趙 藝 熊 明

Yablo悖論的循環(huán)性與不一致性問(wèn)題

趙 藝 熊 明

Yablo悖論是除說(shuō)謊者悖論外最具爭(zhēng)議的語(yǔ)義悖論。目前，Yablo悖論的研究歸結(jié)為兩個(gè)問(wèn)題：Yablo悖論是類似于說(shuō)謊者悖論那樣具有循環(huán)性的悖論嗎？Yablo悖論是嚴(yán)格意義上的悖論嗎？我們通過(guò)厘清第一個(gè)問(wèn)題的相關(guān)爭(zhēng)論，指出需要考慮悖論產(chǎn)生矛盾的循環(huán)性條件，進(jìn)而指出Yablo悖論與說(shuō)謊者悖論雖有不同的自指性，卻具有相同的循環(huán)性。對(duì)第二個(gè)問(wèn)題，我們從純語(yǔ)義的角度對(duì)Yablo悖論的兩種形式化進(jìn)行分析，闡明Yablo悖論的ω-不一致性所在，進(jìn)而指出在討論Yablo悖論產(chǎn)生矛盾的循環(huán)性條件時(shí)，應(yīng)予區(qū)分是在算術(shù)的標(biāo)準(zhǔn)模型下還是在非標(biāo)準(zhǔn)模型下。

Yablo悖論 循環(huán)性 自指性 不一致性

一、引言

是什么導(dǎo)致一些語(yǔ)句產(chǎn)生悖論？羅素認(rèn)為是自指性。然而，哥德爾和塔斯基并不認(rèn)為自指性是悖論產(chǎn)生的充分條件。這一點(diǎn)可以用如誠(chéng)實(shí)者語(yǔ)句“我所說(shuō)的這句話是真的”這樣的簡(jiǎn)單日常語(yǔ)句來(lái)證明。但是，很多學(xué)者都同意悖論產(chǎn)生的必要條件是語(yǔ)句的自指性。這使得人們理所當(dāng)然地認(rèn)為要構(gòu)造一個(gè)無(wú)矛盾的語(yǔ)言就是拋棄一切自指性的語(yǔ)句。然而，是否存在一個(gè)悖論它是非自指的呢？如果答案是肯定的，那么，上述想法就是徒然的了。Yablo悖論就是在這樣的思考中被提出來(lái)，并試圖讓那些簡(jiǎn)單認(rèn)為悖論一定是自指的人大吃一驚。當(dāng)然，任何一個(gè)挑戰(zhàn)傳統(tǒng)觀點(diǎn)的新思想都必然面臨最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臋z驗(yàn)和大量的爭(zhēng)論，而這些爭(zhēng)論不僅使得Yablo悖論更具有魅力，也使人們對(duì)悖論及相關(guān)問(wèn)題有了更深刻的理解。

二、Yablo悖論的循環(huán)性問(wèn)題

Yablo悖論是除說(shuō)謊者悖論外最受爭(zhēng)議的真理論悖論，而爭(zhēng)論的焦點(diǎn)在于Yablo悖論是否具有循環(huán)性。自Yablo于1993年正式指出Yablo悖論不具有循環(huán)性后，Priest（1997）是首位提出反對(duì)意見(jiàn)并給予證明的學(xué)者。[3]隨后，Sorensen（1998）對(duì)Priest的批判、[4]Beall（2001）對(duì)Sorensen的反駁[5]都使得Yablo悖論的循環(huán)性問(wèn)題更富爭(zhēng)議性。本節(jié)著重討論Yablo悖論的循環(huán)性問(wèn)題及其相關(guān)爭(zhēng)論。

Yablo悖論可表述為：

有一個(gè)無(wú)窮語(yǔ)句序列，Y0，Y1，Y2，……，

得到序列Y0，……Yn……，其中每個(gè)語(yǔ)句都指它的后續(xù)語(yǔ)句為假。假設(shè)Yn為真，根據(jù)Yn所說(shuō)，對(duì)于k＞n，Yk為假。因而，（1）Yn+1為假，（2）對(duì)于所有k＞n+1，Yk為假。由（2）得，Yn+1為真，與（1）Yn+1為假矛盾。于是，Yn中的每個(gè)語(yǔ)句當(dāng)作為后續(xù)語(yǔ)句時(shí)為假；然而，當(dāng)作為后續(xù)語(yǔ)句的首語(yǔ)句時(shí)又為真。這就是直觀意義下的Yablo悖論，其中的構(gòu)成語(yǔ)句稱Yablo序列。Yablo指出，Yn序列中的每個(gè)語(yǔ)句都不是自指的，但是它們卻蘊(yùn)含矛盾。與說(shuō)謊者悖論不同，循環(huán)性和自指性對(duì)于Yablo悖論來(lái)說(shuō)既不是充分的也不是必要的。

Yablo認(rèn)為Yablo悖論不具有自指性，也不是循環(huán)的，并且這些特征是不證自明的，因而并未給出證明。Priest（1997）應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)方法，指出Yablo悖論與說(shuō)謊者悖論一樣具有自指性和循環(huán)性。[6]在數(shù)學(xué)上，一個(gè)函數(shù)f的不動(dòng)點(diǎn)是滿足x = f(x) 條件的x。Priest指出，受人的思維有限性的限制，當(dāng)使用Yn這樣的量化語(yǔ)句序列來(lái)表述無(wú)窮語(yǔ)句序列時(shí)，該語(yǔ)句序列因以Yn的位置作為不動(dòng)點(diǎn)，而具有循環(huán)性。爭(zhēng)論的焦點(diǎn)是Yablo悖論是否與說(shuō)謊者悖論一樣具有循環(huán)性，又因爭(zhēng)論雙方并未嚴(yán)格區(qū)分自指性與循環(huán)性概念，使?fàn)幷摰慕裹c(diǎn)同時(shí)覆蓋了循環(huán)性與自指性兩個(gè)概念。如果Yablo是正確的，那么Yablo悖論的意義就更加凸顯出來(lái)了；如果Priest是正確的，那么Yablo悖論的提出只是豐富了悖論家族。因此，分析Priest關(guān)于Yablo悖論的不動(dòng)點(diǎn)的論證的正確性是非常重要的。

在進(jìn)一步分析之前，先做一些技術(shù)性說(shuō)明。本文將在皮亞諾形式算數(shù)PA中考慮悖論。PA是在經(jīng)典邏輯基礎(chǔ)上添加若干算術(shù)公理擴(kuò)充得到的理論。在PA中，每個(gè)自然數(shù)x都有一個(gè)形式對(duì)應(yīng)物“數(shù)字”（它的標(biāo)準(zhǔn)解釋就是x），并且對(duì)每個(gè)表達(dá)式E（比如項(xiàng)、公式），通過(guò)哥德爾編碼可以把它對(duì)應(yīng)到一個(gè)數(shù)字（稱為E的哥德爾數(shù)字），這里用 [E] 進(jìn)行表示。特別地，當(dāng)E(x) 表示只含有變?cè)獂的公式時(shí)，[E ()] 表示把y對(duì)應(yīng)的數(shù)字代入到E(x) 中得到的公式的哥德爾數(shù)字（比較：[E (y)] 表示把y代入E(x)中得到的公式的哥德爾數(shù)字）。下面還要用T表示真謂詞符號(hào)，而等值式T [A]A（其中A表示語(yǔ)句）稱為塔斯基T-模式。

Priest指出，說(shuō)謊者語(yǔ)句L（“這句話不是真的”）滿足LT [L] 在PA中可證（以下簡(jiǎn)稱“可證”），因此，它可視作公式T(x) 的不動(dòng)點(diǎn)。說(shuō)謊者語(yǔ)句的不動(dòng)點(diǎn)特性正好標(biāo)識(shí)出這句話中的“這句話”，這是說(shuō)謊者語(yǔ)句自指性所在。然后，Priest分析了Yablo悖論。說(shuō)謊者語(yǔ)句含有指示詞“這句話”，因而它的不動(dòng)點(diǎn)是明顯的，而Yablo悖論則需要更多的分析。

高中德育中不可或缺的一環(huán)就是陶冶教育法，使用陶冶教育法并重視其他德育方法方能是最好的教育策略。每個(gè)方法都有其不足，但同時(shí)也有其優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)揚(yáng)長(zhǎng)避短，堅(jiān)持并重視正確、合理地運(yùn)用陶冶教育法。我們應(yīng)堅(jiān)信陶冶教育法能夠培養(yǎng)高中生正確的思想道德品質(zhì)，大力營(yíng)造和諧融洽的校園陶冶氛圍。由此，學(xué)生的道德素養(yǎng)品質(zhì)都會(huì)在陶冶與互相促進(jìn)中不斷提高，高中德育的效果也逐漸凸顯。

首先，在Yablo悖論的語(yǔ)句序列中，對(duì)于所有自然數(shù)n，Yn可以表示為k＞n，T [Sk] ，每個(gè)語(yǔ)句指稱的是該語(yǔ)句的后續(xù)語(yǔ)句。由T [Sn] 得：

這里看似具有T-模式結(jié)構(gòu)，其實(shí)不然。問(wèn)題在于，這個(gè)遞歸論證中的n是一個(gè)自由變?cè)?，T-模式只能應(yīng)用于具體的語(yǔ)句，不能用于含有自由變?cè)墓?。例如，說(shuō)T“x是白的”當(dāng)且僅當(dāng)x是白的，這是毫無(wú)意義的。Yablo語(yǔ)句序列與其說(shuō)含有T-模式不如說(shuō)含有一個(gè)可滿足謂詞，這個(gè)需要進(jìn)一步說(shuō)明。

令S(x, y) 表示這樣一個(gè)二元謂詞，使得如果y是公式E(x) 的哥德爾編碼，那么y ＞ x (y不滿足 E(x) )。根據(jù)對(duì)角線引理，S (x, y) 有不動(dòng)點(diǎn)Y(x)。亦即：

在Yablo悖論中，不動(dòng)點(diǎn)出現(xiàn)在（*）式中，即Y(x)。但這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)不同于說(shuō)謊者悖論中出現(xiàn)的不動(dòng)點(diǎn)，它不是一個(gè)語(yǔ)句，而是含自由變?cè)獂的公式，即x作為變目的謂詞，這個(gè)謂詞的意思是：“沒(méi)有大于x的數(shù)滿足這個(gè)謂詞”。這與說(shuō)謊者悖論的不動(dòng)點(diǎn)一樣揭示了Yablo悖論的循環(huán)性特征。

以上是Priest關(guān)于Yablo悖論具有循環(huán)性的證明。這個(gè)證明凸顯了一個(gè)問(wèn)題：如何建立Yablo語(yǔ)句序列相對(duì)應(yīng)的指稱關(guān)系？一般認(rèn)為，要建立對(duì)象與指稱之間的關(guān)系，有兩種途徑：直接命名和間接描述。顯然，直接命名在這個(gè)問(wèn)題上不適用。而Priest的工作表明任何對(duì)Yablo序列的描述都導(dǎo)致循環(huán)。這個(gè)問(wèn)題吸引了更多學(xué)者加入討論。Sorensen（1998）支持Yablo的觀點(diǎn)，[7]引入上帝這樣的無(wú)限主體：若上帝在第1分鐘寫下第一個(gè)語(yǔ)句；在隨后的30秒后寫下第二個(gè)語(yǔ)句；再在隨后的15秒寫下第三個(gè)語(yǔ)句……如此類推，越寫越快，則上帝能在2分鐘內(nèi)枚舉Yablo序列中的所有語(yǔ)句。因此，Sorensen認(rèn)為無(wú)限主體無(wú)需借助循環(huán)的描述方式就能確定Yablo序列的矛盾性。Beall（2001）反駁道，也許上帝能枚舉一個(gè)無(wú)窮序列，但是，問(wèn)題的關(guān)鍵在于當(dāng)我們采用描述的方式來(lái)指稱Yablo語(yǔ)句序列，并讓上帝來(lái)枚舉這個(gè)無(wú)窮序列時(shí)，Yablo語(yǔ)句序列肯定是循環(huán)的。[8]

三、Yablo悖論的不一致性問(wèn)題

Yablo悖論的自指與循環(huán)性的討論是關(guān)于Yablo語(yǔ)句序列的表達(dá)問(wèn)題，而另一個(gè)關(guān)于Yablo悖論的研究熱點(diǎn)問(wèn)題是：Yablo悖論是一個(gè)嚴(yán)格意義上的悖論嗎？從非形式的角度上看，Yablo語(yǔ)句序列確實(shí)具有矛盾性，這一點(diǎn)上文已作分析。但是，Ketland（2005）指出，在經(jīng)典邏輯框架下，用形式推演的方法不一定能從Yablo悖論推出矛盾。[9]

要注意，從語(yǔ)形上講，Yable序列Y(0)，Y(1)…… 滿足的條件有兩種理解：（1）公式可證；（2）公式對(duì)任意自然數(shù)x都可證。Ketland（2005）發(fā)現(xiàn)，是把Yablo語(yǔ)句序列中的語(yǔ)句“統(tǒng)一地”代入到T-模式中，還是把這些語(yǔ)句分別代入到T-模式中，出現(xiàn)了分歧。[10]這一點(diǎn)對(duì)Yablo語(yǔ)句序列是否導(dǎo)致矛盾至關(guān)重要。

按照條件（1）來(lái)理解Yablo序列，可把Yablo序列中的語(yǔ)句統(tǒng)一地代入到T-模式中，即Y(x))。在這個(gè)條件下，不難按照先前非形式推導(dǎo)，推出矛盾。即：不一致。

然而，按照條件（2），分別把Yablo語(yǔ)句代入到T-模式中，即(x是自然數(shù))。令人驚奇的是，這些語(yǔ)句并不會(huì)導(dǎo)致矛盾！事實(shí)上，可以找到模型使得PA及上述語(yǔ)句都得到滿足。為此，考慮PA 的非標(biāo)準(zhǔn)模型，其中含有非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)，非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)滿足自然數(shù)的全部公理，但它們比任何自然數(shù)都大。取定一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)r，類似自然數(shù)，它對(duì)應(yīng)的數(shù)字也表示為（因而，它的非標(biāo)準(zhǔn)解釋是r）。語(yǔ)句Y() 對(duì)應(yīng)的哥德爾數(shù)字設(shè)為b，再設(shè)T的外延為含b的單元集。在這種解釋下，顯然T[Y()] 對(duì)任意自然數(shù)x都為真。同時(shí)，b的出現(xiàn)確保了對(duì)任意自然數(shù)x也都為真，也就是說(shuō)，Y() 對(duì)任意自然數(shù)x都為真。這樣，對(duì)任意自然數(shù)x都為真。所以，可以斷定是自然數(shù) } 是一致的。

因此，Yablo語(yǔ)句序列是否出現(xiàn)矛盾不能一概而論。按照Ketland的說(shuō)法，Yablo序列有兩種不同的形式化。在第一種形式化下，Yablo悖論類似于說(shuō)謊者悖論；但在第二種形式化下，它并不是嚴(yán)格意義的悖論，充其量只是一個(gè)ω悖論。

四、討論

Yablo悖論究竟是循環(huán)的還是非循環(huán)的？Priest與Yablo的分歧只是表面上的。問(wèn)題在于兩人討論的出發(fā)點(diǎn)不同。對(duì)于Yablo而言，判斷一個(gè)悖論循環(huán)與否，只需要判斷這個(gè)悖論中的語(yǔ)句是否直接地或間接地提及自身（提及性自指）。就這個(gè)意義而言，Yablo悖論不具備提及性自指，這一點(diǎn)是顯然的，甚至不證自明的。而Priest所說(shuō)的循環(huán)性，則是指悖論的構(gòu)造中有沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)出現(xiàn)（不動(dòng)點(diǎn)自指），他的工作已經(jīng)證明Yablo悖論具有不動(dòng)點(diǎn)自指。結(jié)合兩人的工作，可以得到：Yablo悖論不具有提及性自指，但具有不動(dòng)點(diǎn)自指。這兩種自指性并不相同，在循環(huán)上的表現(xiàn)也不同。兩人的觀點(diǎn)實(shí)際上并不矛盾。

上述分析結(jié)果表明，不能如Yablo那樣不區(qū)分自指性與循環(huán)性概念，籠統(tǒng)地?cái)喽╕ablo悖論不具有（提及性）自指因而不是循環(huán)的，而必須事先說(shuō)明在何種意義上談?wù)撗h(huán)性。對(duì)于Priest的發(fā)現(xiàn)，可做進(jìn)一步的研究。模仿Yablo序列的構(gòu)造方式，對(duì)任何一個(gè)0、1無(wú)窮序列r，構(gòu)造一個(gè)語(yǔ)句序列Yr(n)，使得對(duì)任意自然數(shù)n，如果r(n) = 1，Yr(n) 斷定它后面的語(yǔ)句都為假，如果r(n) = 0，Yr(n) 斷定它后面的語(yǔ)句都為真。可以證明，當(dāng)且僅當(dāng)使得r(n) = 1成立的n有無(wú)窮多個(gè)，序列Yr一定是悖論的。但自然數(shù)的無(wú)窮集總共有不可數(shù)多個(gè)，而在PA語(yǔ)言中，不動(dòng)點(diǎn)最多有可數(shù)多個(gè)，因此，必有悖論不能在PA中通過(guò)不動(dòng)點(diǎn)的構(gòu)造產(chǎn)生出來(lái)的。由此，可以發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)完全類似Yablo悖論的一類悖論，它們均不具有不動(dòng)點(diǎn)自指，而且它們的個(gè)數(shù)是不可數(shù)多個(gè)。這個(gè)證明及其結(jié)論從另一個(gè)側(cè)面顯示了Yablo悖論的獨(dú)特之處，同時(shí)，也削弱了Priest的關(guān)于不動(dòng)點(diǎn)的論證。

悖論必然具有循環(huán)性嗎？Yablo提出Yablo悖論的本意是要利用Yablo悖論來(lái)否定悖論與循環(huán)性（提及性自指）之間的必然關(guān)聯(lián)性。然而，無(wú)論是Yablo還是Priest，他們關(guān)于Yablo悖論的循環(huán)性的爭(zhēng)論，都未徹底解決這個(gè)問(wèn)題。從前文分析看，Yablo模糊等同了循環(huán)性與自指性概念。按自指性的直觀含義，一個(gè)語(yǔ)句是自指的，意味著這個(gè)語(yǔ)句提及它自身，即語(yǔ)句所指定對(duì)象中直接或間接地含有語(yǔ)句本身。因此，要斷定語(yǔ)句是自指的，只需斷定語(yǔ)句之間的指稱關(guān)系。從這點(diǎn)來(lái)看，自指性顯然是語(yǔ)句本身的特性，是用來(lái)描述語(yǔ)句本身的。相比之下，循環(huán)性卻不是語(yǔ)句本身的性質(zhì)，不可直接用于描述語(yǔ)句。說(shuō)某語(yǔ)句是循環(huán)的，或者說(shuō)它是非循環(huán)的，都沒(méi)有意義。例如，當(dāng)說(shuō)“說(shuō)謊者悖論是循環(huán)的”時(shí)，其真正的涵義并不是對(duì)說(shuō)謊者語(yǔ)句本身性質(zhì)的斷定，而是認(rèn)為說(shuō)謊者語(yǔ)句出現(xiàn)的矛盾依賴于循環(huán)性。在這個(gè)意義上，循環(huán)性不是語(yǔ)句的特性，而是語(yǔ)句發(fā)生矛盾的條件。又由于語(yǔ)句是否發(fā)生矛盾以語(yǔ)句的賦值作為先決條件，因而，循環(huán)性與語(yǔ)句的賦值密不可分。Priest展示了Yablo悖論與不動(dòng)點(diǎn)自指之間的關(guān)聯(lián)，但不動(dòng)點(diǎn)自指對(duì)于悖論是必要的而不是充分的。于是，進(jìn)一步考慮：是否存在對(duì)Yablo悖論充分且必要的循環(huán)性，并且這個(gè)循環(huán)性就是這個(gè)悖論產(chǎn)生矛盾的條件呢？

借助于熊明（2009）提出的一個(gè)T-模式的推廣，可解決上述問(wèn)題。[11]這個(gè)T-模式的推廣可看做T-模式中可能世界結(jié)構(gòu)上的一種相對(duì)化：對(duì)任意可能世界u、v，如果u可通達(dá)至v，那么T[A] 在v成立，當(dāng)且僅當(dāng)A在u成立。如熊明（2009）所證明，當(dāng)把這個(gè)模式應(yīng)用于說(shuō)謊者悖論，可以得到：說(shuō)謊者語(yǔ)句中一個(gè)可能世界結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生矛盾，當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)結(jié)構(gòu)中含有奇循環(huán)，證明見(jiàn)熊明（2008）。[12][13]這個(gè)結(jié)論刻畫出說(shuō)謊者悖論產(chǎn)生矛盾的充要條件，而且表明此條件的確與特定的循環(huán)性相關(guān)。這種循環(huán)性可稱為矛盾循環(huán)性。

對(duì)于Yablo悖論，可以證明：Yablo序列與說(shuō)謊者語(yǔ)句具有同等程度的矛盾性。即：如果它們中的一個(gè)在某個(gè)可能世界結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生矛盾，另一個(gè)在這個(gè)可能世界結(jié)構(gòu)上必然也會(huì)產(chǎn)生矛盾。[14][15]這里僅指出，這個(gè)結(jié)論表明Yablo悖論與說(shuō)謊者悖論一樣，其矛盾性的產(chǎn)生也是基于特定的循環(huán)性的，而且它所基于的循環(huán)性與說(shuō)謊者悖論完全相同。相比于說(shuō)謊者悖論，Yablo悖論的獨(dú)特之處在于，一方面，不同于說(shuō)謊者悖論，它不具有提及性自指；另一方面，它又與說(shuō)謊者悖論類似，具有相同的矛盾循環(huán)性，甚至其矛盾循環(huán)性與說(shuō)謊者悖論的矛盾循環(huán)性完全相同。從這點(diǎn)上看，Yablo悖論可看做是說(shuō)謊者悖論的一個(gè)無(wú)窮展開，在這個(gè)展開中，說(shuō)謊者悖論的提及性自指被消除了，卻完整保留了其中的矛盾循環(huán)性。

再來(lái)看Yablo悖論的不一致性。上一節(jié)提到，對(duì)Yablo悖論有兩種形式化。下面要從純語(yǔ)義的角度對(duì)這兩種形式化進(jìn)行分析。首先，在算術(shù)的標(biāo)準(zhǔn)模型下，這兩種形式化的解釋顯然是等價(jià)的，即都表達(dá)了Y(n) ，當(dāng)且僅當(dāng)k ＞ n，Y(k)不真。這當(dāng)然是對(duì)Yablo悖論的忠實(shí)表達(dá)。而Ketland的不一致性推導(dǎo)實(shí)際上表明了Yablo悖論的這兩種形式化在標(biāo)準(zhǔn)模型下，如果保守T-模式，那么不存在不會(huì)導(dǎo)致矛盾的賦值。

其次，在非標(biāo)準(zhǔn)模型下，第一種形式化的解釋變作：Y(a)，當(dāng)且僅當(dāng)b＞a，Y(b)不真；而第二種形式化的解釋是：Y(n) ，當(dāng)且僅當(dāng)b＞n，Y(b)不真。總體而言，在非標(biāo)準(zhǔn)模型下，這里提到的語(yǔ)句包含了形如Y(a)的語(yǔ)句，其中a歷遍所有的自然數(shù)以及所有的非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（即非標(biāo)準(zhǔn)模型中大于所有自然數(shù)的個(gè)體）。因而，第一種形式化的解釋包含了所有這樣的Y(a)，而第二種形式化的解釋只包含了a歷遍自然數(shù)的Y(a)（但Y(a) 成立的條件中卻包含了非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)指標(biāo)）。從這點(diǎn)來(lái)看，這兩種解釋都不是Yablo悖論的忠實(shí)表達(dá)——因?yàn)樵赮ablo對(duì)其悖論的表述中，各個(gè)語(yǔ)句的指標(biāo)只含自然數(shù)。而Ketland的分析表明在非標(biāo)準(zhǔn)模型下，如果保守T-模式，那么第一種形式依然不存在不會(huì)導(dǎo)致矛盾的賦值，而對(duì)于第二種形式化，若對(duì)每個(gè)形如Y(n) 的語(yǔ)句賦值為假，但對(duì)那些a是非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的Y(a)語(yǔ)句賦值為假，則這樣的賦值就不會(huì)產(chǎn)生任何矛盾。

上面提到的對(duì)Yablo悖論循環(huán)性的分析都是基于標(biāo)準(zhǔn)模型做出的。因?yàn)檎缟厦嬷赋龅?，只有在?biāo)準(zhǔn)模型下，Ketland的兩種形式化才是對(duì)Yablo悖論的忠實(shí)表達(dá)。在非標(biāo)準(zhǔn)模型下，第一種形式化在T-模式下產(chǎn)生矛盾，因此自然可以考慮它在T-模式的相對(duì)化下是否會(huì)產(chǎn)生矛盾，我們猜測(cè)結(jié)論仍然是它只在那些含奇循環(huán)的框架中產(chǎn)生矛盾。不論如何，在討論Yablo悖論產(chǎn)生矛盾的循環(huán)性條件時(shí)，我們必須區(qū)分是在算術(shù)的標(biāo)準(zhǔn)模型下還是在非標(biāo)準(zhǔn)模型下。

五、結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)討論Yablo悖論的兩個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，研究了Yablo悖論的自指性、循環(huán)性與不一致性。分析與論證得出：Yablo與Priest的自指與循環(huán)性爭(zhēng)論所涉及的自指性涵義并不相同。本文區(qū)分了提及性自指和不動(dòng)點(diǎn)自指，指出Yablo與Priest的自指性爭(zhēng)論只是表面上的，事實(shí)上他們談?wù)摰淖灾感圆⒉幌嗤?。此外，本文還明確指出自指性與循環(huán)性兩個(gè)概念不能等同。前者是描述語(yǔ)句本身的特性，后者是語(yǔ)句引起矛盾的條件。通過(guò)引入一個(gè)T-模式的推廣，我們指出Yablo悖論具有與說(shuō)謊者悖論相同的循環(huán)性。在這個(gè)意義上，可以把Yablo悖論看做是說(shuō)謊者悖論的一個(gè)非自指但等循環(huán)的表述：它消除了說(shuō)謊者悖論中的直接自指性，但完整保留了其中的循環(huán)性。

在對(duì)Yablo悖論的不一致性問(wèn)題的分析中，我們也看到，Yablo悖論有兩種強(qiáng)度不同的形式化。但從語(yǔ)義層面看，只有第二種形式化忠實(shí)地還原了Yablo對(duì)悖論的表述。而第二種形式化只是在算術(shù)的標(biāo)準(zhǔn)模型下才能推出矛盾。在這點(diǎn)上，如Ketland所說(shuō)，Yablo悖論不是一個(gè)嚴(yán)格的悖論，只是一個(gè)ω-悖論。前面關(guān)于循環(huán)性的討論正是回答了這個(gè)ω-悖論與Yablo悖論在算術(shù)的標(biāo)準(zhǔn)模型下產(chǎn)生矛盾的循環(huán)性條件完全相同。這個(gè)結(jié)論當(dāng)然也適用于第一種形式化在標(biāo)準(zhǔn)模型下的解釋。至于在非標(biāo)準(zhǔn)模型下，第一種形式化是否仍然與說(shuō)謊者悖論基于同樣的循環(huán)性，我們猜測(cè)結(jié)論仍然是肯定的。如果是這樣，奇循環(huán)之于Yablo悖論在任何意義下都是本質(zhì)性的。

[1] Yablo, S.，“Truth and Refection”，Journal of Philosophy Logic，vol.14, 1985.

[2] Yablo, S.，“Paradox Without Self-reference”，Analysis，vol.53, 1993.

[3][6] Priest, G.,“ Yablo’s Paradox”，Analysis，vol.57, 1997.

[4][7] Sorensen, R.，“Yablo’s Paradox and Kindred Infnite Liars”，Mind，vol.107, 1998.

[5][8] Beall, J.，“ Is Yablo’s Paradox Non-circular”，Analysis，vol.61, 2001.

[9][10] Ketland, J.，“Yablo’s Paradox and ω-Inconsistency”，Synthese，vol.145, 2005.

[11][12] 熊明(Ming Hsiung)，“Jump Liars and Jourdain’s Card via the Relativized T-scheme”，Studia Logica，vol.92, no.2, 2009.

[13] 熊明：《說(shuō)謊者悖論的惡性循環(huán)》，《哲學(xué)研究》 2008年第11期。

[14] 熊明：《塔斯基定理與真理論悖論》，中山大學(xué)博士論文 ， 2009年。

[15] 熊明(Ming Hsiung)，“Equiparadoxicality of Yablo’s Paradox and the Liar”，Journal of Logic, Language and Information，vol.22, no.1, 2013.

責(zé)任編輯：羅 蘋

B81-05

A

1000-7326（2016）12-0036-05

趙藝，華南師范大學(xué)政治與行政學(xué)院副教授；熊明，華南師范大學(xué)政治與行政學(xué)院教授（廣東 廣州，510631）。