趙秀

摘 要： 凸函數(shù)是具有良好性質(zhì)及廣泛應(yīng)用的一類重要函數(shù)，在許多學(xué)科分支（如泛函分析、最優(yōu)化原理、控制論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等）中有重要的作用，關(guān)于凸函數(shù)與凸集的研究已經(jīng)形成一門(mén)專門(mén)的數(shù)學(xué)分支——凸分析.目前有關(guān)凸函數(shù)的理論十分豐富，而大學(xué)數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)教材中往往只有粗淺的介紹，而且定義不盡相同.本文主要探討凸函數(shù)的定義、性質(zhì)及應(yīng)用，為進(jìn)一步理解、掌握凸函數(shù)起促進(jìn)作用.

關(guān)鍵詞： 凸函數(shù) 定義 性質(zhì) 應(yīng)用

一、凸函數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展

凸函數(shù)是一類重要函數(shù)，起源于丹麥數(shù)學(xué)家約翰·詹森（Jensen）和愛(ài)因斯坦在瑞士的數(shù)學(xué)老師閔科夫斯基，在詹森著述中是這樣介紹的：若函數(shù)f（x）滿足定義域上任意兩個(gè)數(shù)則稱f（x）為凸函數(shù).凸函數(shù)的產(chǎn)生不僅給人們帶來(lái)一種新的研究函數(shù)的工具，還為函數(shù)這個(gè)“大家族”增枝散葉，隨著凸函數(shù)的出現(xiàn)，人們對(duì)函數(shù)這個(gè)概念多了一絲陌生感，引起人們“認(rèn)識(shí)”的欲望.在詹森定義凸函數(shù)后，有不少人對(duì)凸函數(shù)進(jìn)行了研究，其中有閔科夫斯基和杜克等人.在凸函數(shù)產(chǎn)生的最初階段，人們對(duì)凸函數(shù)并不看好，真正引起人們廣泛重視的是40至50年代馮·諾伊曼和杜克等人對(duì)策論和數(shù)學(xué)規(guī)劃的研究，由于這方面的需要，從50年代初到60年代末人們對(duì)凸函數(shù)的研究得到較大發(fā)展.關(guān)于凸函數(shù)的研究大多數(shù)是圍繞凸分析展開(kāi)的.當(dāng)時(shí)，我國(guó)的數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)凸函數(shù)的研究有涉及，那時(shí)的代表人物有張曉明、劉光中和胡克等人，他們的研究成果多數(shù)以教材形式展示，而且對(duì)凸函數(shù)的定義有所區(qū)別.例如，同濟(jì)大學(xué)高等代數(shù)教材對(duì)凸函數(shù)所下定義與國(guó)際相反.隨著科學(xué)家求知欲望的增長(zhǎng)與艱辛的付出，對(duì)凸函數(shù)的研究逐步得到深入與完善.

二、函數(shù)的定義及幾何意義

目前對(duì)凸函數(shù)的理論研究十分豐富，對(duì)凸函數(shù)所給的定義不盡相同.本文參閱凸函數(shù)的國(guó)際定義對(duì)凸函數(shù)做如下定義：

（一）凸函數(shù)的定義

五、凸函數(shù)的性質(zhì)

無(wú)論是國(guó)外還是國(guó)內(nèi)的數(shù)學(xué)愛(ài)好者都對(duì)凸函數(shù)進(jìn)行了大量研究，發(fā)現(xiàn)了凸函數(shù)的許多性質(zhì)，本文只介紹凸函數(shù)的如下四條性質(zhì)：

性質(zhì)1（有界性） 若f（x）為[a，b]上的凸函數(shù)，則f（x）在[a，b]上有界.

性質(zhì)2（連續(xù)性） 若f（x）為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則f（x）在任意點(diǎn)x∈（a，b）？奐I處連續(xù).

性質(zhì)3（可導(dǎo)性） 設(shè)f（x）在區(qū)間I上二階可導(dǎo).若f（x）為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則f″（x）≥0（反之也成立）.

性質(zhì)4（單調(diào)性） 設(shè)f（x）在區(qū)間I上可導(dǎo).若f（x）為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則f′（x）在I上單調(diào)遞增.

六、凸函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

隨著科技的發(fā)展，人們對(duì)凸函數(shù)的認(rèn)識(shí)越來(lái)越系統(tǒng)，研究越來(lái)越全面，應(yīng)用越來(lái)越廣泛，因此，深入掌握凸函數(shù)的定義、性質(zhì)及應(yīng)用是十分重要的.由于我知識(shí)有限，因此文中有不足之處，望各位同行不吝賜教.