張 亮 ，李 明，李樹多

(渤海大學(xué) 工學(xué)院，遼寧 錦州 121013； 鞍山師范學(xué)院 教育科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 遼寧 鞍山 114005)

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線性離散系統(tǒng)非脆弱H∞狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)

張 亮*，1，李 明1，李樹多2

(渤海大學(xué) 工學(xué)院，遼寧 錦州 121013； 鞍山師范學(xué)院 教育科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 遼寧 鞍山 114005)

研究了線性離散時(shí)間系統(tǒng)非脆弱H∞狀態(tài)反饋控制問(wèn)題. 我們的主要目的是針對(duì)線性離散時(shí)間系統(tǒng)設(shè)計(jì)非脆弱H∞狀態(tài)反饋控制器使得閉環(huán)控制系統(tǒng)在控制器存在參數(shù)變化或存在不確定性時(shí)仍然能保證系統(tǒng)漸漸穩(wěn)定并滿足給定的H∞性能指標(biāo). 具體是通過(guò)利用Lyapunov函數(shù)法并且考慮一個(gè)新的控制律, 給出了基于LMI非脆弱狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件.

線性離散系統(tǒng)；非脆弱；狀態(tài)反饋H∞控制器；線性矩陣不等式

0 引言

H∞控制因在處理非結(jié)構(gòu)式不確定系統(tǒng)方面的優(yōu)勢(shì)，在過(guò)去的二十多年間受到了廣泛的關(guān)注，并成功的應(yīng)用于機(jī)器人、航空航天、電力系統(tǒng)等多個(gè)領(lǐng)域〔1-3〕. 另一方面，文獻(xiàn)〔4〕指出如果閉環(huán)系統(tǒng)的某些特性，特別是穩(wěn)定性，對(duì)控制器參數(shù)的變化或不確定性非常敏感，則這樣的控制器可被稱之為脆弱的(fragile)/無(wú)彈性的(non-resilient)〔5〕通過(guò)例子表明傳統(tǒng)的最優(yōu)和魯棒控制器設(shè)計(jì)方法，所設(shè)計(jì)出來(lái)的控制器都可能具有脆弱性，即控制器的參數(shù)發(fā)生微小的偏移，將導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性被破壞和/或性能下降，對(duì)于非脆弱控制的研究近年來(lái)引起廣大學(xué)者的廣泛關(guān)注，參見(jiàn)文獻(xiàn)〔6-7〕. 同時(shí)考慮系統(tǒng)不H∞指標(biāo)和非脆弱控制研究參見(jiàn)文獻(xiàn)〔8-12〕.

本文在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，提出一種新的非脆弱H∞狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法，通過(guò)一個(gè)新的控制律及參數(shù)依賴Lyapunov得到一個(gè)新的控制器的LMIs設(shè)計(jì)條件，是其不僅具有非脆弱性而且同時(shí)滿足H∞性能指標(biāo)，通過(guò)Matlab中LMI工具箱可以很方便的求得.

1 問(wèn)題描述

考慮如下?tīng)顟B(tài)空間描述的線性離散系統(tǒng)方程：

(1)

其中，x(k)∈Rn，u(k)∈Rm，z(k)∈Rv，w(k)∈Rv分別為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，系統(tǒng)輸出變量，受控輸出變量和擾動(dòng)變量；A∈Rn×n，B∈Rn×m，E∈Rn×v，C∈Rq×n，D∈Rq×m，F(xiàn)∈Rq×v，為適當(dāng)維數(shù)的系數(shù)矩陣.

考慮如下帶有加性增益的非脆弱狀態(tài)反饋控制律：

u(k)=(K+ΔK)G-1x(k)

(2)

其中，ΔK=MkFkNkFkTFk≤I.

由此可得閉環(huán)系統(tǒng)如下：

(3)

同時(shí)我們注意到

(4)

本文的目的是設(shè)計(jì)控制器(2)，使得下述兩個(gè)條件成立：

(1)當(dāng)w(k)=0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)(3)是漸進(jìn)穩(wěn)定的；

下面引理將會(huì)在后面的推導(dǎo)中用到

引理1:〔10〕對(duì)于給定矩陣ΓΛ，和對(duì)稱矩陣Φ，對(duì)于FTF

Φ+ΓFΛ+ΛTFTΓT<0

成立，只要存在一個(gè)恒定的標(biāo)量ε>0滿足：

Φ+ε-1ΓΓ+εΛTΛ<0

2 結(jié)果與討論

定理1：考慮閉環(huán)系統(tǒng)(3)，對(duì)于給定標(biāo)量λ和γ>0，如果存在矩陣P>0，G，K，Mk和Nk使得下面矩陣不等式成立：

(5)

那么閉環(huán)系統(tǒng)(3)漸進(jìn)穩(wěn)定且H∞控制性能指標(biāo)γ>0能夠保證，同時(shí)控制器具有非脆弱性.

證明：定義如下Lyapunov函數(shù)

V(x(k))=xT(k)G-TPG-1x(k)

(6)

從(3)，(4)，(6)可得

ΔV(x(k))+zT(k)z(k)-γ2wT(k)w(k)=

xT(k+1)G-TPG-1x(k+1)-xT(k)G-TPG-1x(k)+[(C+D(K+ΔK)G-1)x(k)+

(7)

Fw(k)]T×[(C+D(K+ΔK)G-1x(k)+Fw(k)]-γ2wT(k)w(k)+He{[x(k+1)-

(A+B(K+ΔK)G-1x(k)-Ew(k)]×[xT(k)G-T+λxT(k+1)G-T]}=ζT(k)Ξζ(k)

其中ζ(k)=[xT(k) wT(k) xT(k+1)]，

(8)

Π33=He{λG-T}+G-TPG-1

當(dāng)，Ξ<0我們很容易證明w(k)=0時(shí)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，若要ΔV(x(k))+zT(k)z(k)-γ2wT(k)w(k)<0，那么只要Ξ<0，對(duì)上式應(yīng)用Schur補(bǔ)得Ξ<0等價(jià)于Ω<0

(9)

成立，其中

Ω33=He{λG-T}+G-TPG-1

左乘diag(GT,I,GT,I)右乘diag(G,I,G,I)，我們有上式等價(jià)于

(10)

上式可以寫成

(11)

通過(guò)引理1得上式等價(jià)于(12)：

(12)

對(duì)(12)應(yīng)用引理1并Schur補(bǔ)，再調(diào)用diag(I,I,I,I,I,εI)執(zhí)行同余變換我們可以得到(5).

3 結(jié)論

本文研究了線性離散時(shí)間系統(tǒng)的非脆弱H∞狀態(tài)反饋控制問(wèn)題，通過(guò)考慮新的控制律同時(shí)利用Lyapunov穩(wěn)定理論給出基于線性矩陣不等式(LMI)線性離散時(shí)間系統(tǒng)非脆弱H∞狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)的充分條件，使得在控制器參數(shù)發(fā)生變化或存在不確定時(shí)仍然能夠保證閉環(huán)控制系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定并具有給定的H∞性能指標(biāo).本文僅考慮了控制器具有加性增益的情況，未來(lái)我們將進(jìn)一步研究具有乘性增益的非脆弱H∞狀態(tài)反饋控制問(wèn)題.

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No fragile state feedbackH∞ controller design for linear discrete -time systems

ZHANG Liang1，LI Ming1, LI Shu-duo2

(College of engineering, Bohai University, Jinzhou 121013, China； School of Education science and Technology, Anshan Normal University , Anshan 114005, China)

This paper considers the problem of no fragile state feedbackH∞ control for liner discrete-time system. Attention is focused on the design of a no fragile state feedbackH∞ controller to mitigate the effect of controller parameters variation such that the close-loop control system is asymptotically stable with a prescribedH∞ performance. By using Lyapunov function approach and a new control law, a sufficient condition is presented in terms of linear matrix inequalities (LMIs) for such no fragileH∞ state feedback controller exists.

discrete-time system; no fragile;H∞ state feedback controller; LMIs

2016-04-08.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(No:61104071)；遼寧省高等學(xué)校杰出青年成長(zhǎng)計(jì)劃項(xiàng)目(No:LJQ2012095)；遼寧省裝備制造綜合自動(dòng)化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放項(xiàng)目(No:1120211415).

張亮(1987-)，男，助理實(shí)驗(yàn)師，主要從事自動(dòng)化系統(tǒng)控制理論方面的研究.

md18638@126.com.

TP

A

1673-0569(2016)04-0361-04