吳禮斌，張曉芳

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)量經(jīng)濟(jì)研究所，安徽蚌埠 233030）

基于廣義雙曲線分布的人民幣匯率波動(dòng)性研究

吳禮斌，張曉芳

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)量經(jīng)濟(jì)研究所，安徽蚌埠 233030）

針對(duì)人民幣匯率的波動(dòng)性問(wèn)題，運(yùn)用廣義雙曲線分布，對(duì)2006年1月4日到2015年7月24日美元兌人民幣匯率的波動(dòng)特征進(jìn)行實(shí)證分析。研究認(rèn)為，人民幣匯率不僅具有顯著的“尖峰厚尾”特點(diǎn)，而且具有波動(dòng)的非對(duì)稱性和集群性特征，同時(shí)發(fā)現(xiàn)GH分布能較為準(zhǔn)確地描述和呈現(xiàn)美元兌人民幣匯率收益率波動(dòng)狀況的分布情況。

人民幣匯率；廣義雙曲線分布；波動(dòng)性；波動(dòng)率過(guò)濾模型

匯率波動(dòng)是匯率動(dòng)態(tài)行為的重要組成部分，該問(wèn)題國(guó)外學(xué)者做了諸多研究。Meyer等［1］借助SV模型對(duì)英鎊匯率的波動(dòng)特征進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)英鎊匯率波動(dòng)性存在著杠桿效應(yīng)；Bollerselv［2］針對(duì)馬克和日元的匯率波動(dòng)特征和相關(guān)性等問(wèn)題，運(yùn)用GARCH模型進(jìn)行了研究，在方法應(yīng)用上，他考慮標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（Normal）和廣義差分分布（GED）等其他更為一般的分布形式下的GARCH模型，而不限于樣本分布；Kilic［3］在具有正態(tài)逆高斯（NIG）分布的FIGARCH模型下研究了英鎊、加元、歐元、日元、馬克和法郎等匯率的條件波動(dòng)特征，將結(jié)果與正態(tài)分布和t分布等不同分布形式下的GARCH模型和FIGARCH模型進(jìn)行比較，分析得出具有NIG分布的FIGARCH模型具有更好的擬合優(yōu)度。

長(zhǎng)期以來(lái)，中國(guó)實(shí)行盯住美元的匯率政策，故關(guān)于人民幣匯率的波動(dòng)性特征的研究相對(duì)較少。2005年7月21日中國(guó)匯率制度改革后，學(xué)術(shù)界對(duì)匯率問(wèn)題的研究增多，學(xué)者們不僅研究人民幣匯率對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)和微觀經(jīng)濟(jì)的影響及其動(dòng)態(tài)特征，還關(guān)注其波動(dòng)特性。曹紅輝等［4］在隨機(jī)游走模型下研究了境外人民幣無(wú)本金交割遠(yuǎn)期匯率的高頻日匯率，并借助ARCH族模型對(duì)估計(jì)的殘差序列進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)境外人民幣無(wú)本金交割遠(yuǎn)期匯率序列具有“尖峰厚尾”和波動(dòng)集聚等特征；駱珣等［5］運(yùn)用GARCH模型對(duì)美元兌人民幣匯率日度數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合，研究表明GARCH模型能夠較好地呈現(xiàn)匯率制度改革后人民幣匯率的條件波動(dòng)性，而且中國(guó)外匯市場(chǎng)存在ARCH效應(yīng)；夏強(qiáng)等［6］基于雙門限非對(duì)稱GARCH模型對(duì)美元兌人民幣和非美元貨幣兌人民幣匯率均值和波動(dòng)過(guò)程的非對(duì)稱特征做了比較，研究表明非美元貨幣兌人民幣匯率的均值和波動(dòng)過(guò)程均呈現(xiàn)出非對(duì)稱特征；張欣等［7］研究了非人民幣匯率的波動(dòng)特征的對(duì)稱隨機(jī)波動(dòng)模型，結(jié)果表明它能夠較好地描述美元兌人民幣匯率的波動(dòng)過(guò)程中的時(shí)變性、持續(xù)性和非對(duì)稱性等特征；宮舒文［8］運(yùn)用GARCH族模型對(duì)美元兌人民幣匯率序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)特征分析，并建立模型分析匯率走勢(shì)狀況，發(fā)現(xiàn)美元兌人民幣匯率具有集群性、非對(duì)稱性和杠桿效應(yīng)等特征。

關(guān)于匯率波動(dòng)特征的建模方法有很多，大多數(shù)研究是圍繞GARCH族模型和SV（隨機(jī)波動(dòng)）族模型來(lái)展開的。由于廣義雙曲線（以下簡(jiǎn)稱GH）分布更適合刻畫具有尖峰、厚尾、有偏等特點(diǎn)的匯率序列，它不僅能夠很好地描述匯率收益率的“真實(shí)分布”，而且能顯現(xiàn)匯率波動(dòng)的相關(guān)特性，因此本文運(yùn)用GH分布研究美元兌人民幣匯率收益率序列的波動(dòng)特性。

一、理論模型

（一）常用擾動(dòng)項(xiàng)分布

金融時(shí)間序列，特別是金融資產(chǎn)的收益率序列往往具有時(shí)變性、厚尾性等特點(diǎn)，波動(dòng)聚集現(xiàn)象明顯，人民幣匯率數(shù)據(jù)亦是如此。為了刻畫人民幣匯率收益率序列的這些特征，Engle和Bollerselv等人提出并發(fā)展了ARCH和GARCH模型，模型利用過(guò)去歷史未預(yù)期到的殘差平方的移動(dòng)平均來(lái)捕獲序列的條件異方差性。對(duì)波動(dòng)率模型進(jìn)行估計(jì)時(shí)，假設(shè)殘差分布為正態(tài)分布不能有效地解釋人民幣匯率序列的尖峰厚尾現(xiàn)象，常用的兩類厚尾分布分別為廣義誤差分布（GED）和學(xué)生t分布［9］。

1.廣義誤差分布（GED）

均值為0、方差為1的廣義誤差分布概率密度函數(shù)為：

其中，x表示觀測(cè)值變量，ω是尺度參數(shù)，且ω＝［2（-2*v）Γ（1/v）/Γ（3/v）］0.5，Γ（·）為伽馬函數(shù)，v是尾部厚度參數(shù)。這里，參數(shù)v控制著分布的形式，v值不同，對(duì)應(yīng)的分布形式也不同。當(dāng)v＝2時(shí)，GED為正態(tài)分布；v＜2時(shí)，GED的尾部比正態(tài)分布?。划?dāng)v＞2時(shí)，GED的尾部比正態(tài)分布厚，特殊的，當(dāng)v→∞時(shí)為上的均勻分布。

2.學(xué)生t分布

學(xué)生t分布的密度函數(shù)為

其中，n稱為t分布的自由度。t分布的尾部比正態(tài)分布厚，可以用來(lái)描述分布的厚尾特征，但較之正態(tài)分布，t分布不具有較為良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。

（二）波動(dòng)率過(guò)濾模型

金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)通常表現(xiàn)出序列相關(guān)性，但對(duì)數(shù)據(jù)的擬合要求其服從獨(dú)立同分布條件，因此在進(jìn)行擬合之前，對(duì)具有序列相關(guān)性的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行過(guò)濾，使過(guò)濾后的數(shù)據(jù)滿足獨(dú)立同分布條件［10］。

本文利用ARMA＋GARCH聯(lián)合模型對(duì)收益率序列進(jìn)行過(guò)濾。ARMA＋GARCH聯(lián)合模型由條件均值和條件方差兩部分構(gòu)成，自回歸移動(dòng)平均（ARMA）模型反映序列的條件均值，廣義自回歸條件異方差（GARCH）系列模型刻畫序列的條件方差。文中采用ARMA＋GARCH、ARMA＋EGARCH和ARMA＋GJR-GARCH3種模型，在這3個(gè)模型中，條件均值模型ARMA（p，q）均可表示為

式中，xt表示時(shí)間序列變量，φ0是常數(shù)項(xiàng)，i，j分別是xt-i，εt-j的滯后階數(shù)，φi是自回歸參數(shù)，θi是移動(dòng)平均項(xiàng)的系數(shù)，εt是一個(gè)白噪聲過(guò)程，表示擾動(dòng)項(xiàng)，p、q分別是自回歸項(xiàng)和移動(dòng)平均項(xiàng)的階數(shù)，均為非負(fù)整數(shù)。

條件方差模型分別為

第一，GARCH（m，n）：

其中σt表示條件方差，且有，αi≥0（i＝1，…，n）；βj≥0（j＝1，…，m），且分別為ARCH項(xiàng)εt-i和GARCH項(xiàng)σt-j的系數(shù)參數(shù)，，對(duì)系數(shù)的約束保證了序列｛xt｝是一個(gè)二階平穩(wěn)過(guò)程；α是常數(shù)。

第二，EGARCH（m，n）：

其中，αi＝（i＝1，…，m），βj（j＝1，…，n），g（·）滿足Et-1（g（εt））＝0，θ、γ是系數(shù)。

第三，GJR-GARCH（m，n）：

其中αi，βi，ci均為參數(shù)，αi＞0（i＝1，…，n）；βj＞0（j＝1，…，m）；αi＋ci≥0。

（三）GH分布族

匯率收益率的變化是一個(gè)單變量的時(shí)間序列，研究和討論匯率收益率的非線性特性首先要解決的問(wèn)題是如何捕捉其中所含的非線性的信息。由林清泉等［9］的研究可以得出，GH分布可以有效地補(bǔ)償線性模型中假設(shè)收益率序列服從正態(tài)分布所導(dǎo)致的擬合和估計(jì)誤差。

1.GH分布

定義1：正態(tài)均值—方差混合

如果

其中，X是觀測(cè)值變量，Z～Nk（0，Ik），μ∈Rd是位置參數(shù)，混合變量W是非負(fù)一維隨機(jī)變量且獨(dú)立于Z，γ∈Rd表示漂移參數(shù)，結(jié)構(gòu)矩陣∑＝AA′是對(duì)稱且正定的，矩陣A∈Rd×d，則稱X服從多元正態(tài)均值—方差混合分布。

定義2：GH分布

在定義1中，若混合變量W服從廣義逆高斯（GIG）分布，則服從廣義雙曲線分布［9］。這里，GIG分布的概率密度函數(shù)為

由定義1知：

也就是說(shuō)在給定W的條件下，X的條件分布服從均值為μ＋wγ、方差為w∑的正態(tài)分布。

d維GH分布的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

2.GH分布的參數(shù)表示方法

GH分布的參數(shù)表示方法有很多種，本文旨在擬合單變量的匯率收益率序列，因此主要介紹一種一元GH分布的參數(shù)表示方法GH（λ，，μ，∑，γ）。在（6）式中，令E（W）＝1，＝，則

于是可以得到GH分布的一種參數(shù)表示形式，記作：X～GH（λ，，μ，∑，γ）。本文實(shí)證部分運(yùn)用該參數(shù)表示方法。

3.GH分布參數(shù)的極大似然估計(jì)

令∑＝1，d＝1，根據(jù)式（10）中的概率密度函數(shù)，構(gòu)造對(duì)數(shù)似然函數(shù)，表示為：

當(dāng)對(duì)數(shù)似然函數(shù)的維數(shù)超過(guò)3時(shí)，便難以通過(guò)直接最大化來(lái)估計(jì)參數(shù)，根據(jù)Alexander等［10］研究，可以運(yùn)用EM算法來(lái)估計(jì)（12）中的參數(shù)值。EM算法是解決“不完全數(shù)據(jù)”（實(shí)際可獲得數(shù)據(jù)）極大似然估計(jì)問(wèn)題的通用迭代算法，每一次迭代分為兩個(gè)步驟：計(jì)算條件期望；極大化目標(biāo)函數(shù)。

二、實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)說(shuō)明與統(tǒng)計(jì)描述

2005年7月21日中國(guó)實(shí)行匯率制度改革，考慮到匯改前后匯率收益率分布的不同，選取了2006年1月4日到2015年7月24日的美元兌人民幣的匯率中間價(jià)數(shù)據(jù)作為樣本（數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)家外匯管理局網(wǎng)站），共2 336個(gè)數(shù)據(jù)。對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理，將美元兌人民幣匯率收益率定義為：

式中，rt表示的匯率中間價(jià)，xt為匯率日收益率。

首先對(duì)匯率收益率數(shù)據(jù)xt做ADF單位根檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其是平穩(wěn)的，變量xt的統(tǒng)計(jì)性描述結(jié)果見表1。

表1 美元兌人民幣匯率收益率的基本統(tǒng)計(jì)特征描述

由表1可知，匯率收益率數(shù)據(jù)的偏度和峰度分別為-0.504 4和5.884 4，說(shuō)明其表現(xiàn)出厚尾、尖峰的特征。偏度為負(fù)說(shuō)明樣本分布左偏，左偏的原因主要是人民幣一直面臨升值的壓力，表現(xiàn)為匯改以后人民幣匯率一直在下降。J-B統(tǒng)計(jì)量值為911.390 2，檢驗(yàn)的p值很小，拒絕服從正態(tài)分布的原假設(shè)。

作美元兌人民幣的匯率中間價(jià)和美元兌人民幣匯率收益率的序列圖，分別如圖1、圖2所示。結(jié)合原始數(shù)據(jù)，可以看出，美元對(duì)人民幣的匯率中間價(jià)從2005年7月匯率改革之后，總體呈現(xiàn)出明顯的升值趨勢(shì)，即匯率中間價(jià)在下降，但2008～2010年匯率升值過(guò)程暫停，這是因?yàn)槭苋蚪鹑谖C(jī)和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)緩慢等影響；由曲線的陡峭程度可知，匯率的升值速度開始較快，在2010年之后比2008年之前慢。由圖2可得，美元兌人民幣匯率收益率序列具有和波動(dòng)聚集性，在2008～2010年匯率升值暫停期間，匯率收益率的波動(dòng)幅度也較小。

圖1 美元兌人民幣的匯率中間價(jià)序列圖

圖2 美元兌人民幣匯率收益率序列圖

（二）波動(dòng)率模型過(guò)濾

由統(tǒng)計(jì)性描述知，美元兌人民幣匯率收益率序列具有非正態(tài)性，本文首先采用ARMA＋GARCH在正態(tài)分布、t分布以及GED分布3種分布形式下的聯(lián)合模型對(duì)序列進(jìn)行過(guò)濾，然后檢驗(yàn)擬合模型的殘差項(xiàng)是否滿足獨(dú)立同分布的假設(shè)，也就是對(duì)過(guò)濾后的標(biāo)準(zhǔn)誤差項(xiàng)進(jìn)行ARCH。表2為ARMA＋GARCH模型聯(lián)合估計(jì)在3種分布形式（Normal，t，GED）下得出的ARCH顯著性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)（分別取滯后階數(shù)為3，5，7），可知各滯后階數(shù)的p值均大于臨界值0.05，說(shuō)明這9個(gè)模型完全通過(guò)了ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)，這說(shuō)明模型產(chǎn)生的標(biāo)準(zhǔn)誤差項(xiàng)是獨(dú)立同分布的。

表2 美元兌人民幣中間價(jià)模型標(biāo)準(zhǔn)誤差項(xiàng)ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)的p值

選取上述通過(guò)ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)的模型，進(jìn)一步的分析殘差數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，圖3給出了美元兌人民幣匯率收益率ARMA（1，1）＋GARCH（1，1）＋Normal模型估計(jì)后的標(biāo)準(zhǔn)誤差平方項(xiàng)的自相函數(shù)圖，可見模型估計(jì)后的殘差項(xiàng)趨于平穩(wěn)，說(shuō)明模型對(duì)殘差的提取比較充分，標(biāo)準(zhǔn)誤差項(xiàng)序列不再具有長(zhǎng)記憶性。

圖3 ARMA（1，1）＋EGARCH（1，1）＋Normal模型標(biāo)準(zhǔn)誤差平方項(xiàng)自相關(guān)函數(shù)圖

表3為美元兌人民幣匯率收益率數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)不同分布形式的模型擬合的標(biāo)準(zhǔn)誤差項(xiàng)的均值、方差、偏度、峰度的經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，可以看出，匯率收益率經(jīng)過(guò)模型估計(jì)后的標(biāo)準(zhǔn)誤差項(xiàng)樣本表現(xiàn)出負(fù)偏度，峰度值略高于3，且模型之間的標(biāo)準(zhǔn)誤差項(xiàng)偏度和峰度值的波動(dòng)不大。

表3 匯率收益率模型估計(jì)后的殘差序列描述性統(tǒng)計(jì)

（三）標(biāo)準(zhǔn)誤差項(xiàng)分布的擬合

為了對(duì)匯率收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行更精確地描述，通過(guò)引入分布及其子類分布對(duì)標(biāo)準(zhǔn)殘差項(xiàng)進(jìn)行擬合，利用上面9個(gè)模型中偏度和峰度較小的模型2（ARMA（1，1）＋GARCH（1，1）＋t）和模型4（ARMA（1，1）＋EGARCH（1，1）＋Normal）對(duì)美元兌人民幣匯率收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，具體的參數(shù)估計(jì)見表4。

為方便直觀地觀察各分布假設(shè)下對(duì)樣本數(shù)據(jù)的擬合情況，本文畫出了匯率收益率數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)不同模型估計(jì)出的標(biāo)準(zhǔn)殘差序列的GH分布概率密度曲線、根據(jù)樣本正態(tài)分布密度曲線和基于非參數(shù)核估計(jì)的樣本經(jīng)驗(yàn)分布密度曲線。圖4和圖5是匯率收益率經(jīng)過(guò)模型2和模型4估計(jì)得出的殘差序列基于GH分布擬合后的3種概率密度曲線，從圖4和5可以看出，GH分布擬合曲線和樣本經(jīng)驗(yàn)分布密度曲線基本重合，表明GH分布對(duì)殘差序列擬合效果明顯比正態(tài)分布好，表明GH分布對(duì)金融時(shí)間序列的尖峰厚尾等現(xiàn)象具有較強(qiáng)的描述能力。

表4 匯率收益率數(shù)據(jù)的GH分布估計(jì)參數(shù)結(jié)果

圖4 基于模型2估計(jì)的殘差序列分布密度曲線

圖5 基于模型4估計(jì)的殘差序列分布密度曲線

圖6 基于模型2的殘差序列的GH分布分位數(shù)圖

圖7 基于模型4的殘差序列的GH分布分位數(shù)圖

圖6和圖7分別是匯率收益率序列通過(guò)模型2和模型4估計(jì)后的殘差序列的分布分位數(shù)圖，從中可以明顯地看出分布擬合的數(shù)據(jù)基本集中在45°線附近，其擬合效果明顯優(yōu)于正態(tài)分布。

三、結(jié)語(yǔ)

線性時(shí)間序列在建模中具有規(guī)范性和方便性，故在金融資產(chǎn)收益率的研究當(dāng)中，往往假設(shè)它服從正態(tài)高斯分布，但是現(xiàn)實(shí)金融數(shù)據(jù)序列通常表現(xiàn)出尖峰、厚尾、有偏等特征。在線性架構(gòu)下進(jìn)行建模會(huì)導(dǎo)致對(duì)“真實(shí)收益率”分布的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，本文在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，介紹了幾種常見的分布形式和波動(dòng)率過(guò)濾模型，然后選以美元兌人民幣匯率收益率為對(duì)象，在對(duì)匯率收益率序列進(jìn)行波動(dòng)率模型估計(jì)后，提取殘差擾動(dòng)項(xiàng)，利用廣義雙曲線分布進(jìn)一步擬合擾動(dòng)項(xiàng)的分布特征，分析發(fā)現(xiàn)人民幣匯率波動(dòng)的非對(duì)稱性和集群性特征。雖然人民幣還沒(méi)有完全市場(chǎng)化，但通過(guò)統(tǒng)計(jì)性描述得出了美元兌人民幣收益率序列具有顯著的“尖峰厚尾”的特點(diǎn)，尤其是左厚尾的特點(diǎn)；從匯率收益率序列圖可以看出其呈現(xiàn)高收益集群出現(xiàn)的特征，表明其呈現(xiàn)波動(dòng)集群性。通過(guò)密度函數(shù)曲線的比較可知，在研究美元兌人民幣匯率波動(dòng)特征時(shí)，GH分布比正態(tài)分布更為有效。然而本文是對(duì)提取的波動(dòng)率模型的殘差擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行GH分布擬合的，而對(duì)人民幣匯率收益率的時(shí)變波動(dòng)性質(zhì)等缺乏具體的討論，此外，在以后的研究中我們將關(guān)注GH分布在匯率風(fēng)險(xiǎn)方面的應(yīng)用，諸如基于GH分布的VAR方法對(duì)人民幣匯率風(fēng)險(xiǎn)的度量等研究。

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Research on RMB exchange rate volatility based on GH distribution

WU Li-bin，ZHANG Xiao-fang
（Institute of Quantitative Economics，Anhui university of Finance and Economics，Bengbu 233030，Anhui，China）

Regarding the volatility of RMB exchange rate，this paper investigated the characteristics of US$/RMB exchange rate volatility from January 4，2006 to July 24，2015，using generalized hyperbolic（GH）distribution.It is found that RMB exchange rate not only has the significant“l(fā)eptokurtosis and fat tail”characteristics，but also has fluctuating asymmetry and clustering characteristics.At the same time，it is found that GH distribution can describe and present the distribution of US$/RMB exchange rate volatility precisely.

RMB exchange rate；generalized hyperbolic（GH）distribution；volatility；volatility filteringmodel

F832.6

：A

：1671-6248（2016）04-0062-06

2016-04-14

安徽省高等學(xué)校自然科研項(xiàng)目（KJ2013Z001）；安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)重點(diǎn)研究課題（ACKY1402ZD）；安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)研究生科研創(chuàng)新基金項(xiàng)目（ACYC2015082）

吳禮斌（1962-），男，安徽樅陽(yáng)人，副教授。