余國勝，賀小麗，姚春臨，熊 昕

(江漢大學 數(shù)學與計算機科學學院，湖北 武漢 430056)

馬氏調(diào)制費率復合Poisson-Geometric風險模型的預警區(qū)問題*

余國勝，賀小麗，姚春臨，熊 昕

(江漢大學 數(shù)學與計算機科學學院，湖北 武漢 430056)

考慮了一類具有馬氏調(diào)制費率的復合Poisson-Geometric過程風險模型，充分利用盈余過程的強馬氏性，得到第一個預警區(qū)的一個條件矩母函數(shù)所滿足的微積分方程，并進一步在兩狀態(tài)情形下，當理賠額的分布為指數(shù)分布時得到了第一個預警區(qū)的一個條件矩母函數(shù)的具體表達式以解釋結果.需要特別指出的是，所研究模型的盈余過程不具有平穩(wěn)增量性，只能充分運用盈余過程的強馬氏性，研究了一類具有馬氏調(diào)制費率的復合Poisson-Geometric過程風險模型的預警區(qū)問題，豐富了保險公司對預警區(qū)問題的研究，對保險公司考慮財務預警系統(tǒng)以及保險監(jiān)管部門設計某些監(jiān)管指標系統(tǒng)具有一定的參考指導價值.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計；條件矩母函數(shù)；微積分方程；馬氏調(diào)制；預警區(qū)；復合Poisson-Geometric風險模型

1 引 言

破產(chǎn)概率問題是風險理論研究中的核心問題之一，可以為保險公司決策者提供一個早期的風險預警.風險理論中的“破產(chǎn)”并不意味著保險公司真正破產(chǎn)，只是保險公司面臨著暫時的財務危機，假如保險公司可以從外部(或公司內(nèi)部各業(yè)務之間)得到幫助，使其在未來的某個時間從負盈余狀態(tài)恢復過來實現(xiàn)扭虧為盈的時間稱為預警區(qū).鐘朝艷(2012)研究了一類復合Poisson-Geometric風險模型下預警區(qū)問題，得到第一個預警區(qū)的一個條件矩母函數(shù)所滿足的微積分方程，并在指數(shù)理賠情形下給出其精確解[1].鐘朝艷(2014)將利率因素引入一復合Poisson-Geometric風險模型，得到第一預警區(qū)的一個條件矩母函數(shù)所滿足的微積分方程，并在指數(shù)理賠的特殊假設下得到其精確解[2].崔巍和余旌胡(2012)討論了一類推廣的復合Poisson-Geometric風險模型的預警區(qū)問題，此模型保費收入過程是復合Poisson過程，理賠次數(shù)過程是Poisson-Geometric過程[3].近年來，馬氏調(diào)制費率的風險模型引起了學者們的廣泛關注.向陽和劉再明(2002)討論了具有馬氏調(diào)制費率的復合Poisson風險模型，對于給定的初始狀態(tài)和初始分布，給出了條件破產(chǎn)概率ψi(u)和最終破產(chǎn)概率ψ(u)所滿足的積分方程，并給出了零初始資產(chǎn)時破產(chǎn)概率ψ(0)的明確表達式[4].受此啟發(fā)，考慮一類具有馬氏調(diào)制費率的復合Poisson-Geometric過程風險模型，充分利用盈余過程的強馬氏性，得到第一個預警區(qū)的一個條件矩母函數(shù)所滿足的微積分方程，并進一步在兩狀態(tài)情形下，當理賠額的分布為指數(shù)分布時得到了第一個預警區(qū)的一個條件矩母函數(shù)的具體表達式以解釋結果.

2 風險模型

定義2.1 設(Ω,F,P)是一個完備的概率空間，以后涉及的所有隨機過程(變量)都定義在這個空間上.為此討論具有馬氏調(diào)制費率的復合Poisson-Geometric過程風險模型.具體模型如下.

3)N(t)是在時間(0,t]內(nèi)保險公司發(fā)生的理賠次數(shù)，{N(t)}t≥0是參數(shù)為λ,ρ的復合Poisson-Geometric過程.

T1=inf {t>0;U(T+t)>0}.

對于r≥0,z>0,可定義第一預警區(qū)T1的一個條件矩母函數(shù)Φi(-z,0,r)如下：

Φi(-z,0,r)=E[e-rT1|JT=i,U(T)=-z,U(0)=u]=Eu[e-rT1|JT=i,U(T)=-z].

3 預備知識及引理

為此先介紹Poisson-Geometric過程的定義如下：

定義3.1[5]設λ>0,0≤ρ<1,稱{N(t),t≥0}為參數(shù)為λ,ρ的復合Poisson-Geometric過程，如果滿足：

1)N(0)=0;

2) {N(t),t≥0}具有獨立平穩(wěn)增量；

P{N(t)=0}=e-λt=1-λt+ο(t),

P{N(t)=k}=αρkt+Ak(t)ο(t),k=1,2,….

4 Φi(-z,0,r)的微積分方程

定理4.1 記

為理賠分布FX(x)的n重卷積，其密度函數(shù)f(x)的n重卷積記為

則有

對于上述風險模型，初始狀態(tài)為i的Φi(-z,0,r)滿足如下微積分方程：

(4.1)

(4.2)

將式(4.2)變形可得

(4.3)

根據(jù)引理3.1有，式(4.3)中各項級數(shù)均一致收斂，由單調(diào)收斂定理可知∫可以與∑交換次序，于是在兩邊同除以Cidt,并令dt→0,整理后可以得到

(4.4)

故有

是參數(shù)為(1-ρ)β的指數(shù)分布的概率密度.顯然p12=p21=1,此時式(4.1)即為

(4.5)

用s代換-z-x有

(4.6)

將式(4.6)兩邊關于-z取偏導，結合式(4.5)整理可得

(4.7)

同理可得

(4.8)

令

L(-z)=(Φ1(-z,0,r),Φ2(-z,0,r),

其中T表示轉(zhuǎn)置.則由式(4.7)和(4.8)有

L′(-z)=CL(-z).

其中

其中Aj是常系數(shù).由安全負荷條件及邊界條件

Φ1(0,0,r)=1,Φ2(0,0,r)=1,

Φ1(-z,0,0)=1,Φ2(-z,0,0)=1.

可知

(4.9)

由式(4.9)可得

其中

由此可得

從而可以確定A1,A2,A3,A4.

5 結 論

充分利用盈余過程的強馬氏性，運用有別于傳統(tǒng)鞅方法的方法，討論了一類具有馬氏調(diào)制費率的復合Poisson-Geometric過程風險模型的預警區(qū)問題，得到第一個預警區(qū)的一個條件矩母函數(shù)所滿足的微積分方程，并進一步在兩狀態(tài)情形下，當理賠額的分布為指數(shù)分布時給出其精確解，豐富了保險公司對預警區(qū)問題的研究，對保險公司考慮財務預警系統(tǒng)以及保險監(jiān)管部門設計某些監(jiān)管指標系統(tǒng)具有一定的參考指導價值.

[1] 鐘朝艷. 復合Poisson-Geometric 風險模型的預警區(qū)問題[J].經(jīng)濟數(shù)學，2012，29(2):83-86.

[2] 鐘朝艷. 一類常利率復合Poisson-Geometric 風險模型的預警區(qū)問題[J].西南師范大學學報(自然科學版)2014，39(3):36-40.

[3] 崔巍，余旌胡. 一類推廣的復合Poisson-Geometric 風險模型下預警區(qū)問題的研究[J]. 數(shù)學物理學報，2012，32A(1):27-40.

[4] 向陽，劉再明. 具有馬氏調(diào)制費率的復合Poisson風險模型的破產(chǎn)概率[J]. 經(jīng)濟數(shù)學，2002，19(4):47-51.

[5] 毛澤春，劉錦萼.索賠次數(shù)為復合Poisson-Geometric過程的風險模型及破產(chǎn)概率[J].應用數(shù)學學報，2005，28(3):419-428.

Duration of Negative Surplus for Compound Poisson-Geometric Risk Model with Markov-Modulated Premium Rates

YU Guo-sheng, HE Xiao-li, YAO Chun-lin, XIONG Xin

(School of Mathematics and Computer Science,Jianghan University,Wuhan 430056,China)

The duration of negative surplus for compound Poisson-Geometric risk model with Markov-modulated premium rates is considered. By taking full advantage of the strong Markov property of the surplus process, an integral-differential equation of a conditional moment generating function for the first duration of negative surplus has been obtained. Under the two states model, when the claim is exponential distribution, the explicit expression of a conditional moment generating function for the first duration of negative surplus is given to illustrate the results. Particularly wish to point out, the surplus process of the research model is not stable and incremental, the strong Markov property of the surplus process can be fully used, the problem of the duration of negative surplus for compound Poisson-Geometric risk model with Markov-modulated premium rates is researched for the first time. It has enriched the insurance companies to the study of the duration of negative surplus. It has a certain reference value to consider the financial early warning system for insurance companies and to design certain supervision index system for insurance supervision department.

probability and mathematical statistics; conditional moment generating function;integral-differential equation; Markov-modulated; Duration of negative surplus; compound Poisson-Geometric risk model

2015-12-30

武漢市市屬高校教學研究項目(2015057)資助

簡介：賀小麗(1994—)，女，湖北省老河口人，本科生E-mail:guosyujianghanun@126.com

O211.6

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