樊順厚，馬 娟 ?，常 浩,2

(1.天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津 300387；2.天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072)

Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型下的資產(chǎn)負(fù)債管理問題*

樊順厚1，馬 娟1 ?，常 浩1,2

(1.天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津 300387；2.天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072)

應(yīng)用隨機(jī)最優(yōu)控制方法研究Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型下帶有負(fù)債過程的動(dòng)態(tài)投資組合問題，其中假設(shè)股票價(jià)格服從Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型，負(fù)債過程由帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)所驅(qū)動(dòng).金融市場(chǎng)由一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成.應(yīng)用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和變量替換法得出了上述問題在冪效用和指數(shù)效用函數(shù)下最優(yōu)投資策略的顯示解，并給出數(shù)值算例分別分析了市場(chǎng)參數(shù)在冪效用和指數(shù)效用函數(shù)下對(duì)最優(yōu)投資策略的影響.

金融學(xué)；最優(yōu)投資策略；動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理；資產(chǎn)-負(fù)債管理

1 引 言

資產(chǎn)-負(fù)債管理是研究投資過程中帶有負(fù)債因素的投資組合選擇問題，它將資金分散投資在多種資產(chǎn)中來實(shí)現(xiàn)資產(chǎn)的最優(yōu)配置，從而確定最優(yōu)投資策略和度量風(fēng)險(xiǎn).1952年，Markowitz[1]提出了著名的均值-方差模型，為現(xiàn)代投資組合選擇問題奠定了理論基礎(chǔ).隨著經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，金融投資環(huán)境面臨著許多不確定性的影響因素，比如連續(xù)時(shí)間、多期、可控或者不可控的內(nèi)生負(fù)債、不確定終止時(shí)間等等.與此同時(shí)，許多學(xué)者從投資的角度對(duì)資產(chǎn)-負(fù)債管理問題進(jìn)行了深入研究，并應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論分析面臨負(fù)債的投資者在特定決策目標(biāo)下的最優(yōu)投資組合策略.姚海祥等人[2]研究了不確定退出時(shí)間下帶內(nèi)生負(fù)債的多期均值-方差準(zhǔn)則下的資產(chǎn)-負(fù)債管理問題,并應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理、Lagrange對(duì)偶理論和矩陣Hadamard乘積技術(shù)得到最優(yōu)投資策略和有效前沿的顯示表達(dá)式.Chiu和Wong[3]研究了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)回報(bào)和保險(xiǎn)索賠方面的均值-方差準(zhǔn)則下的資產(chǎn)-負(fù)債管理問題，并應(yīng)用Lagrangian法和最優(yōu)反饋控制理論得到最優(yōu)投資策略的閉式解和有效前沿.Zeng和Li[4]研究了跳擴(kuò)散市場(chǎng)下均值-方差準(zhǔn)則下的資產(chǎn)-負(fù)債管理問題，并應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論和對(duì)偶理論得到最優(yōu)投資組合策略和有效前沿的顯示解.常浩和常凱[5]研究了引入負(fù)債因素到借貸限制下的均值-方差準(zhǔn)則下投資組合選擇問題，并應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論和Lagrange對(duì)偶理論得到最優(yōu)投資策略和有效前沿的顯示解.曾艷等人[6]研究了連續(xù)時(shí)間不完備環(huán)境下資產(chǎn)價(jià)值與負(fù)債價(jià)值之比的期望效用最大化問題，并應(yīng)用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論得到冪效用函數(shù)下最優(yōu)投資策略的解析表達(dá)式.常浩和榮喜民[7]研究了在負(fù)債情形下基于冪效用函數(shù)、指數(shù)效用函數(shù)和對(duì)數(shù)效用函數(shù)的投資組合問題，并應(yīng)用最優(yōu)控制理論和Legendre變換-對(duì)偶理論得到最優(yōu)投資策略的顯示表達(dá)式.而常浩[8]研究了CIR利率模型下的資產(chǎn)-負(fù)債管理問題，并應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和Legendre變換法得到二次效用函數(shù)下最優(yōu)投資策略的閉式解.這些成果都是在常數(shù)波動(dòng)率的假設(shè)下取得的，在實(shí)際的投資環(huán)境中，股票價(jià)格會(huì)受到許多不確定性因素的影響，其波動(dòng)率往往不是一個(gè)常數(shù)，而是隨機(jī)變化的，上述成果在隨機(jī)波動(dòng)率環(huán)境下的應(yīng)用都有一定的局限性.

早在1993年，Heston[9]通過實(shí)證分析提出了一種隨機(jī)波動(dòng)率模型，并且廣泛地應(yīng)用到債券和期權(quán)定價(jià)問題中.如今，Heston隨機(jī)波動(dòng)率作為隨機(jī)波動(dòng)率中的主流模型，已經(jīng)被學(xué)界和業(yè)界廣泛采用.Heston模型與其他隨機(jī)波動(dòng)率模型比較，優(yōu)勢(shì)在于其有計(jì)算效率和穩(wěn)健性，而其他一些隨機(jī)波動(dòng)率模型的缺點(diǎn)是不存在顯性解.更為重要的是Heston模型可以彌補(bǔ)Black-Scholes模型的不足，并且其提供的定價(jià)模型更貼近實(shí)際.李靜和周嶠[10]研究了Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型下的期權(quán)定價(jià)問題，修正了Black-Scholes模型下波動(dòng)率為常數(shù)的不合理性.王愫新等人[11]研究了Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型下的保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資組合問題，并得到最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)策略.張初兵等人[12]研究了Heston模型下確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略問題，并應(yīng)用變量分離法得到冪效用函數(shù)下最優(yōu)投資策略的顯示解.常浩[13]研究了Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型下的動(dòng)態(tài)投資組合問題，并應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理得到冪效用函數(shù)和指數(shù)效用函數(shù)下最優(yōu)投資策略的顯示解.Zhao等人[14]研究了Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型下帶跳擴(kuò)散模型的超額損失再保險(xiǎn)問題，并應(yīng)用最優(yōu)控制理論得到指數(shù)效用函數(shù)下最優(yōu)投資策略的精確解.上述這些模型都沒有考慮投資人面臨的負(fù)債因素.在Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型框架下考慮投資人所面臨的負(fù)債環(huán)境，由此而確定的最優(yōu)投資策略將會(huì)更加符合實(shí)際的投資環(huán)境.

擬在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上引入負(fù)債因素，并假設(shè)負(fù)債過程服從帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格滿足Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型.金融市場(chǎng)由一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成.首先，應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理得到效用最大化下值函數(shù)所滿足的HJB方程.然后，假設(shè)投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度分別滿足冪效用函數(shù)和指數(shù)效用函數(shù)，進(jìn)而研究兩種效用函數(shù)下的最優(yōu)投資策略.最后，應(yīng)用分離變量法和變量代換法得到兩種效用函數(shù)下最優(yōu)投資策略的顯示表達(dá)式，并給出算例分析了市場(chǎng)參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資策略的影響.

本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)有：(1)在常浩[13]的市場(chǎng)模型的基礎(chǔ)上引入負(fù)債因素，研究了Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型下的動(dòng)態(tài)投資組合問題；(2)應(yīng)用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和變量替換法得出了冪效用和指數(shù)效用函數(shù)下最優(yōu)投資策略的顯示解；(3)將現(xiàn)有的資產(chǎn)-負(fù)債管理問題拓展到Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型中.

2 問題框架

dS0(t)=rS0(t)dt，

(1)

其中r是正常數(shù)，表示債券的無風(fēng)險(xiǎn)利率.

(2)

(3)

其中k，θ，σ，η都是正常數(shù).

(4)

其中a，b均是正常數(shù).

(5)

將式(1)、式(2)、式(4)代入式(5)，經(jīng)整理可得

(6)

(7)

3 最優(yōu)投資策略

假設(shè)值函數(shù)可以由下式表示：

(8)

由最大化問題的必要條件可得：

(9)

將式(9)代入式(8)，經(jīng)整理可得

(10)

3.1 冪效用

冪效用下式(10)解的結(jié)構(gòu)可設(shè)為：

(11)

(12)

將式(12)中的各階偏導(dǎo)數(shù)代入式(10)，經(jīng)整理可得

上式消除對(duì)x的依賴，可得下列三個(gè)方程：

(13)

(14)

ρ2=1.

(15)

(16)

(17)

其中m1和m2分別由式(26)和式(27)給出.

(18)

(19)

其中m3由式(28)給出.

(20)

(21)

其中m3由式(28)給出.

上式消除對(duì)v的依賴，可得下列兩個(gè)常微分方程：

.

(22)

(23)

將式(22)寫成如下形式：

(24)

(25)

其判別式為：

考慮到Δ1>0，Δ1=0或Δ1<0時(shí)，方程(25)有不同的解，從而方程(24)也有不同的解.下面分三種情況加以討論.

所以β應(yīng)滿足條件：

(26)

(27)

由式(24)進(jìn)一步可以得到

求解上式可得式(17)成立.由式(23)可得式(16)成立.

第二種情況：當(dāng)Δ1=0時(shí)，

則求得方程式(25)的解為：

(28)

由式(24)可以得到

求解上式可得式(19)成立.由式(23)可得式(18)成立.

求解上式可得式(21)成立.由式(23)可得式(20)成立.證畢.

考慮到ρ2=1，上式消除對(duì)v的依賴可得下列兩個(gè)微分方程：

(29)

(30)

解方程(29)和(30)得到：

(31)

(32)

證畢.

由式(12)，我們得到

綜上所述，冪效用函數(shù)下問題(7)的最優(yōu)投資策略可以總結(jié)如下．

(33)

3.2 指數(shù)效用

(34)

將式(34)中各階偏導(dǎo)數(shù)代入式(10)，經(jīng)整理可得

考慮到ρ2=1，上式消除對(duì)x的依賴可得下列兩個(gè)微分方程：

(35)

(36)

由式(35)可以求得

(37)

(38)

(39)

上式消除對(duì)v的依賴可得下列兩個(gè)微分方程：

(40)

(41)

解方程式(40)可得

即式(39)成立.由式(41)可得式(38)成立.證畢.

考慮式(34)，我們得到

綜上所述，指數(shù)效用函數(shù)下問題(7)的最優(yōu)投資策略可以總結(jié)如下：

(42)

4 數(shù)值算例

本節(jié)給出一些數(shù)值計(jì)算結(jié)果來分析市場(chǎng)參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資組合策略的影響，假設(shè)市場(chǎng)參數(shù)的取值如下：a=0.6，b=0.8，X0=100,r0=0.05，T=10,t=0，k=3，σ=1，β=-1，ρ=1，θ=0.05，v0=1，η=0.6，γ=0.02.

首先，應(yīng)用上述數(shù)值算例分析市場(chǎng)參數(shù)對(duì)冪效用函數(shù)下的最優(yōu)投資策略的影響，考慮到Heston隨機(jī)波動(dòng)率和股票價(jià)格之間的相關(guān)性，本文僅對(duì)正相關(guān)情形下的最優(yōu)投資策略進(jìn)行分析.基于定理1的結(jié)論采用Wolfram Mathematica 9作圖如圖1所示：

圖1 冪效用函數(shù)下市場(chǎng)參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資策略的影響

從圖1中可以看出：

其次，應(yīng)用上述算例分析市場(chǎng)參數(shù)對(duì)指數(shù)效用函數(shù)下的最優(yōu)投資策略的影響.指數(shù)效用函數(shù)下風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子為γ，相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為γX，我們?nèi)ˇ?0.02.基于定理2的結(jié)論如圖2所示.

圖2 指數(shù)效用函數(shù)下市場(chǎng)參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資策略的影響

從圖2中可以看出：

5 結(jié) 論

[1] H MARKOWITZ. Portfolio selection[J]. Journal of Finance, 1952, 7(1): 77-91.

[2] 姚海祥,馬慶華,姜靈敏.帶內(nèi)生負(fù)債的不確定終止時(shí)間多期均值-方差資產(chǎn)-負(fù)債管理[J].控制理論與應(yīng)用,2013, 30(2): 249-253.

[3] M C CHIU, H Y WONG. Mean-variance asset-liability management with asset correlation risk and insurance liabilities[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2014, 59(1): 300-310.

[4] Y ZENG, Z F LI. Asset-liability management under benchmark and mean-variance criteria in a jump diffusion market[J]. Journal of Systems Science & Complexity, 2011, 24(2): 317-327.

[5] 常浩,常凱.借貸利率限制下資產(chǎn)-負(fù)債管理問題的均值-方差模型[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2012, 42(18): 52-62.

[6] 曾艷,李仲飛,朱書尚等.基于CRRA效用準(zhǔn)則的資產(chǎn)負(fù)債管理[J].中國管理科學(xué),2014, 22(10): 1-8.

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[10]李靜,周嶠.Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型下一類多資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2012, 27(3)：320-326.

[11]王愫新,榮喜民,趙慧. Heston模型下保險(xiǎn)公司與再保險(xiǎn)公司的博弈[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2016, 33(1): 1-16.

[12]張初兵,榮喜民,侯如靖等.Heston模型下確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的投資組合優(yōu)化[J].系統(tǒng)工程,2012, 30(12): 39-44.

[13]常浩.Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型下的動(dòng)態(tài)投資組合[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2013, 30(2): 48-54.

[14]H ZHAO, X M RONG, Y G ZHAO. Optimal excess-of-loss reinsurance and investment problem for an insurer with jump-diffusion risk process under the Heston model[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2013, 53(3): 504-514.

Asset-Liability Management Problem under the Heston’s Stochastic Volatility Model

FAN Shun-hou1,MA Juan1?,CHANG Hao1,2

(1. School of Science, Tianjin Polytechnic University, Tianjin 300387, China; 2. College of Management and Economics, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

The stochastic optimal control theory was used to study a dynamic portfolio selection problem with liability process under the Heston's stochastic volatility model. Stock price was assumed to be governed by the Hestonmodel, and the liability process was supposed to be driven by the drifted Brownian motion. The financial market consists of one risk-free asset and one risky asset. The explicit solutions to the optimal investment strategies under power utility and exponential utility were obtained by using stochastic dynamic programming principle and variable separation method. Finally, a numerical example was given to illustrate the effect of market parameters on the optimal investment strategy.

finance;optimal investment strategy; dynamic programming principle; asset-liability management

2016-02-26

中國博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào): 2014M560185, 2016T90203),天津市自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào): 15JCQNJC04000), 教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào): 16YJA790004)

簡介：馬 娟(1991—)，女，天津人，碩士研究生E-mail:maxiaojuanforever@163.com

F832.48 O211.6

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