馮陽飛

(東北大學(xué) 資源與土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)工程研究所實驗室, 遼寧 沈陽 110006)

對稱基本型平曲線橫凈距精確計算的新算法研究

馮陽飛

(東北大學(xué) 資源與土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)工程研究所實驗室, 遼寧 沈陽 110006)

對對稱基本型平曲線橫凈距的計算方法進行了分析研究，提出利用對稱基本型平曲線屬于凸型曲線的特點、應(yīng)用視點連線斜率快速準確地尋找計算點位置的新的橫凈距簡化計算方法，可對平曲線上任一點位進行較精確橫凈距的計算。應(yīng)用VB6編制了計算程序，可精確計算該型曲線任意位置時的最大橫凈距。

橫凈距； 視點軌跡線； 緩和曲線； 坐標系統(tǒng)； 斜率

公路對稱基本型平曲線橫凈距的計算的難點在于涉及緩和曲線部分的計算，目前計算橫凈距均為近似計算方法。對稱基本型平曲線橫凈距的計算方法有多篇論文進行探討，并相應(yīng)編制計算機程序進行計算，但計算工作量比較大，且精度有待進一步提高。簡化計算方法、減少計算工作量、提高計算結(jié)果精度應(yīng)為橫凈距計算的發(fā)展趨勢。

1 目前最大橫凈距的計算方法及存在的問題

① 對稱基本型平曲線最大橫凈距的計算難點在于與緩和曲線相關(guān)的計算。早期的計算采用近似計算方法，即以緩和曲線弧段代替對應(yīng)的弦長。文獻[3]對計算方法進行了改進，提高了精度，但計算過程仍顯復(fù)雜。

② 文獻[4]在對對稱基本型平曲線任一點位橫凈距計算研究時，利用幾何關(guān)系獲得緩和路段路中線與視點軌跡線緩和曲線長度的對應(yīng)關(guān)系，并以此對應(yīng)關(guān)系獲得路中線某點樁號在視點軌跡線的相應(yīng)位置，然后采用等步長同向移動法進行計算，比較出計算點到視點連線最大的距離作為所求的橫凈距值。這種計算方法擬定視點軌跡線采用緩和曲線，這比較符合實際的行車軌跡，但ZH點與ZHs點有一個ΔT的差值，若計算時不考慮則會影響結(jié)果的精度，而且在計算橫凈距時也是一種試算的方法，所得到的橫凈距值的精度隨步長選取的大小而不同，步長越大，精度越低，反之則精度高，而隨之重復(fù)計算工作量也越大。

③ 文獻[6]在對對稱基本型平曲線任一點位橫凈距進行計算時,是利用文獻[3]中所得緩和路段路中線與視點軌跡線的對應(yīng)關(guān)系，再采用文獻[4]的等步長同向移動法進行計算，因此同樣存在精度隨步長選擇而異的問題。文獻[6]采用路中線與視點軌跡線平行等距關(guān)系，幾何關(guān)系明確，利于坐標計算，但與實際行車軌跡線有一定偏差。

2 對稱基本型平曲線橫凈距計算的新方法

2.1 對稱基本型平曲線橫凈距計算新方法基本原理

本文提出的橫凈距計算方法的基本思路是充分利用坐標系統(tǒng)、平面解析幾何的基本原理及路中線與視點軌跡線等距平行的設(shè)定關(guān)系，首先根據(jù)已知的參數(shù)計算確定視點起終點的坐標，然后按照視點連線的斜率及對稱基本型平曲線屬于凸型曲線的特點準確尋找其在路中線斜率相等的計算點，最后計算計算點到視點連線的距離再減去e值就得到橫凈距值。

2.2 橫凈距計算的已知參數(shù)及主要計算公式

為了能清晰說明具體計算步驟，本文先列出已知的參數(shù)及主要計算公式表(見表1)。對于緩和曲線要素、坐標計算的相關(guān)公式，讀者可查閱相關(guān)教材，此不列出。

表1 橫凈距計算參數(shù)及主要計算公式表Table1 CalculationoftheparametersofTransversespacingandthemaincalculationformula編號計算公式公式說明1L=ls+eΔβ緩和曲線與對應(yīng)視點軌跡線長度關(guān)系式，Δβ為緩和曲線弧段轉(zhuǎn)角2x=2Rsinαx2cos(β+αx2)+xhyy=2Rsinαx2sin(β+αx2)+yhy園曲線上一點的坐標計算，αyx為對應(yīng)的圓心角3y=x1sinα+y1cosα+yhzxoy坐標系統(tǒng)與x1o1y1坐標系統(tǒng)轉(zhuǎn)換公式，x1以-x1代入4yhz=2Tcosα2sinα2HZ點在xoy系統(tǒng)的坐標。T為切線總長，其計算按相關(guān)教材公式，此略5d=AXa+BYa+CA2+B2點到直線距離計算6z=d-e橫凈距值計算 注：已知參數(shù)：R(曲線半徑，m)；α(平曲線轉(zhuǎn)角，rad)；L(緩和曲線長，m)；e(路中線與視點軌跡線距離，m)；S(行車視距，m)。

3 任一點橫凈距計算步驟

如圖1所示，B點與m點是對應(yīng)點，C點與n點是對應(yīng)點。為說明問題，本步驟設(shè)定視點起終點都在緩和曲線對應(yīng)的視點軌跡線上。而視點在直線或園曲線上時，坐標較容易計算。

① 根據(jù)已知參數(shù)及公式(1)分別計算出：β(緩和曲線轉(zhuǎn)角)、αy(園曲線轉(zhuǎn)角)、Ls(緩和曲線對應(yīng)視點軌跡線長度)、A2(回旋參數(shù))、Ly(園曲線長度)、Ly1(視點軌跡線園曲線長度)。

② 根據(jù)擬定的樁號確定B點對應(yīng)的緩和曲線長Lx。

③ 利用緩和曲線計算公式計算B點坐標(xb,yb)，計算B點切線角βx、切線斜率kb。

④ 利用公式(1)計算Lx對應(yīng)的視點軌跡線長Lx1

⑤ 建立過B點的法線方程和m(x1,y1)點到B點的距離方程：

⑥ 解方程組得m點的坐標(x1,y1)。

⑦ 根據(jù)Lx1從m點沿視點軌跡線量取視距S長度得到n點,n點的坐標(x2,y2)。

⑧ 利用公式(1)計算出n點的對應(yīng)點C點到HZ點的緩和曲線長度。

⑨ 利用緩和曲線計算公式計算C點坐標，計算C點切線角、切線斜率(同步驟(3))。

⑩ 建立過C點的法線方程和n(x2,y2)點到C點的距離方程(同步驟⑤)。

圖1 對稱基本型平曲線上任意點橫凈距的計算Figure 1 The calculation of the transverse spacing of any point on the symmetrical basic horizontal curves

4 算例

4.1 對稱基本型平曲線任一點橫凈距的計算

如圖1，以文獻[3]算例條件為例，設(shè)計參數(shù)：二級公路，設(shè)計速度Vd=60 km/h，路面寬B=7 m，平曲線半徑R=130 m，緩和曲線長度L=70 m，曲線轉(zhuǎn)角α=49°30′00″，采用會車視距S=150 m，假定m點在直線段，且距離ZHs為20 m。

① 根據(jù)已知參數(shù)及公式(1)計算出：β=0.2692；αy=0.3255；Ls=69.4615；A2=9100；Ly=42.3121；Ly1=41.6612。

② 因m點在直線段，則m點的坐標：(-20,2)。

③ 根據(jù)視距S確定及視點軌跡線各段長度算得n點到HZS點的曲線長度：

Lx2=50.5842。

④ 利用公式(1)計算出n點在緩和曲線對應(yīng)點C到HZ點的曲線長度：

Lx=50.8686。

⑤ 利用緩和曲線計算公式計算出C點坐標：(50.7658,2.4073)；C點切線角：βb=0.1422；C點切線斜率：kc=0.1432。

⑥ 建立過C點法線方程及n點到C點的距離方程：

⑦ 解得n點坐標：(50.4825,4.3871)。

⑧ 應(yīng)用緩和曲線要素計算公式計算切線總長：T=95.5675。

⑨ 利用公式(4)計算HZ點在xoy坐標系統(tǒng)的坐標為：(157.6364,72.6677)。

⑩ 利用公式(3)計算n點在xoy坐標系統(tǒng)的坐標為：(121.5136,37.1329)。

4.2 對稱基本型平曲線最大橫凈的計算

如圖2所示，仍以文獻[3]算例條件為例，采用停車視距S=75 m。

① 根據(jù)已知參數(shù)及公式(1)計算出：β=0.2692；αy=0.3255；Ls=69.4615；A2=9100；Ly=42.3121；Ly1=41.6612。

③ 利用公式(1)解方程計算對應(yīng)點B點對應(yīng)的緩和曲線長度Lx=53.102。

④ 利用緩和曲線坐標計算公式得B點坐標：(52.9746,2.7377)；

HY點坐標：(69.4943,6.2497)；

B點切線角：βb=0.1549；B點切線斜率：kb=0.1562。

⑤ 建立過B點法線方程及m點到B點距離方程：

(x1-52.974 6)2+(y1-2.737 7)2=4。

⑥ 解得m點坐標： (52.666,4.7135)。

⑦ 利用公式(2)計算的A點(QZ)坐標： (89.3422,13.5088)。

⑨mn直線方程：y-4.7135=0.461(x-52.666)。

⑩ 利用公式(5)計算A點到mn的距離：d=7.3676。

計算結(jié)果與文獻[3]相同。

圖2 對稱基本型平曲線最大橫凈距計算Figure 2 The calculation of the maximal transverse spacing on the symmetrical basic horizontal curves

5 橫凈距計算方法比較

本文提出的對稱基本型平曲線任一點橫凈距的計算方法與文獻[4]、[6]采用的計算方法的主要的區(qū)別是在視點與計算點確定的先后順序上及計算工作量上。文獻[4]、[6]采用先確定計算點再尋找視點算法重復(fù)計算工作量大，且精度與步長選取密切相關(guān)，而本文采用先確定視點再尋找計算點，只需一次計算就可獲得準確的橫凈距值。有研究者認為以計算點為基點尋找視點起終點符合工程設(shè)計與施工習慣，對此本文認為這樣的習慣并不合理，因為站在視點的位置更符合實際情況，而且本文計算方法也可以以視點為基點進行逐樁橫凈距計算并繪制視距包絡(luò)圖，因此本計算方法具有較多的優(yōu)點。對于對稱基本型平曲線最大橫凈距的計算，在算例2中可體現(xiàn)出比文獻[3]的計算方法有所簡化。

6 VB6程序計算橫凈距簡介

按照本文提出的計算方法利用VB6編制了程序進行橫凈距計算。表1為以算例1為條件的逐樁計算橫凈距的計算結(jié)果(見表2)。為了簡便，表1中以ZH點作為K0+000.000，“里程樁號”欄與“A點樁號”欄標注與ZH點距離，而在實際應(yīng)用中則標注樁號。

表2 橫凈距逐樁計算表Table2 Pilebypilecalculationofthetransversespacing中線里程樁號視點m坐標視點n坐標計算點A坐標XYXYXY橫凈距ZA點樁號—140—14021020183134910000050014113491—130—130219999214742661000140132842661—120—1202299926249697749800085041377498—110—1102399686317931199060031609321119907—100—100249904430531674050085917114167409—90 —90259760459843219986019527825220001—80 —802694811832192773310390841608277381—70 —7027899431139553385250711258264338659—60 —6028823871520224018451190676974402163—50 —5029715781971874663181863396868466989—40 —402105697124917653158327665117186532878—30 —302113812530756259705239329136973599383—20 —202121513637132966161253765154864665543—10 —1021288424439348725029711891695167313170 02135856851061279072929541799388005281099782018214261858413785787811933618539387269220199113214511491959659017924124149727185592945586

7 結(jié)論與展望

① 采用以先確定視點再尋找計算點的任一點橫凈距計算方法與目前采用的先確定計算點再尋找兩個視點的計算方法相比具有計算工作量小、計算結(jié)果精確、避免大量重復(fù)計算的優(yōu)點，是值得推廣的計算方法。

② 本計算方法的提出為計算復(fù)雜的平面線形組合的任意點橫凈距計算建立了良好的基礎(chǔ)。對于諸如緩和復(fù)曲線、C形曲線等比較復(fù)雜的組合，采用步長移動的方法尋找視點將會加大重復(fù)計算的次數(shù)、降低計算結(jié)果精度，而采用本文計算方法則會很好地解決上述問題。

③ 提高橫凈距計算結(jié)果的精度需要確定合理的視點軌跡線和提高橫凈距計算過程本身的精度兩方面，本文只是提高了橫凈距計算過程本身的精度，而對于如何確定合理的視點軌跡線還有待進行深入研究。目前采用的視點軌跡線與路中線等距平行屬于近似計算，文獻[4]所采用的緩和曲線視點軌跡線是否符合實際有待商榷。

④ 本計算方法編制的程序可快速、精確地計算各點的橫凈距，且界面簡單、操作方便，可為在道路設(shè)計與施工中校核橫凈距提供幫助。

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The New Algorithm Study on the Accurate Calculation of Transverse Spacing of Symmetrical Basic Horizontal Curves

FENG Yangfei

(Laboratory of Northeastem University College of Resources and Civil English Structural Engineer Research Institute)

The paper studies the calculation method of Transverse spacing in the light of the basic model of symmetrical plane curre andPut forward a new simplified calculation method of transverse spacing That can find quickly and accurately calculation point through applying the characteristic of convex curve symmetrical basic horizontal curves have and the slope of the line of sight,this calculation method can calculate the transverse spacing of any point on the horizontal curves. calculation It has been worken out that calculation program can calculate the transverse spacing of any point on the horizontal curves accurately using VB6.

transverse spacing； view trajectory； transition curve； coordinate system； slope

2014 — 12 — 12

馮陽飛(1962 — )，男，四川綿陽人，碩士，高級工程師，研究方向：道路工程。

U 412.34

A

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