摘 要：實(shí)變函數(shù)是數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)的一門(mén)重要的專業(yè)課程，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。本文中筆者針對(duì)實(shí)變函數(shù)內(nèi)容抽象性，結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)歷，從教學(xué)內(nèi)容出發(fā)，探討反例、反證法和對(duì)比教學(xué)法在教學(xué)中的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：實(shí)變函數(shù) 教學(xué)方法 Lebesgue測(cè)度

中圖分類號(hào)：O174.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-1578（2017）01-0018-01

1 引言

實(shí)變函數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)的一門(mén)重要的專業(yè)課程，它是學(xué)生普遍感覺(jué)難學(xué)的一門(mén)課程。感覺(jué)難學(xué)的主要原因有以下幾點(diǎn)：①不知道為什么要引入那么多難于理解的概念，例如集合的基數(shù)、Cantor三分集、Lebesgue測(cè)度、可測(cè)函數(shù)，依測(cè)度收斂、可測(cè)函數(shù)的積分等；②隨著現(xiàn)在選修課程的增多，實(shí)變函數(shù)等專業(yè)課程的學(xué)時(shí)越來(lái)越少，任課教師一般很難講授完整相關(guān)理論，更不用說(shuō)講深講透，特別是那些重要定理的證明；③學(xué)生感覺(jué)習(xí)題太難，學(xué)生做作業(yè)時(shí)感覺(jué)很難用所學(xué)理論知識(shí)解決課后習(xí)題，這需要任課教師花大量課外時(shí)間去講解。因此，在教學(xué)過(guò)程中選擇有效的教學(xué)方法將有助于學(xué)生理解所學(xué)的理論知識(shí)，起到事半功倍的效果，本文就實(shí)變函數(shù)教學(xué)過(guò)程中經(jīng)常遇到的教學(xué)難題展開(kāi)討論，探討反例、反證法和對(duì)比教學(xué)法在教學(xué)中的運(yùn)用，使學(xué)生更好的掌握和理解這門(mén)課程的基本理論，做到學(xué)有所用。

2 重視反證法在定理證明中的運(yùn)用

實(shí)變函數(shù)的基礎(chǔ)是集合論，掌握集合論的理論知識(shí)是學(xué)好實(shí)變函數(shù)的前提。

幾乎所有的實(shí)變函數(shù)課本第一章都是集合論，詳情請(qǐng)參考文獻(xiàn)[1-5]。反證法思想在其中一些重要的定理中有廣泛的運(yùn)用，例如：Bernstein定理，無(wú)最大基數(shù)定理，開(kāi)集構(gòu)造定理等證明，因此掌握反證法思想是非常重要的。

反證法是間接證明的一種論證方式，首先假設(shè)命題的已知條件成立，假設(shè)命題不成立，然后推導(dǎo)出和已知條件相矛盾的結(jié)論，從而證明原命題。其思想就是原命題和原命題的否定是對(duì)立的存在：原命題為真，則原命題的否定為假；原命題為假，則原命題的否定為真。恰當(dāng)運(yùn)用反證法思想可以讓學(xué)生更好的理解相關(guān)的定理的證明。

3 積極尋找反例理解測(cè)度論中的相關(guān)概念和定理

實(shí)變函數(shù)有很多概念之間有很多聯(lián)系，如幾乎處處收斂、一致收斂和依測(cè)度收斂都是函數(shù)列收斂的概念，這些概念往往讓學(xué)生感覺(jué)很抽象，難以理解透徹。我們常常尋找反例說(shuō)明它們之間區(qū)別以加深理解相關(guān)概念之間的聯(lián)系。例如：Cantor三分集就是一個(gè)很重要的反例，其基數(shù)為連續(xù)統(tǒng)基，但卻是一個(gè)零測(cè)集，不含有內(nèi)點(diǎn)。在測(cè)度論中Cantor三分集經(jīng)常被用作反例來(lái)加深理解掌握相關(guān)的概念。

實(shí)變函數(shù)的很多定理?xiàng)l件往往很簡(jiǎn)單，卻很容易被學(xué)生忽視，通過(guò)一些反例可以幫助學(xué)生理解這些極易被忽視卻必不可少條件所起的重要作用。例如Egorov定理中條件是必不可少的，下面這個(gè)反例說(shuō)明了這點(diǎn)。

例1：設(shè)φk（x）=1， x∈（0，k），

0， x∈（k，∞）. 則φk（x）≡1. 注意對(duì)?δ>0， 任意可測(cè)集Eδ?（0，∞）， {φk（x）}在（0，∞）上是不一致收斂于1的。

4 運(yùn)用對(duì)比教學(xué)法學(xué)習(xí)Lebesgue積分理論

對(duì)比教學(xué)法就是運(yùn)用比較的手段確定相關(guān)概念異同關(guān)系的教學(xué)方法，它在知識(shí)的深度和廣度上做對(duì)比類推，把一些具有聯(lián)系又有區(qū)別的概念或性質(zhì)放在一起進(jìn)行對(duì)比分析，使學(xué)生能更好的理解和掌握相關(guān)概念或性質(zhì)的異同關(guān)系。運(yùn)用對(duì)比教學(xué)法學(xué)習(xí)Lebesgue測(cè)度理論有重要的作用，它使得學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)能夠有效的克服陌生感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)積極性。我們以Riemann積分理論和Lebesgue積分積分理論做對(duì)比，討論兩種積分理論的聯(lián)系與區(qū)別。

Riemann積分通過(guò)Riemanna和的極限來(lái)定義的，而 Lebesgue積分是通過(guò)簡(jiǎn)單函數(shù)積分的極限來(lái)定義的。這兩種積分理論有聯(lián)系又有區(qū)別，相比較而言Lebesgue積分有著比Riemann積分更寬松的條件，但它不能運(yùn)用于非絕對(duì)收斂的反常Riemann積分理論。例如在（0，∞）區(qū)間上是反常的Riemann積分，其積分為，

在區(qū)間（0，∞）上的Riemann積分是不存在的。根據(jù)Lebesgue可測(cè)函數(shù)的絕對(duì)可積性，在區(qū)間（0，∞）上不是Lebesgue可積的。由此可見(jiàn)Lebesgue積分理論是Riemann積分理論的推廣，而不是它的替代物。

5 結(jié)語(yǔ)

在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法有助于提高教學(xué)質(zhì)量，但只談?wù)摻虒W(xué)方法是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。要想學(xué)好一門(mén)數(shù)學(xué)課必須做一定量的習(xí)題，因此精選一些典型的，能夠加深對(duì)所學(xué)知識(shí)理解的習(xí)題給學(xué)生做練習(xí)，之后再加以講解，才能有效的提高教學(xué)質(zhì)量，達(dá)到好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 鄧東皋，常心怡.實(shí)變函數(shù)簡(jiǎn)明教程[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2] 周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2008.

[3] 胡適根.實(shí)變函數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2014.

[4] 程其襄，張奠宙，魏國(guó)強(qiáng).實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2010.

[5] 那湯松，徐瑞云（譯）.實(shí)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2010.

作者簡(jiǎn)介：吳奎霖，男，博士，貴州大學(xué)副教授，研究方向：微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)。