卓衛(wèi)東，高智能，谷 音(.福州大學(xué) 土木工程學(xué)院， 福建 福州 3506；2.福州大學(xué) 福建省土木工程多災(zāi)害防治重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 福建 福州 3506)

P-SV波斜入射時(shí)有阻尼成層介質(zhì)自由波場的一維化時(shí)域算法

卓衛(wèi)東1，2，高智能1，谷 音1，2
(1.福州大學(xué) 土木工程學(xué)院， 福建 福州 350116；2.福州大學(xué) 福建省土木工程多災(zāi)害防治重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 福建 福州 350116)

為了研究土層介質(zhì)阻尼對(duì)自由波場計(jì)算的影響，在一維化時(shí)域算法基礎(chǔ)上，采用有限差分方法，推導(dǎo)建立了考慮阻尼影響的水平成層彈性介質(zhì)平面內(nèi)自由波場求解的顯式的數(shù)值逐步法公式，并采用MATLAB程序語言編制了相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算程序，進(jìn)行平面內(nèi)P-SV波斜入射情形下均勻彈性土層的算例分析。結(jié)果表明：阻尼對(duì)水平成層彈性介質(zhì)平面內(nèi)的自由波場有著重要的影響，與無阻尼均勻土層相比，P波斜入射下有阻尼均勻土層的水平和豎向位移幅值分別可減小53.1%和26.5%，SV波斜入射下水平和豎向位移幅值分別可減小48.2%和31.7%；阻尼使均勻土層自由表面的位移幅值明顯減小，而中、下部節(jié)點(diǎn)的位移幅值減小相對(duì)較小。由此可見，土層介質(zhì)阻尼對(duì)成層半空間平面內(nèi)自由波場一維化計(jì)算的影響不可忽視。

成層介質(zhì)；自由波場；一維化時(shí)域算法；土層介質(zhì)阻尼；逐步法

在考慮地震作用下土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用問題時(shí)，常需要計(jì)算自由波場以獲得地震波動(dòng)輸入[1]。地震波動(dòng)輸入是否合理，直接影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。對(duì)一般工程結(jié)構(gòu)，地震波可假設(shè)為豎直入射，此時(shí)自由波場的求解是一維問題，容易在時(shí)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)[2]；然而，對(duì)地鐵車站、橋梁、大壩等大型大跨結(jié)構(gòu)，地震波斜入射引起的地面運(yùn)動(dòng)非一致變化將對(duì)結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)產(chǎn)生重要影響[3-6]，此時(shí)需要考慮地震波的空間變異性。

在實(shí)際工程中，由于土層分布的復(fù)雜性，對(duì)自由波場的解析求解幾乎是不可能的[7]。因此，采用有限元等數(shù)值方法研究復(fù)雜土層介質(zhì)中地震波動(dòng)問題，已經(jīng)成為主要的研究方向。針對(duì)水平成層彈性半空間在地震波斜入射情形下的自由場計(jì)算問題，李山有等[8]根據(jù)波動(dòng)傳播水平視波速不變且已知的特點(diǎn)，建立了入射側(cè)邊界節(jié)點(diǎn)自由場波動(dòng)計(jì)算的精確內(nèi)插公式，并將其與計(jì)算內(nèi)節(jié)點(diǎn)位移的顯式差分公式相結(jié)合，進(jìn)而提出了簡化的時(shí)域數(shù)值模擬方法。劉晶波等[9-11]進(jìn)一步提出一種一維化的時(shí)域算法，將水平成層彈性半空間在SH波和P-SV波斜入射下二維自由波場的計(jì)算問題簡化為時(shí)域內(nèi)的一維問題求解，且具有與二維有限元數(shù)值解同樣的精度。趙密等[12]在劉晶波等[10]算法的基礎(chǔ)上，提出一種模擬基巖半空間輻射阻尼的人工邊界條件，采用該人工邊界條件代替粘性邊界條件，可獲得更高的計(jì)算精度。

已有關(guān)于水平成層彈性半空間自由波場的簡化時(shí)域算法，均未考慮土層介質(zhì)阻尼的影響[8-12]。然而，土層介質(zhì)阻尼可能對(duì)地震波斜入射下土層介質(zhì)的自由波場有重要的影響。本文在劉晶波等[10]算法的基礎(chǔ)上，考慮土層介質(zhì)阻尼，推導(dǎo)建立P-SV波斜入射下水平成層彈性半空間自由波場求解的數(shù)值逐步法公式，并編制相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算程序；通過算例分析，討論土層介質(zhì)阻尼對(duì)P-SV波斜入射下水平成層彈性半空間自由波場的影響。

1 成層介質(zhì)中平面波動(dòng)問題的一維化

在土層介質(zhì)自由場計(jì)算中，通常將土層介質(zhì)假設(shè)為水平成層彈性半空間。按照劉晶波-王艷算法[10]，將水平成層彈性半空間劃分為如圖1所示的有限元離散化模型；圖1中，豎向網(wǎng)格尺寸為Δy，可取為滿足精度要求的任意值；水平方向網(wǎng)格尺寸為Δx，其取值需滿足下式：

Δx=cx·Δt

(1)

其中：cx為P波或SV波的水平視波速，Δt為時(shí)間步長。

(2)

其中，M、C和K分別為離散化模型的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

圖1 水平成層半空間有限元模型

根據(jù)行波傳播特點(diǎn)以及Snell定律，可以將y軸相鄰列節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)用y軸上節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)表示，最終使P-SV波斜入射下水平成層彈性半空間自由波場的計(jì)算問題就轉(zhuǎn)化為一維問題求解，具體公式推導(dǎo)詳見文獻(xiàn)[10]，這里不再贅述。

2 考慮介質(zhì)阻尼的一維化時(shí)域算法

2.1 考慮介質(zhì)阻尼的數(shù)值逐步法的計(jì)算公式

首先，采用劉晶波等[10]算法的思路，將P-SV波斜入射下水平成層彈性半空間二維自由波場的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為一維問題。其次，采用數(shù)值方法，在時(shí)域內(nèi)直接求解式(2)所列的運(yùn)動(dòng)方程。在數(shù)值計(jì)算中可取m=0，即先求得y軸上各節(jié)點(diǎn)的位移后，再根據(jù)行波傳播特點(diǎn)，依次確定水平成層彈性半空間中的自由波場。以下，采用有限差分方法，推導(dǎo)建立考慮土層介質(zhì)阻尼時(shí)求解待求列節(jié)點(diǎn)(y軸上節(jié)點(diǎn))位移的計(jì)算列式。

根據(jù)式(2)，在考慮土層介質(zhì)阻尼時(shí)，y軸上任一內(nèi)節(jié)點(diǎn)(0,n)在pΔt時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程為：

(3)

其中，M0,n和M0,0分別為節(jié)點(diǎn)(0,n)和節(jié)點(diǎn)(0,0)的集中質(zhì)量；Ci,j、Ki,j分別為節(jié)點(diǎn)(0,n)和節(jié)點(diǎn)(i,j)之間的阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)。

y軸與自由表面交界處的節(jié)點(diǎn)(0,0) 在pΔt時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程為

(4)

在采用數(shù)值方法計(jì)算水平成層彈性半空間的自由波場時(shí)，顯然必須從半無限介質(zhì)中切取有限的計(jì)算區(qū)域，并在區(qū)域邊界引入合適的人工邊界條件。目前已發(fā)展了多種人工邊界[13-22]，不失一般性，本文假定人工邊界為黏性邊界。對(duì)y軸與黏性邊界交界處的節(jié)點(diǎn)(0,N)，其在pΔt時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程為：

(5)

(6)

其中：ρ為介質(zhì)質(zhì)量密度；cs和cp分別為介質(zhì)剪切波速和壓縮波速；θ為地震波入射角；u0(xB，yB，t)和σ0(xB，yB，t)分別為入射波在黏性邊界節(jié)點(diǎn)B上產(chǎn)生的位移矢量和應(yīng)力矢量。

式(3)～式(5)所列的運(yùn)動(dòng)方程中的加速度項(xiàng)可利用中心差分法近似計(jì)算：

(7)

(8)

依據(jù)行波傳播特點(diǎn)，同時(shí)將式(7)和式(8)代入式(3)～式(5)中，并簡記u0,n=un，M0,n=Mn，經(jīng)整理得到如下矩陣形式的方程：

(9)

式(9)中，

(10)

(11)

從式(10)和式(11)可見，式(9)所列的矩陣方程左邊的系數(shù)矩陣是稀疏的三對(duì)角矩陣，右邊的向量僅與邊界節(jié)點(diǎn)輸入的等效荷載以及待求列節(jié)點(diǎn)(y軸上節(jié)點(diǎn))在pΔt時(shí)刻及其前一時(shí)刻(p-1)Δt的位移有關(guān)，故只要給定邊界節(jié)點(diǎn)等效荷載以及初始時(shí)刻各節(jié)點(diǎn)的位移和速度值，即可通過逐步法求解上述方程組，得到y(tǒng)軸上各節(jié)點(diǎn)在時(shí)域內(nèi)的位移解，進(jìn)而確定全部自由波場。

2.2 計(jì)算步驟及程序?qū)崿F(xiàn)

由式(9)所列的矩陣方程可見，本文基于有限差分方法建立的考慮介質(zhì)阻尼的水平成層彈性半空間自由波場的數(shù)值逐步法的計(jì)算公式是顯式的。具體計(jì)算步驟如下：

(1) 計(jì)算圖1所示的有限元離散化模型的質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K，其中質(zhì)量矩陣M采用集中質(zhì)量法計(jì)算，并假定阻尼矩陣C；

(2) 根據(jù)黏性人工邊界條件，確定人工邊界節(jié)點(diǎn)等效荷載時(shí)程；

(12)

(6) 根據(jù)行波傳播特點(diǎn)確定計(jì)算區(qū)域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)的自由波場。

根據(jù)上述計(jì)算步驟，基于MATLAB語言編制了相應(yīng)的計(jì)算程序。限于篇幅，這里沒有給出計(jì)算程序的源代碼。

2.3 算法的穩(wěn)定性和計(jì)算精度

本文所建立的P-SV波斜入射下考慮介質(zhì)阻尼的水平成層彈性半空間自由波場的一維化時(shí)域算法，其穩(wěn)定性條件仍與劉晶波等[10]算法的穩(wěn)定性條件相同，即要求：

(13)

為保證一維化時(shí)域算法的計(jì)算精度，劉晶波和王艷[10]建議，有限差分網(wǎng)格尺寸應(yīng)滿足以下離散化準(zhǔn)則：

(14)

其中：Δ為網(wǎng)格尺寸；λ為波長。

3 算例分析

以下，選擇物理性質(zhì)均勻的土層進(jìn)行算例分析。均勻土層的幾何參數(shù)和物理參數(shù)取值參考文獻(xiàn)[10]，具體如表1所列；其有限元離散化模型見圖2，其中豎向網(wǎng)格尺寸Δy取為5 m，水平方向網(wǎng)格尺寸Δx根據(jù)式(1)確定。數(shù)值計(jì)算中，取P波波速為866 m/s，SV波波速為500 m/s；為滿足穩(wěn)定性條件，時(shí)間步長取為0.005 s。

表1 均勻土模型參數(shù)

假定土層介質(zhì)阻尼為Rayleigh阻尼，則可按下式計(jì)算其阻尼矩陣C：

C=αM+βK

(15)

其中，α、β為比例系數(shù)，它們由下式計(jì)算：

(16)

式(16)中，ξ為均勻土層的阻尼比，這里取為0.1；ωi和ωj分別為均勻土層兩個(gè)特定的自振圓頻率，這里分別取為第1階和第2階自振圓頻率。

利用ABAQUS軟件建立均勻土層的有限元模型，通過動(dòng)力特性分析，得到該均勻土層前兩階的自振頻率：ω1=8.8645 rad/s，ω2=10.0280 rad/s；將其代入式(16)，求得α=0.9412，β=0.01058；將α、β的數(shù)值代入式(15)，得到均勻土層的阻尼矩陣C。

圖2 均勻土層的有限元離散模型

[10]，假定入射P波(SV波)為持時(shí)0.5 s的單位脈沖，其位移時(shí)程如圖3所示。

3.1 P波斜入射下均勻土層的自由波場分析

利用所編制的計(jì)算程序，計(jì)算了P波以不同入射角入射情形下均勻土層的自由波場；本文分析所取的入射角變化范圍為0°～90°，并以15°為間隔。選取y軸上自由表面節(jié)點(diǎn)A1、中部節(jié)點(diǎn)B1以及底部邊界節(jié)點(diǎn)C1作為觀測點(diǎn)(見圖2)，對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析討論。由于無阻尼情形下一維化算法的計(jì)算結(jié)果已得到驗(yàn)證[10]，本文主要討論考慮土層介質(zhì)阻尼情形下一維化算法的計(jì)算結(jié)果。

圖3 入射波位移時(shí)程

圖4繪出了P波以30°角斜入射情形下，分別采用一維化算法及有限元法計(jì)算得到的有阻尼均勻土在3個(gè)觀測點(diǎn)處的水平位移和豎向位移響應(yīng)(限于篇幅，這里沒有給出P波以其它角度斜入射情形下的對(duì)比分析，下同)。從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，兩種數(shù)值方法計(jì)算得到的3個(gè)觀測點(diǎn)的位移時(shí)程曲線規(guī)律一致；與有限元法計(jì)算結(jié)果相比較，一維化算法計(jì)算得到的位移時(shí)程存在“振幅衰減”和“位移超前”現(xiàn)象，這一現(xiàn)象可能與一維化算法采用了差分列式有關(guān)。總的來看，一維化算法的計(jì)算結(jié)果可以滿足工程需要。

圖5繪出了P波以30°角斜入射情形下，采用一維化算法計(jì)算得到的無阻尼和有阻尼均勻土在3個(gè)觀測點(diǎn)處的水平位移及豎向位移響應(yīng)。從圖5中可以發(fā)現(xiàn)，無阻尼與有阻尼均勻土層的位移時(shí)程曲線波形一致；與無阻尼均勻土層相比，有阻尼均勻土層在各個(gè)時(shí)刻的位移響應(yīng)絕對(duì)值均減小了，尤其是在自由表面觀測點(diǎn)A1處，減小幅度最大。根據(jù)計(jì)算結(jié)果，自由表面觀測點(diǎn)A1處的水平和豎向位移在0.34 s附近達(dá)到最大值；與無阻尼均勻土層相比，有阻尼均勻土層在自由表面觀測點(diǎn)A1處的最大水平位移從1.11 cm(無阻尼時(shí))減小至0.73 cm，減小幅度達(dá)34.2%；最大豎向位移絕對(duì)值從1.67 cm(無阻尼時(shí))減小至1.24 cm，減小幅度達(dá)25.7%?？梢?，P波斜入射下土層介質(zhì)阻尼對(duì)自由波場有重要的影響。

圖6繪出了P波以不同入射角入射情形下，無阻尼和有阻尼均勻土層在表面觀測點(diǎn)A1處的位移幅值隨入射角的變化情況。從圖6中可以發(fā)現(xiàn)，在入射角小于60°時(shí)，無阻尼和有阻尼均勻土層的水平位移幅值均隨著入射角的增大而增大；在入射角超過60°時(shí)，水平位移幅值則隨著入射角的增大而減??；而豎向位移幅值均隨著入射角的增大而減小。與無阻尼均勻土層相比，相同入射角下有阻尼均勻土層的水平和豎向位移幅值均減小了；在入射角為75°時(shí)，兩者水平位移幅值相差最大，在入射角為0°時(shí)，兩者豎向位移幅值相差最大。計(jì)算結(jié)果表明，在P波入射角為75°時(shí)，有阻尼均勻土層在自由表面觀測點(diǎn)A1處的水平位移幅值從1.62 cm(無阻尼時(shí))減小至0.76 cm，減小幅度達(dá)53.1%；在P波入射角為0°時(shí)，有阻尼均勻土層在自由表面觀測點(diǎn)A1處的豎向位移幅值從2.00 cm(無阻尼時(shí))減小至1.47 cm，減小幅度達(dá)26.5%。

圖4 一維化算法與有限元法計(jì)算結(jié)果比較

圖5 P波30°斜入射時(shí)無阻尼和有阻尼均勻土層的位移響應(yīng)比較

圖6 觀測點(diǎn)A1位移幅值隨P波入射角的變化曲線

3.2 SV波斜入射下均勻土層的自由波場分析

利用所編制的計(jì)算程序，計(jì)算了SV波以不同入射角入射情形下均勻土層的自由波場?？紤]到數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性要求，這里所取的入射角變化范圍為0°～30°，并以5°為間隔。同樣選取y軸上自由表面節(jié)點(diǎn)A1、中部節(jié)點(diǎn)B1以及底部邊界節(jié)點(diǎn)C1作為觀測點(diǎn)，對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析討論。

圖7繪出了SV波以30°角斜入射情形下，采用一維化算法計(jì)算得到的無阻尼和有阻尼均勻土在3個(gè)觀測點(diǎn)處的水平位移及豎向位移響應(yīng)。從圖7中可以發(fā)現(xiàn)，SV波斜入射下，無阻尼與有阻尼均勻土層的位移時(shí)程曲線同樣波形一致；與無阻尼均勻土層相比，有阻尼均勻土層在各個(gè)時(shí)刻的位移響應(yīng)絕對(duì)值均減小了，尤其是在自由表面觀測點(diǎn)A1處，減小幅度最大。根據(jù)計(jì)算結(jié)果，自由表面觀測點(diǎn)A1處的水平和豎向位移在0.42 s附近達(dá)到最大值；與無阻尼均勻土層相比，有阻尼均勻土層在自由表面觀測點(diǎn)A1處的最大水平位移從1.66 cm(無阻尼時(shí))減小至0.86 cm，減小幅度達(dá)48.2%；最大豎向位移絕對(duì)值從1.04 cm(無阻尼時(shí))減小至0.71 cm，減小幅度達(dá)31.7%?？梢姡琒V波斜入射下土層介質(zhì)阻尼對(duì)自由波場也有重要的影響。

圖8繪出了SV波以不同入射角入射情形下，無阻尼和有阻尼均勻土層在表面觀測點(diǎn)A1處的位移幅值隨入射角的變化情況。從圖8中可以發(fā)現(xiàn)，無阻尼和有阻尼均勻土層的水平位移幅值均隨著入射角的增大而減小，而豎向位移幅值均隨著入射角的增大而增大。與無阻尼均勻土層相比，相同入射角下有阻尼均勻土層的水平和豎向位移幅值均減小了；在入射角為30°時(shí)，兩者水平和豎向位移幅值相差最大。計(jì)算結(jié)果表明，在SV波入射角為30°時(shí)，有阻尼均勻土層在自由表面觀測點(diǎn)A1處的水平位移幅值從1.66 cm(無阻尼時(shí))減小至0.86 cm，減小幅度達(dá)48.2%；豎向位移幅值從1.04 cm(無阻尼時(shí))減小至0.71 cm，減小幅度達(dá)31.7%。

4 結(jié) 語

本文基于劉晶波等算法，提出了考慮土層介質(zhì)阻尼影響的水平成層彈性半空間平面內(nèi)自由波場的一維化時(shí)域算法，并編制了相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算程序。通過算例分析，討論了土層介質(zhì)阻尼對(duì)P-SV波斜入射下水平成層彈性半空間自由波場的影響。分析結(jié)果表明：

圖7 SV波30°斜入射時(shí)無阻尼和有阻尼均勻土層

圖8 觀測點(diǎn)A1位移幅值隨SV波入射角的變化曲線

(1) 介質(zhì)阻尼對(duì)水平成層彈性半空間平面內(nèi)的自由波場有重要的影響。與無阻尼均勻土層相比，P波和SV波斜入射下有阻尼均勻土層的水平位移幅值分別可減小53.1%和48.2%，豎向位移幅值分別可減小26.5%和31.7%。

(2) 與無阻尼均勻土層相比，有阻尼均勻土層自由表面的位移幅值減小較大，而中部和底部節(jié)點(diǎn)的位移幅值減小相對(duì)較小。

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DOI:10.3969/j.issn.1672-1144.2016.06.007

A 1D Time-Domain Method for in-plane Wave Motion of Free Field in Layered Media with Damping under Obliquely Incident P-SV Waves

ZHUO Weidong1,2, GAO Zhineng1, GU Yin1,2

(1.CollegeofCivilEngineering,FuzhouUniversity,Fuzhou,Fujian350116,China；2.KeyLaboratoryforMultiDisasterPreventionandGovernanceofCivilEngineeringofFujianProvince,Fuzhou,Fujian350116,China)

In order to study the influence of layered-soil damping on the free field algorithm, based on a 1D time-domain method for in-plane wave motion of free field in layered media proposed by Liu and Wang, formulas of explicit time-stepping method to solve the in-plane wave motion of free field in layered media with damping are established by using finite difference method, and its numerical program has been developed with Matlab programming language. A case study of in-plane wave motion of free field in layered soil with damping under obliquely incident P wave and SV wave was carried out respectively. The results show that: the peak horizontal and vertical displacements in layered soil with damping can be reduced by 53.1% and 26.5%, respectively, under incident P wave, and the peak horizontal and vertical displacements can be reduced by 48.2% and 31.7%, respectively, under incident SV wave, comparing with layered soil without damping. The case study indicates that soil damping has significant influence on in-plane wave motion of free field in layered soil, and it can reduce greatly with the displacement amplitude of the free surface of the layered soil, and reduce slightly with the displacement amplitudes of the middle and lower nodes. Thus it can be seen that the influence of layered-soil damping on 1D time-domain method for the free field algorithm in layered half space by incident in-plane wave can not be ignored.

layered media; free field; 1D time-domain method; soil damping; time-stepping method

10.3969/j.issn.1672-1144.2016.06.004

2016-07-27

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51108088)

卓衛(wèi)東(1966—)，男，福建莆田人，博士，教授，博導(dǎo)，主要從事橋梁抗震方面的研究工作。 E-mail: zhuowd@fzu.edu.cn

P315，TU311

A

1672—1144(2016)06—0018—07