楊蒼洲●

福建省泉州第五中學(xué)(362000)

兩個(gè)解析幾何新題的命題立意及教學(xué)導(dǎo)向分析

楊蒼洲●

福建省泉州第五中學(xué)(362000)

一、試題再現(xiàn)

(Ⅰ)拖動(dòng)點(diǎn)S，發(fā)現(xiàn)當(dāng)xS=4時(shí)，yS=4，試求拋物線E的方程；

(Ⅱ)設(shè)拋物線E的頂點(diǎn)為A，焦點(diǎn)為F，構(gòu)造直線SF交拋物線E于不同兩點(diǎn)S、T，構(gòu)造直線AS、AT分別交準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，構(gòu)造直線MT、NS．經(jīng)觀察得：沿著拋物線E，無論怎樣拖動(dòng)點(diǎn)S，恒有MT∥NS.請(qǐng)你證明這一結(jié)論．

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)給出命題：“已知P是橢圓E上異于A1,A2的一點(diǎn)，直線A1P，A2P分別交直線l：x=t(t為常數(shù))于不同兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)Q在直線l上. 若直線PQ與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，則Q為線段MN的中點(diǎn)”，寫出此命題的逆命題，判斷你所寫出的命題的真假，并加以證明;

(Ⅲ)試研究(Ⅱ)的結(jié)論，根據(jù)你的研究心得，在圖2中作出與該雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)S的直線m，并寫出作圖步驟.

(注意：所作的直線不能與雙曲線的漸近線平行.)

二、命題立意

1.題1(2013年福建省質(zhì)檢文科22)的命題立意

題1(2013年福建省質(zhì)檢文科22)主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等．滿分14分．

第(Ⅰ)步以《幾何畫板》探究拋物線性質(zhì)為載體，考查拋物線的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想.學(xué)生只要能掌握拋物線的方程，便能根據(jù)題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系應(yīng)用待定系數(shù)法求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.考生可能存在的錯(cuò)誤有：由于計(jì)算的錯(cuò)誤導(dǎo)致拋物線的方程解錯(cuò)等.

第(Ⅱ)步以應(yīng)用《幾何畫板》探究拋物線性質(zhì)——過拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)為載體，考查直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.學(xué)生只要掌握直線與拋物線位置關(guān)系的一般解題方法，如“設(shè)而不解”，并借助向量等工具進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化化歸，便能根據(jù)題設(shè)中的關(guān)系去證明待證的結(jié)論.考生可能存在的錯(cuò)誤有：由于計(jì)算能力較差導(dǎo)致解題失敗，部分學(xué)生在陌生的情景下對(duì)問題產(chǎn)生恐懼感，導(dǎo)致解題信心不足，也有部分學(xué)生由于數(shù)學(xué)閱讀能力較差，出現(xiàn)題意理解困難，導(dǎo)致解題受挫.

第(Ⅲ)步以《幾何畫板》探究推廣拋物線性質(zhì)——過x軸上定點(diǎn)的拋物線弦的性質(zhì)為載體，考查學(xué)生的合情推理能力，考查抽象概括能力、推理論證能力、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)；考查特殊與一般思想、必然與或然思想.學(xué)生只要掌握合情推理的一般方法進(jìn)行大膽的猜測(cè)推廣，便能寫出相應(yīng)的推廣命題.考生可能存在的錯(cuò)誤有：由于缺少必要的知識(shí)儲(chǔ)備，或經(jīng)驗(yàn)不足，或缺少數(shù)學(xué)直覺思維，導(dǎo)致解題方向缺失，無法正確尋找解題的突破口.

2.題2(2013年福建省質(zhì)檢理科19)的命題立意

題2(2013年福建省質(zhì)檢理科19)主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想等.

第(Ⅰ)步主要以橢圓為載體，考查橢圓的定義、橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想.學(xué)生只要掌握橢圓的定義、橢圓的方程，便能根據(jù)題設(shè)中數(shù)量關(guān)系采用待定系數(shù)法求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，或者應(yīng)用“定義法求軌跡”求出橢圓的方程.考生可能存在的錯(cuò)誤有：沒掌握定義法求軌跡，或橢圓的基本量a,b,c間的關(guān)系記錯(cuò)，或由于計(jì)算的錯(cuò)誤等導(dǎo)致把橢圓的方程解錯(cuò).

第(Ⅱ)步以探究橢圓的一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)為載體，考查直線與橢圓的位置關(guān)系、四種命題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、特殊與一般思想.學(xué)生只要掌握四種命題的改寫、直線與橢圓位置關(guān)系的一般解題方法，直譯條件即可順利解題.解題程序?yàn)椋杭僭O(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)→寫出直線lA1P，lA2P的方程→寫出M,N兩點(diǎn)坐標(biāo)→再寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)→得到lPQ的方程→聯(lián)立lPQ與橢圓的方程→證明Δ=0.處理好此解題程序中的每一步，即可實(shí)現(xiàn)命題的證明.考生可能存在的錯(cuò)誤有：主要由于計(jì)算能力較差，或者解題信心、解題經(jīng)驗(yàn)不足等導(dǎo)致解題失敗.

第(Ⅲ)步以“類比探究、作圖”為載體，考查學(xué)生的合情推理、作圖等數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，考查抽象概括能力、推理論證能力、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想.學(xué)生只要掌握合情推理的一般方法進(jìn)行合理的類比，即可把“性質(zhì)”從橢圓類比遷移到雙曲線，得到相應(yīng)的正確命題，并應(yīng)用于作圖.考生可能存在的錯(cuò)誤有：由于知識(shí)儲(chǔ)備不足，或經(jīng)驗(yàn)不足，或缺少數(shù)學(xué)直覺思維，無法進(jìn)行正確的類比遷移，也有部分在模式化試題下得心應(yīng)手的學(xué)生，在較為新穎的試題的面前顯得手足無措.

從上述兩個(gè)試題的命題立意，我們可以看出，兩個(gè)試題的命制均嚴(yán)格遵循《考試大綱》、《考試說明》的命題要求，并基于本省的教學(xué)實(shí)際.試題充分體現(xiàn)了 “關(guān)注交匯，注重探究，規(guī)避模式，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，體現(xiàn)理念”的命題指導(dǎo)思想.同時(shí)，引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)樹立“立足基礎(chǔ)，關(guān)注過程，突出探究，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，追求‘開放’與‘多樣’”的教學(xué)指導(dǎo)思想.

三、教學(xué)導(dǎo)向

上述兩個(gè)試題很好地闡釋了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的基本理念.試題導(dǎo)向高中數(shù)學(xué)教學(xué)必須遵循新課程的基本理念：強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化；倡導(dǎo)積極主動(dòng)、用于探索的學(xué)習(xí)方式；注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值；注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合.

1.強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化

如題1(2013年福建省質(zhì)檢文科22)中，試題雖然以新情境“應(yīng)用《幾何畫板》探究拋物線性質(zhì)”的形式呈現(xiàn)，其本質(zhì)依然是研究求拋物線的軌跡方程，直線與拋物線位置關(guān)系等問題.因此在下一階段的復(fù)習(xí)中，我們要深化對(duì)圓錐曲線方程的理解，進(jìn)一步熟練掌握待定系數(shù)法、定義法等求軌跡的常規(guī)方法，進(jìn)一步掌握直線與拋物線位置關(guān)系的一般解題方法，要注意總結(jié)試題的規(guī)律，如：直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的相交弦問題在高考中經(jīng)常被設(shè)計(jì)成考題，在解決此類問題時(shí)，我們常聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，進(jìn)行“設(shè)而不解”來解題.

2.倡導(dǎo)積極主動(dòng)、用于探索的學(xué)習(xí)方式

如題1(2013年福建省質(zhì)檢文科22)“幾何畫板”的問題情境，第(Ⅱ)問的通過觀察發(fā)現(xiàn)，并嘗試證明；第(Ⅲ)問為進(jìn)一步研究拋物線性質(zhì)而進(jìn)行推廣嘗試；題2(2013年福建省質(zhì)檢理科19)第(Ⅱ)問探究命題是否可逆；第(Ⅲ)問通過類比推理推廣命題并實(shí)際操作等.這些新穎的探究情境、設(shè)問方式，都在倡導(dǎo)著積極主動(dòng)、用于探索的學(xué)習(xí)方式.

3.注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

題1 (2013年福建省質(zhì)檢文科22)第(Ⅲ)步要求學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、推理、驗(yàn)證等思辨過程；題2(2013年福建省質(zhì)檢理科19)第(Ⅲ)步要求學(xué)生經(jīng)歷逆向思維、類比推理、操作確認(rèn)的心路歷程.上述兩個(gè)試題都導(dǎo)向高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.數(shù)學(xué)是思維的體操，高考命題也強(qiáng)調(diào)以“能力立意”，因此在平時(shí)的教學(xué)時(shí)，應(yīng)教給學(xué)生分析問題、解決問題的策略與方法.

4.發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)

數(shù)學(xué)是一理論性較強(qiáng)的基礎(chǔ)學(xué)科.我們說，理論來源于實(shí)踐，反之，理論也將指導(dǎo)實(shí)踐.但是，在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中，我們卻常常過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的理論性，而忽視了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性.題1(2013年福建省質(zhì)檢文科22)通過幾何畫板探究得拋物線的性質(zhì)，揭示了理論來源于實(shí)踐；題2(2013年福建省質(zhì)檢理科19)通過探究拋物線切線的作法并應(yīng)用于作圖，實(shí)現(xiàn)了用理論指導(dǎo)實(shí)踐.兩個(gè)試題完美闡釋了數(shù)學(xué)知識(shí)間“理論與實(shí)踐”的辯證關(guān)系.

5.體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值

6.注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合

題1 (2013年福建省質(zhì)檢文科22)以“幾何畫板探究拋物線性質(zhì)”為載體進(jìn)行試題的命制.題目讓人眼前一亮，不得不說這是首開先河的一種試題背景，但是，究其題源，卻可以說題根在課本.因?yàn)檎n本的閱讀材料、探究發(fā)現(xiàn)等欄目，多次地為我們呈現(xiàn)了幾何畫板這一作圖工具，并作了利用幾何畫板探究圓錐曲線性質(zhì)的示例.通過幾何畫板等作圖工具，必將有利于數(shù)學(xué)探究活動(dòng)走向深入，有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì).因此，通過本題，將導(dǎo)向高中數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)一步地加強(qiáng)數(shù)學(xué)與信息技術(shù)的結(jié)合.

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