☉江蘇省如皋市第一中學(xué) 孫海建

一道課本習(xí)題的深入探究

☉江蘇省如皋市第一中學(xué) 孫海建

課堂教學(xué)除完成教學(xué)計(jì)劃及傳授知識(shí)以外，筆者認(rèn)為開展數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的目的就是拓展學(xué)生的思維，提升他們的思維活躍度和學(xué)習(xí)積極性，這有這樣，才可以提高教學(xué)課堂的有效性，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.為了提升學(xué)生對(duì)課堂及知識(shí)的關(guān)注度，無(wú)論耗費(fèi)多少精力和時(shí)間，都是值得的.因此，教師在實(shí)際教學(xué)中一定要提升對(duì)增強(qiáng)學(xué)生思維能力的重視程度.

在上高三數(shù)學(xué)一節(jié)復(fù)習(xí)課時(shí)，本著重視教材，重視基礎(chǔ)的角度，筆者選擇了課本中的一道習(xí)題及該題的兩個(gè)變式題，希望學(xué)生通過(guò)訓(xùn)練，熟練掌握此類題型的一般解法.結(jié)果學(xué)生在解題過(guò)程中卻意外地用不太常規(guī)的方法探究出了此類問(wèn)題的一般結(jié)論！下面筆者將這節(jié)課的進(jìn)行過(guò)程展現(xiàn)給讀者.

一、試題再現(xiàn)

題目（高中數(shù)學(xué)課本人教A版的選修2-1第80頁(yè)的復(fù)習(xí)參考題的A組第11題）在拋物線y2=4x上求一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線y=x+3的距離最短.

筆者當(dāng)初的課堂設(shè)計(jì)是想要求學(xué)生掌握如下的一般解法：

解法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x0，y0），因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以y2=4x，點(diǎn)P到直線y=x+3的距離為

00將代入，整理得所以y0=2時(shí)，d有最小值算得x0=1，故點(diǎn)P（1，2）到直線y=x+3的距離最短.

以上解法是利用點(diǎn)到直線的距離公式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.筆者的教學(xué)目的也是想通過(guò)學(xué)生對(duì)此類題型的反復(fù)練習(xí)，能熟練用此方法解決此類問(wèn)題.

班上大多數(shù)同學(xué)按照以上方法解答此題，但有個(gè)別基礎(chǔ)較好的同學(xué)由于在前不久復(fù)習(xí)了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的相關(guān)知識(shí)，見過(guò)類似求最值的題型.他們采用了下面方法解答此題，在后面的文中筆者稱之為方法二.

解法二：記直線l：y=x+3，和直線l平行的直線記為l′，l′和拋物線的公共點(diǎn)到直線l的距離就是直線l和直線l′的距離.易知當(dāng)直線l′和拋物線相切時(shí)，直線l和直線l′的距離最小，即直線l′和拋物線的切點(diǎn)就是要求的P點(diǎn).設(shè)直線l′：y=x+b，代入拋物線方程y2=4x，整理得x2+（2b-4）x+ b2=0（※），由Δ=0可得（2b-4）2-4b2=0，化簡(jiǎn)得b=1，代入方程（※）中可計(jì)算得x=1，進(jìn)而求得y=1+b=2，故所求P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）.

點(diǎn)評(píng)：實(shí)際上直線y=x+3在拋物線y2=4x的左側(cè)，當(dāng)把直線向右側(cè)平行移動(dòng)時(shí)，平行直線和原直線的距離逐漸增大，當(dāng)直線平行移動(dòng)到和拋物線恰好相切時(shí)，切點(diǎn)到原直線y=x+3的距離最短.因此筆者肯定了同學(xué)們的這種解題方法，稱贊了他們能夠利用數(shù)形結(jié)合的思想，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.接下來(lái)就有了更多的同學(xué)運(yùn)用此方法解答下面兩個(gè)變式題，從而引發(fā)了一類最值問(wèn)題的探究.

二、探究過(guò)程

變式題1：已知直線l：y=2x-4交拋物線y2=4x于A，B兩點(diǎn)，在A，B兩點(diǎn)之間的拋物線上求一點(diǎn)P，使得△APB的面積最大，并求出最大面積.

分析：由弦長(zhǎng)公式不難求出線段AB的長(zhǎng)度，所以只要在A，B兩點(diǎn)之間的拋物線上求一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線l的距離最大，則△APB的面積最大.此問(wèn)題是和課本習(xí)題相關(guān)的一個(gè)變式題.下面是部分學(xué)生用方法二解答此題的過(guò)程：

解：聯(lián)立直線方程y=2x-4和拋物線方程y2=4x，得x2-5x+4=0，算得x1=1，x2=4，所以y1=-2，y2=4，不妨設(shè)A（1， -2），B（4，4），所以把和直線l平行的直線記為l′，l′和A，B兩點(diǎn)之間的拋物線的公共點(diǎn)到直線l的距離就是直線l和直線l′的距離.當(dāng)直線l′和拋物線相切時(shí)直線l和直線l′的距離最大，即切點(diǎn)到直線l的距離最大.設(shè)直線l′：y=2x+b，代入拋物線方程y2=4x，整理得4x2+（4b-4）x+b2=0（※），由Δ=0得（4b-4）2-16b2=0，算得b=代入方程（※）中可計(jì)算得進(jìn)而求得b=1，故所求切點(diǎn)P的坐標(biāo)為此時(shí)P點(diǎn)到直線l：y=2x-4的距離為所以△APB面積的最大值為故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為最大面積為

變式題2：已知直線l：y=x-1和拋物線y=x2-4x+3交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左邊），在A，B兩點(diǎn)之間的拋物線上求一點(diǎn)P，使得△APB的面積最大，并求出最大面積.

讀者不難看出此題和上題為同類題型，只是改變了拋物線的頂點(diǎn)位置和開口方向，增加計(jì)算難度而已.下面筆者將學(xué)生的方法二的解法簡(jiǎn)述如下：

解析：聯(lián)立直線方程y=x-1和拋物線方程y=x2-4x+3，可得x2-5x+4=0，解得x1=1，x2=4，所以y1=0，y2=3，所以A（1，0），B（4，3），所以把和直線l平行的直線記為l′，l′和A，B兩點(diǎn)之間的拋物線的公共點(diǎn)到直線l的距離就是直線l和直線l′的距離.當(dāng)直線l′和拋物線相切時(shí)直線l和直線l′的距離最大，即切點(diǎn)到直線l的距離最大.設(shè)直線l′：y=x+b，代入拋物線方程y=x2-4x+3，整理得x2-5x+3-b=0（※），由Δ=0算得代入方程（※）中可計(jì)算得進(jìn)而求得故所求切點(diǎn)即P點(diǎn)的坐標(biāo)為P點(diǎn)到直線l：y=x-1的距離為d=所以△APB面積的最大值為

到此筆者本以為這節(jié)課的教學(xué)目的已經(jīng)達(dá)到，剩下的時(shí)間讓學(xué)生將兩種解題方法做個(gè)小結(jié)，把以上幾個(gè)題的結(jié)果整理一下，準(zhǔn)備到時(shí)間下課.這時(shí)筆者發(fā)現(xiàn)有個(gè)小組的幾個(gè)學(xué)生好像在下面討論著什么，筆者正準(zhǔn)備詢問(wèn)，該組的小組長(zhǎng)舉手發(fā)言了：“老師我們小組在用方法二解這兩個(gè)變式題時(shí)，發(fā)現(xiàn)所求P點(diǎn)的坐標(biāo)和A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)有一定關(guān)系.變式題1中P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)和的一半；變式題2中P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)和的一半.這里面是否存在某種規(guī)律？”經(jīng)他這一說(shuō)，其他小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)確實(shí)如此！在變式題1中為P點(diǎn)的縱坐標(biāo)；在變式題2中是P點(diǎn)的橫坐標(biāo).是否有規(guī)律？同學(xué)們期待的目光望著筆者.筆者事先還真沒(méi)有研究過(guò)，靈機(jī)一動(dòng)，反問(wèn)該組組長(zhǎng)：“你們是怎樣注意到這個(gè)情況的？”該組的其他學(xué)生有人搶著發(fā)言說(shuō)：“我們作出簡(jiǎn)圖后，在把直線平行移動(dòng)到和拋物線相切時(shí)，發(fā)現(xiàn)切點(diǎn)和AB弦的中點(diǎn)有某種位置關(guān)系.由于我們作的圖是簡(jiǎn)圖，因此我們也不敢肯定，但之后的計(jì)算結(jié)果卻支持了我們的想法……老師這里面應(yīng)該有規(guī)律吧？”一堂原本平穩(wěn)的復(fù)習(xí)課變成了一堂探究課.直覺告訴筆者：學(xué)生的想法可能是正確的.一看時(shí)間還有，于是筆者要求各組選定不同的開口方向和頂點(diǎn)位置的拋物線，用幾何畫板在拋物線上任取兩點(diǎn)A，B，記AB中點(diǎn)為M，作出AB的一組平行線，觀察當(dāng)平行線和拋物線相切時(shí)，切點(diǎn)P和M的位置關(guān)系.結(jié)果各組通過(guò)幾何畫板作圖，得到一致結(jié)論：P，M兩點(diǎn)連線恰好和拋物線對(duì)稱軸平行.通過(guò)幾何畫板畫出的結(jié)果更精確，更直觀！于是筆者對(duì)學(xué)生提出要求：能否給出證明？

學(xué)生1說(shuō)：“各種情況分類太多，不好證明.”學(xué)生2說(shuō)：“我們只要證明其中一種情況，根據(jù)問(wèn)題的結(jié)論，其他情況可以由圖形的平移和旋轉(zhuǎn)得到，因?yàn)槠揭坪托D(zhuǎn)不會(huì)改變圖形中M點(diǎn)和P點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系.”筆者對(duì)學(xué)生2的說(shuō)法給予了肯定，并建議學(xué)生對(duì)頂點(diǎn)在原點(diǎn)、開口向上的拋物線的情況給出證明.

設(shè)拋物線方程為x2=2py（p＞0），A，B為拋物線上已知兩點(diǎn)，點(diǎn)P為A，B之間拋物線上任意一點(diǎn)，求證：當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半時(shí)，P點(diǎn)到直線AB的距離最遠(yuǎn)，即此時(shí)△PAB的面積最大.

在同學(xué)們的共同探究和筆者的指導(dǎo)下，不久就有基礎(chǔ)較好的學(xué)生給出了答案.筆者讓其中一個(gè)學(xué)生在黑板上展示了他的答案.筆者將其證明過(guò)程進(jìn)行了點(diǎn)評(píng)，最后整理如下：

證明：如圖1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），作直線AB的平行線l，l和A，B之間的拋物線的公共點(diǎn)到直線AB的距離就是直線l和直線AB的距離.當(dāng)l和拋物線相切時(shí)，直線l和直線AB的距離最遠(yuǎn)，即切點(diǎn)P（x0，y0）為所求.因?yàn)橹本€AB的斜率由x2=2py知求導(dǎo)可得所以過(guò)切點(diǎn)P（x0，y0）的切線l的斜率由條件知k0=k，所以故結(jié)論得證

圖1

若設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則此時(shí)P，M兩點(diǎn)的連線平行于拋物線的對(duì)稱軸，考慮到將整個(gè)圖像在直角坐標(biāo)系進(jìn)行平移或旋轉(zhuǎn)不會(huì)改變P和M的相對(duì)位置，并注意到A，B兩點(diǎn)的特殊位置情況，可以得到如下推論：

推論：設(shè)A，B是拋物線上的任意兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，在A，B兩點(diǎn)之間的拋物線上到直線AB距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)記為點(diǎn)P，則直線PM平行于拋物線的對(duì)稱軸或者與對(duì)稱軸重合（此時(shí)AB垂直于對(duì)稱軸）.

得到這個(gè)推論后學(xué)生都感到非常興奮，有些同學(xué)說(shuō)：“以后遇到類似題型，我們只要找到弦AB的中點(diǎn)M，過(guò)M點(diǎn)作拋物線對(duì)稱軸的平行線，該平行線和拋物線的交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)P.”另外有學(xué)生補(bǔ)充到：“當(dāng)AB垂直于對(duì)稱軸時(shí)，P點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn).”筆者也感到非常高興，說(shuō)到：“以后你們做此類選擇題和填空題時(shí)可直接使用這個(gè)結(jié)論.”一堂常規(guī)復(fù)習(xí)課變成了一堂探究課，而且得到了精彩的結(jié)論，真是意外的收獲！

假如在教學(xué)中教師沒(méi)有能夠充分認(rèn)識(shí)試題的內(nèi)涵意義，這不但無(wú)法找到問(wèn)題的另一種解決方式，至于問(wèn)題的延伸及變式就更無(wú)從談起.這對(duì)教師和學(xué)生來(lái)說(shuō)損失都是非常大的.有鑒于此，本文著重研究了數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中提升學(xué)生思維能力的重要性，旨在提升數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性.