廣東省大埔縣虎山中學(xué) (514200)

楊柳忠

利用構(gòu)造法解決極值點偏移問題

廣東省大埔縣虎山中學(xué) (514200)

楊柳忠

一、構(gòu)造對稱函數(shù)求解

1.實例探索

例1函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.(2016年全國1卷理科數(shù)學(xué)第21題)

2.解法提煉

此法的幾個關(guān)鍵步驟：

(1)構(gòu)造一元差函數(shù)g(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；

(2)對差函數(shù)g(x)求導(dǎo)；判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，確定g(x)的單調(diào)性；

(3)結(jié)合g(0)=0，判斷g(x)的符號，從而確定f(x0-x)與f(x0+x)的大小關(guān)系；

(4)由f(x1)=f(x2)=f[x0-(x0-x2)]>(或<)f[x0+(x0-x2)]=f(2x0-x2),得到f(x1)>(或<)f(2x0-x2);

由于構(gòu)造對稱函數(shù)求解此類問題不需要復(fù)雜的變形技巧，可操作性很強，故而成為最一般的方法.其解題本質(zhì)是比較x1與2x0-x2大小關(guān)系不方便時，轉(zhuǎn)而通過比較與它們的函數(shù)值f(x1)與f(2x0-x2)的大小關(guān)系，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到x1與2x0-x2的大小關(guān)系.

二、根據(jù)前一問的結(jié)論去構(gòu)造新函數(shù)求解

1.實例探索

同例1，解：(Ⅱ)不妨設(shè)x1f(2-x2)?f(2-x2)<0.由于f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2,f(x2)=(x2-2)e2-x2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2，設(shè)g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,則g′(x)=(x-1)(e2-x-ex),所以當(dāng)x>1時g′(x)<0,而g(1)=0,故當(dāng)x>1時,g(x)<0,從而g(x2)=f(2-x2)<0，故x1+x2<2.

2.解法提煉

與第一個問的結(jié)論發(fā)生聯(lián)系，把研究對象轉(zhuǎn)化為證明某個新的不等關(guān)系，然后再構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解.這種辦法應(yīng)該更多是命題者出題的初衷，因為在學(xué)生現(xiàn)有的知識技能中就能解決，它不用再作一個復(fù)雜的，技巧性太強的構(gòu)造，只要吃透了題意，把解決的對象恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化一下，往往就能又快又準(zhǔn)的解決此類問題.很多壓軸題常常會設(shè)計好幾個有梯度的小問，下一問的解決常常就要用到上一問的結(jié)論.

三、構(gòu)造對數(shù)平均不等式解決

1.對數(shù)平均不等式

2.實例探索

由對數(shù)平均不等式知

3.解法提煉

極值點偏移的問題，多數(shù)與指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)有關(guān)，此法的幾個關(guān)鍵步驟：

第一步：根據(jù)f(x1)=f(x2)建立等式；

第二步：如果含有參數(shù)，則消參，如果等式中含有指數(shù)式，則兩邊取對數(shù)；

第三步：通過恒等變形轉(zhuǎn)化為對數(shù)平均式，利用對數(shù)平均不等式求解.

四、利用換元法構(gòu)造函數(shù)解決

1.實例探索

例2已知函數(shù)f(x)=lnx-ax有兩個零點x1，x2,求證：x1·x2>e2.

2.解法提煉

第二步：分析H(t)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

以上四種方法各有優(yōu)劣，不同的題目使用四種方法的簡繁程度不一樣，如例2使用前三種會顯得復(fù)雜得多，而例1使用第四種方法確很難操作，我們應(yīng)該根據(jù)題目的實際情況分析嘗試，擇優(yōu)選擇.我們發(fā)現(xiàn)極值點偏移問題歸納起來解法無非是構(gòu)造函數(shù)與構(gòu)造對數(shù)平均不等式，但它們同屬構(gòu)造，不同的題目構(gòu)造的方式不一樣，解法也就不一樣，極值點偏移問題解法很多，題目也非常靈活，至于是否還有更佳，更美妙的構(gòu)造，確實值得我們再深入去研究.

[1]郉友寶，極值點偏移的問題的處理策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬).2014(7)：19-22.