林榮坤

摘要：對于二次函數(shù)的最值問題，我們在初中就開始接觸，而且也是初中的重要教學(xué)內(nèi)容，但也只是注重基礎(chǔ)，涉及的也是簡單的二次函數(shù)。隨著知識的加深，二次函數(shù)的最值問題涉及的內(nèi)容越發(fā)的廣泛與深奧。作為二次函數(shù)中最基本的問題——最值問題，本文將從簡易到復(fù)雜的知識進行剖析。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；最值

對于二次函數(shù)圖象的最值問題，重點關(guān)注的主要是圖象的對稱軸和所給自變量的區(qū)間（即定義域）的界定。而且掌握二次函數(shù)的最值問題，首先需要將二次函數(shù)的圖象形象的畫出來。然后根據(jù)圖象以及問題的條件界定來進行最值問題的求解。

一、二次函數(shù)的圖象

對于二次函數(shù)的圖象，我們需要找到二次函數(shù)的對稱軸，頂點以及開口方向，有時還需要界定某一到兩個特殊的線與x-y軸的交點，才能較為準(zhǔn)確的描繪出圖象。

二次函數(shù)的的表達式有頂點式，交點式以及三點式，其一般的表達式為y=ax?+bx+c（a≠0），此圖象的對稱軸，開口方向以及頂點都取決于這一般表達式中的a、b、c三個系數(shù)。最重要的是求解對稱軸，對稱軸的計算公式為x=-b/2a。

其一般圖形為：

二、二次函數(shù)圖象的最值

1、二次函數(shù)在界定區(qū)間上的最值問題（最簡單，直接的最值問題）

此類問題基本就是明確給定二次函數(shù)以及定義域區(qū)間的情況下，求最值的。解決方案就是找到此函數(shù)的對稱軸，看其與定義區(qū)間的關(guān)系，在判斷在此區(qū)間上函數(shù)的增減性，進而求出答案。

例如：已知二次函數(shù)y=x2-2x，求在區(qū)間[0，4]上的最值。

根據(jù)二次函數(shù)可以畫出圖象，對稱軸為x=1，草圖如下：

從圖中可以看出在區(qū)間[0，4]上，y值先遞減后遞增，在對稱軸x=1處取得最小值y=-1，在x=4處取得最大值y=8.

2、二次函數(shù)在不定區(qū)間上的最值問題（相對上一個，有些復(fù)雜，需要分類）

此類問題是在明確給定二次函數(shù)，但是其自變量的定義區(qū)間是變動的（存在未知數(shù)）情況下求解最值的。然而此類問題的解決方法就是通過明確給定的二次函數(shù)畫出圖象，再根據(jù)對稱軸與自變量的關(guān)系界定進行分類討論，最后分別判斷在此區(qū)間上的增減性，求得最值。

例如：已知二次函數(shù)y=x2/2-x-5/2，求在[t，t+1]上的最小值。

根據(jù)二次函數(shù)y=x2/2-x-5/2可以得出對稱軸x=1，圖象開口向上，再分類，畫草圖。

第一類：當(dāng)對稱軸x=1在所給區(qū)間的左側(cè)，即t≧1，草圖如下：

從圖中可以看出，在區(qū)間[t，t+1]上，函數(shù)遞增，最小值為x=t時，y=t2/2-t-5/2。

第二類：當(dāng)對稱軸x=1在所給區(qū)間的右側(cè)，即t+1≦1→t≦0，草圖如下：

從圖中可以看出，在區(qū)間[t，t+1]上，函數(shù)遞減，最小值為x=t+1時，y=t2/2-3。

第三類：當(dāng)對稱軸x=1在所給區(qū)間的內(nèi)，即t<1

從圖中可以看出，在區(qū)間[t，t+1]上函數(shù)先減后增，最小值為x=1時，y=-3。

若是還需求最大值，前兩種可以直觀的看出，而最后一種需要對比在x=t以及x=t+1時y值得大小。此時t的范圍還需劃分。

當(dāng)x1=t時，y1=t2/2-t-5/2，當(dāng)x2=t+1時，y2=t2/2-3

y1-y2=1/2-t，從式子中可以看出當(dāng)0

3、不確定的二次函數(shù)在固定區(qū)間下的最值問題

此問題是在明確給出定義域而二次函數(shù)存在未知系數(shù)（圖象不確定）的情況下，求最值的問題。此類問題可以先將二次函數(shù)有一般形式轉(zhuǎn)換為頂點式，找出其對稱軸，開口方向以及區(qū)間位置。最重要的是找到其對稱軸，然后根據(jù)未知系數(shù)分類進行求解，最后判斷增減性，求最值。

例如：已知二次函數(shù)y=bx2+4bx+b2-1，求在區(qū)間[-4，1]上的最大值。

根據(jù)二次函數(shù)y=bx2+4bx+b2-1，寫成頂點式y(tǒng)=b（x+2）2+b2-4b-1，可以看出對稱軸為x=-2，在區(qū)間[-4，1]上，只需根據(jù)圖象開口方向來判斷區(qū)間的最大值。

第一類：當(dāng)b=0時，y=-1，無最大最小值之說

第二類：當(dāng)b<0時，圖象開口向下，草圖如下：

從圖中可以看出，在區(qū)間[-4，1]上函數(shù)先增后減，最大值為當(dāng)x=-2時，y=b2-4b-1。

第三類：當(dāng)b>0時，圖象開口向上，草圖如下：

從圖中可以看出，在區(qū)間[-4，1]上函數(shù)先減后增，最大值為區(qū)間的臨界點，需要判定。

當(dāng)x1=-4時，y1=b2-1

當(dāng)x2=1時，y2=b2+5b-1

因為b>0，可以看出y1=b2-1

4、二次函數(shù)已知區(qū)間和最值求未知函數(shù)的系數(shù)（此類最為復(fù)雜，分類情況較多）

此類函數(shù)是在明確給出自變量區(qū)間，以及在區(qū)間內(nèi)最值得一個（最大或最?。蠼馕粗瘮?shù)的系數(shù)。此類問題通常不會給定對稱軸，因此需要進行分情況進行判定來求解，再根據(jù)其給出的最值來求出位置系數(shù)，此類問題通常的解有時會與條件分類的情況不相符，因此不要因為求出一個就大意，要注意情況與解的一致性。

例如：已知二次函數(shù)y=x2-2ax-1，已知函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最小值為-2，求a的值。

根據(jù)二次函數(shù)y=x2-2ax-1，寫成頂點式y(tǒng)=（x-a）2-a2-1，對稱軸為x=a，圖象開口向上，然后進行分類

第一類：當(dāng)a≦0時，畫出草圖如下：

從圖中可以看出，函數(shù)在區(qū)間[0，2]上是遞增的，最小值為當(dāng)x=0時，y=-1，與題中最小值為-2不相符。此分類舍棄。

第二類：當(dāng)a≧2時，畫出草圖如下：

從圖中可以看出，函數(shù)在區(qū)間[0，2]上是遞減的，最小值為當(dāng)x=2時，y=3-4a，因為題中給出最小值為-2，所以3-4a=-2求得a=5/4<2與條件不符的，舍棄。

第三類：當(dāng)0

從圖中可以看出，函數(shù)在區(qū)間[0，2]上是先減后增的，最小值為當(dāng)x=a時，y=-a2-1因為題中給出最小值為-2，所以-a2-1=-2求得a=1或者-1，再根據(jù)分類條件0

綜上得出a=1。

還存在第二種情況，圖象的開口方向與未知參數(shù)有關(guān)，則劃分情況求解釋更需注意。

例如：二次函數(shù)y=ax2-2ax-1，已知函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最小值為-2，求a的值。

先根據(jù)二次函數(shù)y=ax2-2ax-1，將其換算成頂點式為y=a（x-1）2-a-1，可以得知對稱軸為x=1，但開口方向不確定，需要分類進行求解。

第一類：當(dāng)a=0時，y=-1與已知條件不相符，舍棄。

第二類：當(dāng)a>0時，可以畫出草圖：

從圖中可以看出，在區(qū)間[0，2]函數(shù)先減后增，最小值為對稱軸即x=1時的y=-a-1，由已知條件最小值為-2，得出a的值為1，符合條件a>0。

第三類：當(dāng)a<0時，可以畫出草圖：

從圖中可以看出，在區(qū)間[0，2]上函數(shù)先增后減，最小值為區(qū)間端點值，需要進行比較。當(dāng)x=0時，y=-1；當(dāng)x=2時，y=-1，而此種情況下，最小值只能是-1，與已知條件相違背，舍棄。

所以綜上得出a=1。

對于這兩道題相對來說簡單，要么給定了開口方向，要么給定了對稱軸而且區(qū)間端點關(guān)于對稱軸對稱。但是有時題中既不會給定對稱軸也不給定開口方向，就需要結(jié)合這兩道題綜合考慮未知系數(shù)的值，題目就會相對復(fù)雜。你只需要找準(zhǔn)全部的區(qū)間，并且針對分類情況，將所有的值求出即可。

通過剖析二次函數(shù)圖象的最值問題，可以看出關(guān)鍵點在于圖象的對稱軸以及區(qū)間的界定，以及在分情況求解中條件的限定。其實對于二次函數(shù)圖象的最值問題，能畫出大概的草圖會有利于對于最值的把握，但是也不能一概而論，畢竟是草圖，不能主觀判斷。記住這幾點，然后在求解二次函數(shù)的圖象的最值問題時就會顯得游刃有余。

參考文獻：

[1]黃庭柏.淺談如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好二次函數(shù)[A].國家教師科研專項基金科研成果（華聲卷2）[C].2015

[2]馮法.淺談二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的重要作用[A].2015年9月現(xiàn)代教育教學(xué)探索學(xué)術(shù)交流會論文集[C].2015

[3]吳選根.26.3實際問題與二次函數(shù)（4）[A].2012年河北省教師教育學(xué)會教學(xué)設(shè)計主題論壇論文集[C].2012

[4] 史建軍.一道最值問題的推廣、完善與另解[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究. 2016

[5] 施倫.軌跡法求一類線段的最值[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版）. 2016

[6] 蔣飛. 二次函數(shù)常見錯誤剖析[J]. 數(shù)學(xué)大世界（初中版）2014年