李 敏汪 沨許松枝陳曉林黃墀志謝望君

（1. 湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院 長(zhǎng)沙 410082 2. 長(zhǎng)沙供電公司 長(zhǎng)沙 410000）

基于分形理論的SF6/N2混合氣體放電仿真

李 敏1,2汪 沨1許松枝1陳曉林1黃墀志1謝望君1

（1. 湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院 長(zhǎng)沙 410082 2. 長(zhǎng)沙供電公司 長(zhǎng)沙 410000）

為了研究SF6/N2混合氣體電介質(zhì)擊穿現(xiàn)象，利用編寫的Matlab程序?qū)Ψ烹娡ǖ腊l(fā)展過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬，并結(jié)合分形幾何原理計(jì)算放電樹(shù)枝的分形維數(shù)?；诜中卫碚摚⒘丝紤]空間電荷分布和引入物理時(shí)間的棒-板分形放電仿真模型，通過(guò)有限元方法（FEM）計(jì)算空間電場(chǎng)，并首次結(jié)合通量校正傳輸（FCT）法求解帶電粒子連續(xù)性方程，研究了不同發(fā)展概率指數(shù)、不同放電閾值和SF6含量變化下分形放電特性。結(jié)果表明：概率指數(shù)越大，SF6含量越高，則分形維數(shù)越小，放電樹(shù)枝分叉也越少；體積含量50%/50%的SF6/N2混合氣體放電分形維數(shù)D=1.219 2，整個(gè)放電過(guò)程流注發(fā)展平均速度為1.15Mm/s，并得到了不同時(shí)刻空間電荷及軸向電場(chǎng)與電子濃度的分布。

放電 分形維數(shù) SF6/N2混合氣體 有限元方法 通量校正傳輸法 概率指數(shù)

0 引言

目前，關(guān)于SF6/N2混合氣體流注放電的仿真研究比較多，其放電機(jī)理、絕緣性能和電暈放電特性成為研究熱點(diǎn)[1-3]?，F(xiàn)有的放電模型主要是針對(duì)放電后電暈形成和流注發(fā)展，沒(méi)有從微觀上很好地解釋流注放電通道的形成過(guò)程。分形的概念最早由B. B. Mandelbrot[4]于1975年提出，它是一種用于研究和處理自然界與工程應(yīng)用中不規(guī)則圖形的強(qiáng)有力工具。SF6氣體放電擊穿現(xiàn)象非常復(fù)雜，放電過(guò)程會(huì)產(chǎn)生一些細(xì)小的放電通道，且放電通道明顯呈現(xiàn)出樹(shù)枝狀的特征，有一定的隨機(jī)特性和自相似特性[5]。因此可以采用分形幾何的方法來(lái)研究SF6氣體放電發(fā)展過(guò)程[6,7]。

研究絕緣介質(zhì)分形放電特征的模型主要有兩種，即NPW模型[8]和WZ模型[9]。NPW模型中只考慮電場(chǎng)強(qiáng)度E和發(fā)展概率分布函數(shù)中的概率指數(shù)η，放電樹(shù)枝的發(fā)展只沿著電場(chǎng)最大的方向發(fā)展，即發(fā)展方向很固定。而WZ模型在NPW模型基礎(chǔ)上引入放電閾值EC和放電通道電壓降ΔU，其發(fā)展結(jié)果更接近實(shí)際情況。無(wú)論是NPW模型還是WZ模型均未考慮空間電荷和局部放電對(duì)放電通道的影響，而實(shí)際中空間電荷對(duì)放電通道有明顯影響。俄羅斯學(xué)者D. I. Karpov和A. L. Kupershtokh在NPW模型基礎(chǔ)上引入空間電荷，并考慮雜質(zhì)對(duì)放電結(jié)構(gòu)的影響，提出了一種不均勻絕緣體系中放電生長(zhǎng)的NKL模型[10]，完善了分形電介質(zhì)放電仿真。2005年，H. Z. Ding和 B. R. Varlow提出了一種同時(shí)考慮電場(chǎng)和機(jī)械應(yīng)力的電樹(shù)生長(zhǎng)熱動(dòng)力學(xué)模型[11]，使得分形放電的研究進(jìn)入到一個(gè)更深入的階段。賀恒鑫等建立了結(jié)合傳統(tǒng)流注放電理論和分形生長(zhǎng)理論的正極性流注生長(zhǎng)概率模型[12]，研究了棒-板長(zhǎng)間隙正極性流注放電過(guò)程。2012年，山東大學(xué)的譚震宇結(jié)合分形理論構(gòu)建了考慮氣泡生長(zhǎng)過(guò)程的水中流注放電仿真模型[13]，并對(duì)不同電壓幅值和溶液電導(dǎo)率下的放電特性進(jìn)行仿真。2013年，重慶大學(xué)的陳偉根基于多重分形特征研究了絕緣子污穢放電過(guò)程，得出泄漏電流波形的廣義分形維數(shù)和多重分形譜寬能有效預(yù)測(cè)污穢放電的發(fā)展趨勢(shì)[14]。

本文在總結(jié)現(xiàn)有分形電介質(zhì)放電模型的基礎(chǔ)上，考慮了空間電荷對(duì)放電通道的影響（即在放電初始時(shí)刻先在棒頭部釋放一定種子電子，電子在電場(chǎng)力的作用下向極板運(yùn)動(dòng)，同時(shí)與中性混合氣體發(fā)生碰撞電離，產(chǎn)生新的電子、正離子和負(fù)離子，從而使放電間隙逐漸分布空間電荷），引入閾值電場(chǎng)、物理時(shí)間（每一步平均發(fā)展時(shí)間Δt）和通道電壓降落ΔU等參數(shù)，并結(jié)合泊松方程和帶電粒子連續(xù)性方程描述放電通道內(nèi)部的電荷轉(zhuǎn)移。闡述了如何結(jié)合分形計(jì)算SF6/N2混合氣體；說(shuō)明了分形放電初始條件的設(shè)置。本文首次采用有限元通量校正傳輸算法對(duì)不同濃度SF6/N2混合氣體分形放電過(guò)程進(jìn)行仿真分析。通過(guò)有限元方法（Finite Element Method, FEM）準(zhǔn)確求解泊松方程，通量校正傳輸法（Flux Corrected Transport, FCT）計(jì)算空間帶電粒子濃度的變化。該模型不僅可以直接給出分形放電發(fā)展的動(dòng)態(tài)演化，還可以給出放電分形維數(shù)、流注發(fā)展速度等微觀參數(shù)。

1 分形放電的數(shù)學(xué)模型

1.1 放電樹(shù)枝的分形維數(shù)計(jì)算

由于氣體放電通道的發(fā)展呈樹(shù)枝狀，并且放電樹(shù)枝在一定尺度內(nèi)具有很強(qiáng)的自相似，定量分析放電樹(shù)枝時(shí)需用到分形的概念。圖1為SF6氣體分形放電圖像[8]。根據(jù)分形幾何學(xué)，放電樹(shù)枝總長(zhǎng)度與放電單位長(zhǎng)度的關(guān)系滿足[7]

式中，D為分形維數(shù)；N(r)為放電樹(shù)枝總長(zhǎng)度；r為單位長(zhǎng)度，r=1/R，R為放電半徑。由式（1）得

當(dāng)R與r相比足夠大時(shí)，由式（2）可得到放電樹(shù)枝的分形維數(shù)。

1.2 空間電場(chǎng)和帶電粒子連續(xù)性方程離散求解

氣體放電過(guò)程的產(chǎn)生和發(fā)展是一個(gè)非常復(fù)雜的過(guò)程，包括分子、電子、正負(fù)離子的電離、復(fù)合、附著、遷移、擴(kuò)散、光電離等過(guò)程，可以采用帶電粒子連續(xù)性方程與泊松方程式（3）～式（5）描述[15,16]?？臻g各點(diǎn)的電位φ通過(guò)求解泊松耦合方程給出，即

式中，ρ為空間電荷密度；εr和ε0分別為混合氣體介質(zhì)相對(duì)和真空介電常數(shù)；E為電場(chǎng)強(qiáng)度；e為基本電荷；Nx為帶電粒子濃度（其中包括電子濃度Ne、正離子濃度N+和負(fù)離子濃度N-）；νx、Dx和Sx分別為粒子遷移速率、擴(kuò)散系數(shù)和粒子源項(xiàng)（包括電離、吸附及復(fù)合過(guò)程），它們都是電場(chǎng)強(qiáng)度與中性混合氣體濃度比值（E/N）的函數(shù)[3]。

為了提高計(jì)算精度，本文采用FEM求解式（3），準(zhǔn)確地給出各個(gè)節(jié)點(diǎn)的電位。并通過(guò)式（4）計(jì)算出空間各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。在放電通道內(nèi)存在大量帶電粒子的遷移運(yùn)動(dòng)，粒子濃度變化非?？?，對(duì)式（5）先采用兩步泰勒-迦遼金格式[17]，每發(fā)展一步在時(shí)間上進(jìn)行離散得到式（6），再對(duì)式（6）利用經(jīng)典的迦遼金加權(quán)余量法[18]得到矩陣方程（7）。

式中，Mc為單元貢獻(xiàn)一致質(zhì)量矩陣[19]；Rn為單元對(duì)節(jié)點(diǎn)的貢獻(xiàn)量；ΔN為節(jié)點(diǎn)粒子濃度增量；Δt為時(shí)間步長(zhǎng)。式（7）采用高精度的FCT進(jìn)行求解[20,21]，可以有效地抑制仿真過(guò)程出現(xiàn)的數(shù)值擴(kuò)散問(wèn)題。

1.3 分形放電樹(shù)枝發(fā)展機(jī)制

為了更好地對(duì)SF6/N2混合氣體放電進(jìn)行模擬，本文結(jié)合分形理論，從分形放電的角度研究其放電特性及流注發(fā)展機(jī)理。不同混合氣體比例SF6/N2，其耐電強(qiáng)度（即擊穿場(chǎng)強(qiáng)）不同，主要通過(guò)放電閾值Ec決定。只有當(dāng)放電通道內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)高于放電起始場(chǎng)強(qiáng)時(shí)，才能產(chǎn)生有效電離，并保證放電往前發(fā)展。SF6/N2混合氣體中粒子的遷移率、電離率、吸附率、復(fù)合率等參數(shù)都是場(chǎng)強(qiáng)與中性混合氣體濃度比值（E/N）的函數(shù)。而概率指數(shù)選擇和每一步發(fā)展時(shí)間Δt都與空間電場(chǎng)E有關(guān)。放電樹(shù)枝各方向發(fā)展的概率由各方向的有效碰撞電離系數(shù)決定，本文采用WZ模型的發(fā)展概率函數(shù)[9]，即

式中，η為放電發(fā)展的概率指數(shù)；Ei為待發(fā)展節(jié)點(diǎn)i處的場(chǎng)強(qiáng)。η和Ei分別表示隨機(jī)因素和確定性因素對(duì)放電發(fā)展的影響。從式（9）可以看出放電樹(shù)枝沿各個(gè)方向發(fā)展的概率最終是由樹(shù)枝端部的局部場(chǎng)強(qiáng)和放電閾值決定的。在分形介質(zhì)擊穿模型中，放電通道的發(fā)展是由確定的概率分布決定的，因此考慮通過(guò)概率分布轉(zhuǎn)換得到“物理時(shí)間”[22]，本文采用文獻(xiàn)[23]中的方法，根據(jù)式（9）確定的概率函數(shù)，放電通道某一點(diǎn)的生長(zhǎng)率函數(shù)為。由于放電通道內(nèi)各個(gè)發(fā)展點(diǎn)在統(tǒng)計(jì)上是獨(dú)立的，故總生長(zhǎng)率G是所有可能發(fā)展方向上的生長(zhǎng)率總和，則每一步平均發(fā)展時(shí)間Δt為G的倒數(shù)，即

式中，θ為時(shí)間轉(zhuǎn)移系數(shù)，其值與氣體介質(zhì)放電特性和具體的放電發(fā)展過(guò)程有關(guān)；Δt為時(shí)間步長(zhǎng)，取值與此處的每一步平均發(fā)展時(shí)間相同，即分形放電在每一步發(fā)展過(guò)程中都是與發(fā)展概率函數(shù)和放電閾值相關(guān)?？紤]放電通道內(nèi)部的電壓降落，樹(shù)枝端部的電位為

式中，φ0為棒頭部施加的電壓；Li為端部新發(fā)展的樹(shù)枝長(zhǎng)度；φi為樹(shù)枝端部電位。

2 仿真

2.1 分形放電過(guò)程

仿真過(guò)程：①通過(guò)給定初始邊界條件，采用FEM求解泊松方程，獲得各節(jié)點(diǎn)的電位和場(chǎng)強(qiáng)；②利用FCT求解帶電粒子連續(xù)性方程給出空間各點(diǎn)的粒子濃度；③計(jì)算各個(gè)待發(fā)展點(diǎn)的發(fā)展概率，采用累積概率的方法選擇待發(fā)展點(diǎn)，并將新發(fā)展點(diǎn)與已發(fā)展點(diǎn)連接；④每發(fā)展一步，利用式（11）計(jì)算樹(shù)枝端部電位，并把新發(fā)展點(diǎn)的電位計(jì)入邊界條件中；⑤判斷樹(shù)枝是否發(fā)展到極板，若沒(méi)有返回①步；⑥計(jì)算該放電圖形的分形維數(shù)，放電過(guò)程結(jié)束。

本文采用如圖2所示的棒-板結(jié)構(gòu)電極，對(duì)整個(gè)區(qū)域采用三角元剖分，剖出3 871個(gè)節(jié)點(diǎn)和7 498個(gè)三角單元，黑色實(shí)線為已發(fā)展的放電樹(shù)枝。仿真中棒-板間距d=5mm，棒的半徑r=0.125mm，棒頭部施加電壓φ0=-20kV，極板電位φ1=0，棒-板間隙充滿標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下的體積含量50%/50% SF6/N2混合氣體，溫度取300K，混合氣體濃度為2.467×1025/m3，放電場(chǎng)強(qiáng)閾值為Ec=343Td（1Td=10-21V·m2），概率指數(shù)η=1.0。在t=0ns時(shí)，在棒頭部附近處釋放一定量的初始種子電子，電子的分布為高斯分布[24]，即

式中，n0=106/cm3；σx=0.1mm；σy=0.05mm；y0=r。

初始電子受電場(chǎng)力作用開(kāi)始向極板快速運(yùn)動(dòng)，電子與中性氣體分子發(fā)生碰撞電離產(chǎn)生新的電子和正離子，同時(shí)電子被SF6氣體分子吸附形成負(fù)離子。當(dāng)有效電離系數(shù)時(shí)，其中，α為電子碰撞電離系數(shù)，β為電子吸附系數(shù)，才有可能保證分形放電向前發(fā)展，流注發(fā)展條件為[5]

式中，K為常數(shù)。

故放電產(chǎn)生和發(fā)展的條件為放電通道內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)高于放電起始場(chǎng)強(qiáng)閾值Ec。

圖2 棒-板電極結(jié)構(gòu)剖分及放電樹(shù)枝Fig.2 Split and discharge branches rod-plane electrode

放電過(guò)程采用步進(jìn)式方式，每一個(gè)已發(fā)展點(diǎn)可以向周圍若干個(gè)非樹(shù)枝點(diǎn)發(fā)展，具體發(fā)展哪一個(gè)點(diǎn)由發(fā)展概率函數(shù)決定。仿真得到了一次放電過(guò)程四個(gè)不同時(shí)刻的放電圖像，如圖3所示?？臻g電荷在放電通道內(nèi)的主要分布如圖4所示。從仿真結(jié)果可知，放電開(kāi)始階段，流注的發(fā)展速度很慢，電樹(shù)枝在棒頭部周圍緩慢生長(zhǎng)，但棒頭部附近起始場(chǎng)強(qiáng)較大，電子與中性粒子發(fā)生劇烈的碰撞電離，產(chǎn)生大量新的電子和正離子。同時(shí)SF6氣體具有較強(qiáng)的吸附作用，一部分電子被其吸附形成負(fù)離子，從而空間電荷主要分布在棒頭部和流注頭部附近。當(dāng)電樹(shù)枝發(fā)展到一半間隙時(shí)，由于放電通道內(nèi)電離出足夠的電子、正離子和負(fù)離子，使流注迅速發(fā)展，主放電樹(shù)枝向極板快速發(fā)展，直至達(dá)到極板，流注發(fā)展速度最終達(dá)到2.12Mm/s，放電過(guò)程結(jié)束。整個(gè)放電過(guò)程流注發(fā)展平均速度為1.15Mm/s，得到放電圖像的分形維數(shù)D=1.219 2。

圖3 不同時(shí)刻的仿真放電圖像Fig.3 Simulation discharge images at different times

圖4 不同時(shí)刻的仿真空間電荷密度分布Fig.4 Simulation charge density distribution in space at different times

圖5為相同條件下，只改變放電發(fā)展概率指數(shù)得到的仿真結(jié)果，圖5a、圖5b分別為η=0.5、η=1.5時(shí)的分形圖像。比較分形圖像可以看出，放電概率指數(shù)越大，放電圖像的側(cè)向樹(shù)枝分叉越少，有明顯的主放電樹(shù)枝。這也表明，當(dāng)η較大時(shí)，放電樹(shù)枝的發(fā)展基本趨向于場(chǎng)強(qiáng)最大的方向，閾值電場(chǎng)對(duì)放電樹(shù)枝影響減小，導(dǎo)致兩種情況下得到的分形維數(shù)差值增大。

圖5 不同放電發(fā)展概率指數(shù)下的仿真分形圖像Fig.5 Fractal images at differentη

圖6為相同條件下，通過(guò)設(shè)置不同放電閾值仿真計(jì)算得到的分形維數(shù)。由圖可知分形維數(shù)與放電閾值呈非線性下降關(guān)系。放電閾值越大，放電樹(shù)枝側(cè)向發(fā)展概率越小，分形維數(shù)也越??；當(dāng)放電閾值小于343Td時(shí)，分形維數(shù)增大很快。從式（9）分析可知，放電閾值越小，可供新發(fā)展的節(jié)點(diǎn)越多，故側(cè)向樹(shù)枝發(fā)展增多，從而使分形維數(shù)增大。

圖6 分形維數(shù)與放電閾值的關(guān)系Fig.6 The relationship between fractal dimension and discharge threshold

圖7和圖8分別為相同條件下的不同時(shí)刻的軸向電場(chǎng)和軸向電子濃度分布。由圖7可知，隨著放電的發(fā)展，軸向場(chǎng)強(qiáng)的峰值逐漸往前移動(dòng)，這與圖3中出現(xiàn)明顯的主放電樹(shù)枝相吻合。另外棒頭部附近場(chǎng)強(qiáng)始終較大，是因?yàn)轭^部曲率較大，電場(chǎng)畸變大，一直能產(chǎn)生有效電離。由圖8可見(jiàn)，電子濃度峰值隨著放電進(jìn)行，不斷遷移且峰值逐漸增大，在放電結(jié)束時(shí)達(dá)到最大值。結(jié)合圖7可知分形流注頭部場(chǎng)強(qiáng)畸變嚴(yán)重，往往是電離最劇烈的區(qū)域，因此電子濃度在不斷增大。

圖7 軸向場(chǎng)強(qiáng)分布Fig.7 Electric field distribution along axis

圖8 軸向電子濃度分布Fig.8 Electronics density distribution along axis

2.2 分形維數(shù)與SF6濃度的關(guān)系

保持其他條件不變的情況下，改變混合氣體中SF6比例，對(duì)SF6/N2中SF6體積含量分別為10%和100%兩種情況的放電過(guò)程進(jìn)行仿真分析。放電閾值根據(jù)氣體間隙耐電強(qiáng)度峰值（即混合氣體放電產(chǎn)生有效電離率所需最小場(chǎng)強(qiáng)值）來(lái)確定[25]。其中低含量SF6的分形放電過(guò)程，放電場(chǎng)強(qiáng)閾值Ec=273Td；純SF6的分形放電過(guò)程，放電場(chǎng)強(qiáng)閾值Ec=377Td。圖9a為低含量SF6時(shí)的分形圖像，D=1.294 5；圖9b為純SF6時(shí)的分形圖像，D=1.132 2。對(duì)比結(jié)果發(fā)現(xiàn)SF6含量越高，放電樹(shù)枝側(cè)向分叉越少，分形維數(shù)越小，出現(xiàn)明顯的主放電樹(shù)枝。這是由于SF6含量越高吸附系數(shù)越大，產(chǎn)生碰撞電離所需場(chǎng)強(qiáng)也越大，同時(shí)產(chǎn)生有效放電的場(chǎng)強(qiáng)閾值也提高。并且SF6氣體分子具有較強(qiáng)的吸附作用，通道中的電子很容易被SF6氣體分子吸附變成負(fù)離子，使主放電通道內(nèi)離子數(shù)量增加，導(dǎo)致流注頭部場(chǎng)強(qiáng)畸變很大，故放電樹(shù)枝不易往兩側(cè)發(fā)展。

圖9 不同SF6含量下的分形圖像Fig.9 Fractal images at different percentages of SF6

3 結(jié)論

1）本文提出的模型能夠很好地模擬SF6/N2混合氣體分形放電過(guò)程，得到了完整的分形圖像、分形維數(shù)和流注發(fā)展速度。

2）仿真結(jié)果表明，概率指數(shù)和SF6氣體比例越大，放電側(cè)向樹(shù)枝分叉越少，有明顯的主放電樹(shù)枝；概率指數(shù)越大的一側(cè)向放電樹(shù)枝的發(fā)展概率越小，而SF6濃度越高吸附作用越強(qiáng)。

3）仿真也得到了不同時(shí)刻空間電荷分布、軸向電場(chǎng)分布及軸向電子濃度分布等微觀參數(shù)，可以更好地從微觀角度理解SF6/N2混合氣體的放電機(jī)理。

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Simulation of Discharge in SF6/N2Gas Mixtures Based on Fractal Theory

Li Min1,2Wang Feng1Xu Songzhi1Chen Xiaolin1Huang Chizhi1Xie Wangjun1
（1. School of Electrical and Information Engineering Hunan University Changsha 410082 China 2. Changsha Power Supply Company Changsha 410000 China）

In this paper, the model of dielectric breakdown in SF6/N2mixed gas is simulated by using the Matlab programs. This rod-plane model is established considering the distribution of space charge and introducing physical time, based on the fractal theory. The finite element method (FEM) is used to solve the electric field, and particle continuity equations are solved by the flux corrected transport (FCT) algorithm. Moreover, the characteristics of fractal discharge under various scenarios are analyzed, such as different probability exponents, different discharge thresholds, and different percentages of SF6and so on. The simulation results show that the number of branches and fractal dimension decrease with the increasing of probability exponent and the percentage of SF6. The discharge fractal dimensionDof 50%/50% SF6/N2gas mixture equals to 1.219 2, and the average velocity during the discharge process of streamer propagation is 1.15Mm/s. Moreover, the distributions of charge density in space, electric field alone the axis, and electrons density alone the axis are calculated.

Discharge, fractal dimension, SF6/N2mixed gas, finite element method, flux corrected transport, probability exponent

TM213

李 敏 男，1989年生，碩士研究生，研究方向?yàn)闅怏w放電仿真。

E-mail: liminzhenqi@163.com（通信作者）

汪 沨 男，1972年生，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡娏υO(shè)備絕緣技術(shù)、氣體放電及其應(yīng)用技術(shù)等。

E-mail: Wangfeng55@263.net

教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃基金（NCET-11-0130）和高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金（20120161110009）資助項(xiàng)目。

2015-10-29 改稿日期 2016-04-03