機(jī)需求將越少，所以報(bào)童的數(shù)量越多，報(bào)童之間的競(jìng)爭(zhēng)程度將越激烈，從而增加了總訂購(gòu)量，提高了整個(gè)供應(yīng)鏈的庫(kù)存水平。

推論2：多個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童的均衡總訂貨量Q*（基于期望的損失厭惡報(bào)童i的均衡訂貨量隨著損失厭惡系數(shù)λ的增大而減少。

證明：根據(jù)式 （9），由隱函數(shù)求導(dǎo)可知，

所以，dQ*／dλ＜0，即均衡總訂貨量Q*隨著損失厭惡系數(shù)λ的增大而減少。又所以基于期望的損失厭惡報(bào)童i的均衡訂貨量也隨著損失厭惡系數(shù)λ的增大而減少。

推論2表明，損失厭惡效應(yīng)會(huì)減少報(bào)童們的總訂貨量，也就是說(shuō)，策略博弈中報(bào)童們的損失厭惡程度越強(qiáng)，均衡總訂貨量將越少。

推論3：多個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童的均衡總訂貨量Q*隨著期望水平k的增大而減少。

證明：同理，根據(jù)式 （9），由隱函數(shù)求導(dǎo)可知，

因?yàn)閜＞w＞s≥0，Q*＞0，λ＞0以及T（Q*，n）／Q*＜0，所以，dQ*／dk＜0，即均衡總訂貨量Q*隨著期望水平k的增大而減少。

推論3表明，期初報(bào)童的期望參考利潤(rùn)水平設(shè)定的越高，均衡總訂購(gòu)量將越少，也就是說(shuō)，期初報(bào)童越期望獲得高利潤(rùn)，越可能面臨心理落差，從而增益損失效用越小，導(dǎo)致均衡總訂貨量越少。

3 算例分析

下面通過(guò)一個(gè)數(shù)值算例進(jìn)一步分析報(bào)童的相關(guān)參數(shù)對(duì)均衡總訂貨量的影響，并對(duì)上述模型推導(dǎo)得出的各種主要最優(yōu)訂貨量進(jìn)行分析。

假定模型參數(shù)為零售價(jià)格p＝12，批發(fā)價(jià)格w＝6，回收價(jià)格s＝2，報(bào)童數(shù)量n取1～10之間的整數(shù)，損失厭惡系數(shù)λ介于0～5之間，期望水平k介于0～1之間。為了方便分析問(wèn)題，假設(shè)市場(chǎng)總需求X服從均勻分布X～U［0，100］，其密度函數(shù)為

基于給出的參數(shù)賦值，首先分析報(bào)童的相關(guān)參數(shù)對(duì)均衡總訂貨量的影響，計(jì)算結(jié)果如表1～表3所示。

表1 報(bào)童數(shù)量和均衡總訂貨量

從表1可以看出，報(bào)童數(shù)量的增加會(huì)使均衡總訂貨量不斷增加，因?yàn)閳?bào)童數(shù)量的增加會(huì)加劇報(bào)童之間的競(jìng)爭(zhēng)，需求偷竊效應(yīng)會(huì)增強(qiáng)，報(bào)童們會(huì)紛紛增加其訂貨量以搶占市場(chǎng)需求，進(jìn)而使得均衡總訂貨量增加。當(dāng)報(bào)童數(shù)量在5個(gè)以下時(shí)，均衡總訂貨量增加很快，但當(dāng)報(bào)童數(shù)量繼續(xù)增加時(shí)，均衡總訂貨量增加速度明顯變慢，并逐漸趨于平穩(wěn)。損失厭惡系數(shù)和期望水平的增大會(huì)抵消報(bào)童數(shù)量對(duì)均衡總訂貨量的影響，比如λ＝1，k＝0.8和λ＝2，k＝0.8，λ＝1，k＝0.5和λ＝1，k＝0.8（如圖1所示）。

圖1 報(bào)童數(shù)量影響均衡總訂貨量示意圖

從表2可以看出，均衡總訂貨量隨損失厭惡系數(shù)的增大而減少，因?yàn)楫?dāng)不考慮缺貨損失、只考慮產(chǎn)品剩余損失時(shí)，基于期望的損失厭惡報(bào)童為了減少損失會(huì)減少其訂貨量，使得均衡總訂貨量減少。當(dāng)損失厭惡系數(shù)小于1時(shí)，均衡總訂貨量迅速減少，當(dāng)損失厭惡系數(shù)不斷增大時(shí)，均衡總訂貨量雖然仍持續(xù)減少，但減少的速度放緩。報(bào)童數(shù)量的增加、期望水平的增大會(huì)加重?fù)p失厭惡系數(shù)對(duì)均衡總訂貨量的影響，比如n＝2，k＝0.8和n＝5，k＝0.8，n＝2，k＝0.5和n＝2，k＝0.8（如圖2所示）。

表2 報(bào)童損失厭惡系數(shù)和均衡總訂貨量

圖2 損失厭惡系數(shù)影響均衡總訂貨量示意圖

從表3可以看出，基于期望的損失厭惡報(bào)童期初對(duì)可獲得的利潤(rùn)期望越大，均衡總訂貨量將越少，因?yàn)槠诔鯃?bào)童的期望參考利潤(rùn)水平設(shè)置得越高，相較實(shí)際獲得的利潤(rùn)，報(bào)童越容易感到利潤(rùn)損失，而此時(shí)報(bào)童訂得越多，利潤(rùn)損失得越多，進(jìn)而報(bào)童對(duì)損失的厭惡促使報(bào)童少訂貨，使得均衡總訂貨量減少。報(bào)童數(shù)量的增加會(huì)抵消甚至超過(guò)報(bào)童期望水平對(duì)均衡總訂貨量的影響，比如λ＝1，n＝2和λ＝1，n＝5，報(bào)童損失厭惡系數(shù)的增大會(huì)加重報(bào)童期望水平對(duì)均衡總訂貨量的影響，比如λ＝1，n＝2和λ＝2，n＝2。從圖3可以看出，期望水平對(duì)均衡總訂貨量的影響呈現(xiàn)出一種近乎線性的平穩(wěn)狀態(tài)，這與前文期望水平的設(shè)定有關(guān)。

表3 報(bào)童期望水平和均衡總訂貨量

圖3 期望水平影響均衡總訂貨量示意圖

根據(jù)上述分析，下面通過(guò)數(shù)值計(jì)算對(duì)前文風(fēng)險(xiǎn)中性報(bào)童最優(yōu)訂貨量、單個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童最優(yōu)訂貨量以及均衡總訂貨量分別進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4 最優(yōu)訂貨量

當(dāng)多個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童在市場(chǎng)上互相競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，報(bào)童間的需求偷竊效應(yīng)使均衡總訂貨量Q*普遍大于而且報(bào)童數(shù)量越多，兩者之間的差值一般越大。報(bào)童損失厭惡系數(shù)越大、期望水平越大，均衡總訂貨量Q*與之間的差值將越小。均衡總訂貨量Q*一般小于Q*SRN，但當(dāng)報(bào)童損失厭惡系數(shù)和期望水平較低而報(bào)童數(shù)量較多時(shí)，均衡總訂貨量有可能大于風(fēng)險(xiǎn)中性報(bào)童最優(yōu)訂貨量。

4 結(jié) 論

傳統(tǒng)報(bào)童模型通常假定報(bào)童是風(fēng)險(xiǎn)中性的，但在現(xiàn)實(shí)生活中，規(guī)模較小的供應(yīng)鏈參與主體往往規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)或損失。假設(shè)報(bào)童是損失厭惡的并且追求效用最大化，運(yùn)用前景理論得到基于期望的損失厭惡報(bào)童的效用函數(shù)，并將單個(gè)報(bào)童擴(kuò)展到n個(gè)報(bào)童，構(gòu)建了多個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童博弈模型。文章得出多個(gè)競(jìng)爭(zhēng)性報(bào)童存在唯一的納什均衡總訂貨量Q*，推出Q*隨報(bào)童數(shù)量的增加 （即競(jìng)爭(zhēng)程度的增大）而增加、隨報(bào)童損失厭惡程度的增大而減少以及隨報(bào)童期望水平的增大而減少。通過(guò)算例驗(yàn)證了上述結(jié)論并發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)蝹€(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童最優(yōu)訂貨量普遍小于風(fēng)險(xiǎn)中性報(bào)童最優(yōu)訂貨量，而且報(bào)童損失厭惡系數(shù)越大、報(bào)童期望水平越大，兩者的差值越大；均衡總訂貨量普遍大于單個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童最優(yōu)訂貨量，而且報(bào)童數(shù)量越多，兩者的差值一般越大，報(bào)童損失厭惡系數(shù)越大、期望水平越大，兩者的差值將越??；均衡總訂貨量一般小于風(fēng)險(xiǎn)中性報(bào)童最優(yōu)訂貨量，但當(dāng)報(bào)童損失厭惡系數(shù)和期望水平較低而報(bào)童數(shù)量較多時(shí)，均衡總訂貨量有可能大于風(fēng)險(xiǎn)中性報(bào)童最優(yōu)訂貨量。

本文只考慮了供大于求時(shí)產(chǎn)品剩余所產(chǎn)生的損失風(fēng)險(xiǎn)，沒(méi)有考慮缺貨損失對(duì)于基于期望的損失厭惡報(bào)童訂貨決策產(chǎn)生的影響，而缺貨損失為產(chǎn)品數(shù)量的線性、非線性函數(shù)情形下對(duì)于報(bào)童決策的影響以及缺貨損失對(duì)于供應(yīng)鏈中多個(gè)基于期望的損失厭惡報(bào)童博弈結(jié)果等方面的影響，有待進(jìn)一步研究。

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Expectation－based Loss－averse Newsvendor Game Based on Prospect Theory

Li Xinjun1，2Kang Jianqun1
（1.Yantai University，Yantai264005，China；2.Dalian University of Technology，Dalian 116024，China）

Based on prospect theory，this paper considers the influence of loss－averse newsbvendor's expectation level on the degree of loss aversion，extends the loss－averse newsvendor model to a game setting where multiple expectation－based loss－averse newsvendors are competing for inventory from a risk－neutral supplier and researches the influence of newsvendor's related parameterson the equilibrium total quantity.Introducing expectation reference profits under stochastic demand，this paper firstly uses prospect theory to establish the utility function of a single expectation－based loss－averse newsvendor，secondly deduces the gamemodel ofmultiple expectation－based loss－averse newsvendors，then proves the existence and uniqueness of pure strategy Nash equilibriumh in the gamemodel，deduces the expression of the equilibrium total quantity and analyzes the relationship between the equilibrium total quantity and newsvendor number，loss－averse coefficient，expectation level，finally demonstrates the correctnessof the relationship through numericalexample and compares the risk－neutral newsvendor's optimal order quantity，the optimal order quantity of a single expectation－based loss－averse newsvendor with the equilibrium total quantity.We find that the equilibrium totalquantity increaseswith the newsvendor number，and decreaseswith the loss－averse coefficient，and decreaseswith the expectation level.Moreover，the optimalorder quantity ofa single expectation－based loss－averse newsvendor is smaller than risk－neutral newsvendor's optimal order quantity and the equilibrium total quantity.

operationmanagement；newsvendormodel；prospect theory；loss averse；game theory

10.3969／j.issn.1004－910X.2016.01.005

F253；F273

A

（責(zé)任編輯：王 平）

2015—10—18

國(guó)家社科基金項(xiàng)目 “基于供應(yīng)商產(chǎn)能的供應(yīng)應(yīng)急策略與設(shè)計(jì)研究”（項(xiàng)目編號(hào)：12CGL042），國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目“以DC為中樞的農(nóng)產(chǎn)品冷鏈庫(kù)存策略與多溫共配優(yōu)化研究”（項(xiàng)目編號(hào)：71372122），國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目 “考慮有限理性的供應(yīng)鏈中斷風(fēng)險(xiǎn)管理模型研究”（項(xiàng)目編號(hào)：71272122）。

李新軍，煙臺(tái)大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院副教授，大連理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部博士后。研究方向：物流與供應(yīng)鏈管理，應(yīng)急管理，運(yùn)作管理?？到ㄈ海瑹熍_(tái)大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院碩士研究生。研究方向：應(yīng)急管理。