江西省信豐中學(xué) (341600)

張二生

處理含雙參平面向量問題的五大策略

江西省信豐中學(xué) (341600)

張二生

平面向量是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的一塊重要內(nèi)容，它集數(shù)與形于一體，與代數(shù)、幾何以及三角函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)緊密地聯(lián)系在一起，它作為高考的重要考點(diǎn)，經(jīng)常出現(xiàn)在選擇與填空的壓軸題中，尤其是含雙參的平面向量問題，近幾年高考命題的頻率比較高，考生在處理這類問題時(shí)，經(jīng)常感到無助，不知從何處找到切入口.作為教學(xué)一線的高中數(shù)學(xué)教師，筆者對(duì)近幾年各個(gè)省份有關(guān)含雙參平面向量問題的高考題與?？碱}進(jìn)行了系統(tǒng)的整理，歸納出了處理這類問題的五大策略，供大家參考，以饗讀者.

策略一、直角坐標(biāo)法

直角坐標(biāo)法是處理平面向量問題的主要方法，只要能夠建立直角坐標(biāo)系，把點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，則向量的坐標(biāo)就可以求出來，從而含雙參平面向量問題就可以用坐標(biāo)公式解決.

圖1

策略二、向量基底法

若問題不適宜建立直角坐標(biāo)系解決，則不妨嘗試向量基底法，它也是處理含雙參平面向量問題的主要方法，所謂向量基底法就是根據(jù)平面向量基本定理，選擇好向量基底，再把題目所給向量全部用基底表示出來，最后翻譯題目所給的向量關(guān)系.

圖2

策略三、三角代換法

當(dāng)平面向量語言所表述的幾何元素為點(diǎn)，且這樣的點(diǎn)具有明顯的圓(圓弧)的幾何特征，那么我們就可以根據(jù)三解函數(shù)的定義，把圓(圓弧)上的各個(gè)點(diǎn)用坐標(biāo)表示出來，即相應(yīng)向量的坐標(biāo)就出來了，最后代入題設(shè)中的向量關(guān)系式，問題就得以解決.

圖3

解:如圖3所示，以O(shè)A所在直線為x軸，以垂直于OA的直線為y軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

策略四、構(gòu)造線性規(guī)劃模型

圖4

評(píng)注：本題明為幾何問題，實(shí)為線性規(guī)劃.通過建立平面直角坐標(biāo)系，假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用已知向量的等價(jià)關(guān)系，把兩個(gè)參數(shù)α,β用未知量x,y表示出來，從而構(gòu)建出目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題來求解.

策略五、補(bǔ)形法

利用補(bǔ)形法來解決平面向量問題的實(shí)質(zhì)是根據(jù)平面向量的基本定理及平行四邊形法則，構(gòu)造平行

四邊形，結(jié)合共線向量定理與解三角形的相關(guān)知識(shí)對(duì)問題加以解決.

圖5

綜上，含雙參平面向量問題，題目涉及的知識(shí)較多，解題的方法較靈活，上述介紹的幾種方法是比較常用的，但由于問題的形式千變?nèi)f化，考題也常考常新，所以還需要我們不斷地去領(lǐng)悟、體會(huì)和總結(jié).