葛揚(yáng)芬

摘 要：數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的萌芽，可以開(kāi)啟兒童的智慧之門(mén)。而數(shù)學(xué)解題是培養(yǎng)兒童數(shù)學(xué)猜想能力的重要載體。教學(xué)中，教師可以巧用“類比猜想”、智用“歸納猜想”、善用“審美猜想”、妙用“假設(shè)猜想”、運(yùn)用“直覺(jué)猜想”、活用“綜合猜想”等。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生成為一個(gè)數(shù)學(xué)意義上的“小創(chuàng)客”！

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)猜想；兒童智慧；創(chuàng)新能力

數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的萌芽。英國(guó)著名科學(xué)家牛頓曾經(jīng)這樣說(shuō)，“沒(méi)有大膽的猜想就不可能有偉大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明”。著名物理學(xué)大師愛(ài)因斯坦也曾這樣說(shuō)過(guò)，“想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，而想象力是無(wú)限的，它能概括世界上的一切并且推動(dòng)著進(jìn)步?！币虼嗽跀?shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要教知識(shí)、教方法、教思想，更要教猜想。

所謂“數(shù)學(xué)猜想”，是指一種基于數(shù)學(xué)事實(shí)材料和數(shù)學(xué)知識(shí)而生發(fā)的大膽的、創(chuàng)造性的想象。數(shù)學(xué)猜想是以自我內(nèi)隱的數(shù)學(xué)觀念、思想、理論和方法等為指導(dǎo)，對(duì)某些特定的數(shù)學(xué)對(duì)象及其關(guān)系做出的一種推斷、論斷。運(yùn)用數(shù)學(xué)猜想，學(xué)生可以產(chǎn)生新的解題思路、誕生新的解題方法、發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，數(shù)學(xué)猜想不是“瞎猜”、不是“胡思亂想”，而是根據(jù)問(wèn)題和條件的特質(zhì)展開(kāi)的合理想象。運(yùn)用“數(shù)學(xué)猜想”，可以開(kāi)啟兒童的數(shù)學(xué)智慧之門(mén)。

一、巧用“類比猜想”

“類比猜想”是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的已有條件的內(nèi)涵、性質(zhì)等，通過(guò)巧妙地類比，推出另一個(gè)對(duì)象可能也具有相似的問(wèn)題解決策略、方法或相應(yīng)結(jié)果。數(shù)學(xué)的類比猜想能夠活化學(xué)生思維，是學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段。

例1：理發(fā)店里的王師傅有兩條毛巾，既可以作為披肩用，也可以用作洗頭。如果作披肩用，160天毛巾將破舊報(bào)廢；如果用作擦頭發(fā)，40天就報(bào)廢。為了使用的天數(shù)盡可能多一些，王師傅交替著使用這條毛巾，即毛巾既作為披肩，又用作擦頭發(fā)。那么一條毛巾最多可以用多少天？

分析：根據(jù)題目的文字表述，我們很容易就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這一道題目的意思類似于“工程問(wèn)題”?；诖耍覀兛梢哉归_(kāi)類比猜想，如“一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要160天，乙單獨(dú)做需要80天?，F(xiàn)在兩隊(duì)合做，需要多少天可以完成這樣的工程？”在這里，陌生化的數(shù)量關(guān)系被轉(zhuǎn)化成熟悉的數(shù)量關(guān)系，其中的數(shù)學(xué)解題思路一目了然。因此，我們可以將一條毛巾的使用天數(shù)看作單位“1”，則作披肩用每天使用毛巾折舊，作洗頭用每天使用毛巾折舊為，兩種用法交替使用一天，即2天的折舊為+=。那么，要求一條毛巾交替使用最多可以使用多少天，就是求單位“2”里面有幾個(gè)+=。類比猜想讓數(shù)學(xué)問(wèn)題得以巧妙解決。

因此本題可以這樣列式：2÷+=64（天）。

二、智用“歸納猜想”

所謂“歸納猜想”，是指學(xué)生運(yùn)用歸納法（完全歸納法和不完全歸納法）對(duì)研究對(duì)象或問(wèn)題從一定數(shù)量的個(gè)例、特例、具體或全部例證中展開(kāi)數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)分析，進(jìn)而得出某些一般性的數(shù)學(xué)結(jié)論的猜想。運(yùn)用“歸納猜想”的一般步驟為：觀察—?dú)w納—猜想—驗(yàn)證。

例2：在平面上畫(huà)兩條直線，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)交點(diǎn)；在平面上畫(huà)三條直線，直線與直線兩兩相交，會(huì)產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn)。那么，在平面上畫(huà)100條直線，這些直線兩兩相交，一共會(huì)產(chǎn)生多少個(gè)交點(diǎn)？

分析：這一道習(xí)題顯然我們應(yīng)該采用“不完全歸納法”來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。即從某類事物中的部分事物出發(fā)，探究部分事物的規(guī)律、性質(zhì)或關(guān)系，進(jìn)而推斷出全體的規(guī)律、性質(zhì)或關(guān)系等。這里一般用的是因果歸納，即在這個(gè)過(guò)程中，我們無(wú)須考慮對(duì)象的全體，而只需對(duì)部分對(duì)象展開(kāi)數(shù)學(xué)觀察、研究，進(jìn)而得出數(shù)學(xué)結(jié)論。所以，不完全歸納中的因果歸納法要比完全歸納中的列舉歸納更具思維活力。這里，數(shù)學(xué)觀察和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是展開(kāi)歸納猜想的基礎(chǔ)。在本題中，我們可以通過(guò)畫(huà)圖，列表（如表1）展開(kāi)具體分析。

根據(jù)上述表格，不難發(fā)現(xiàn)淺表性的數(shù)學(xué)規(guī)律，即從1開(kāi)始的若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和。深入觀察便會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果直線的條數(shù)為n，那么交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是1+2+…+（n-1）。我們不禁要問(wèn)，每一次增加的交點(diǎn)有沒(méi)有什么規(guī)律呢？對(duì)了，每一次增加的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是原來(lái)的直線數(shù)。這是為什么呢？因?yàn)槊看卧黾右粭l直線都是在原有直線條數(shù)的基礎(chǔ)上增加的，都要和原有直線相交。因此，增加的交點(diǎn)數(shù)就是原有直線的條數(shù)。

因此本題可以這樣列式：1+2+3+…+99=4950（個(gè)）。

三、善用“審美猜想”

數(shù)學(xué)是一門(mén)美的科學(xué)。許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都有著簡(jiǎn)約美、奇異美、對(duì)稱美、和諧美等。教學(xué)中教師要善于引發(fā)學(xué)生的“審美猜想”，通過(guò)學(xué)生的“美感思維”對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題用一種別樣的策略來(lái)解決。在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，許多看似復(fù)雜、困難的問(wèn)題，其解決策略卻是簡(jiǎn)單的、充滿美感的。

例3：求圖1的周長(zhǎng)。

分析：這是求一個(gè)不規(guī)則的圖形的周長(zhǎng)的問(wèn)題。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，我們當(dāng)然可以各個(gè)擊破，分別求出三個(gè)“圓周長(zhǎng)的一半”，然后相加，最后求出整個(gè)圖形的周長(zhǎng)。但其實(shí)我們可以對(duì)這個(gè)圖形展開(kāi)動(dòng)態(tài)處理和“審美猜想”。如果將左邊“小圓周長(zhǎng)的一半”移至右邊“小圓周長(zhǎng)的一半”的上面，可以湊成一個(gè)小圓（如圖2）。然后我們可以將小圓的周長(zhǎng)往左拉，就可以形成右邊的圓（如圖3）。因此，本題中圖1的周長(zhǎng)也就是圖3的周長(zhǎng)。

因此本題列式為：C=2πr=8π（m）。

四、妙用“假設(shè)猜想”

假設(shè)猜想是指在數(shù)學(xué)猜想中運(yùn)用“假設(shè)法”，根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的性質(zhì)和條件的特點(diǎn)做出的一種先行于正確解答的數(shù)學(xué)猜想。假設(shè)猜想是一個(gè)多向思維的心理過(guò)程，具有經(jīng)驗(yàn)性、跳躍性、主動(dòng)性的特點(diǎn)。“假設(shè)猜想”猶如在大海捕魚(yú)，雖然不能“竭澤而漁”、十拿九穩(wěn)，但是依據(jù)自己的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和解題經(jīng)驗(yàn)，甚至一剎那的靈感都能做出一種即時(shí)判斷。

例4：明明從山腳上山頂，每分鐘行30米，從山頂沿著原路返回山腳，明明每分鐘行50米。已知明明上山比下山多用了4分鐘。那么，山腳與山頂?shù)木嚯x是多少米？

分析：由于題目中已知明明上山的速度和下山的速度以及上山與下山的時(shí)間差，而路程未知，導(dǎo)致本題看上去無(wú)從下手。不過(guò)復(fù)雜的問(wèn)題背后考量的是數(shù)學(xué)猜想的智慧。在本題中，如果我們巧妙設(shè)數(shù)，對(duì)山腳與山頂?shù)木嚯x進(jìn)行合理、巧妙地賦值，即把未知數(shù)量具體化，則或許可以讓問(wèn)題快捷地解決。據(jù)此，我們用假設(shè)法展開(kāi)合理的數(shù)學(xué)猜想。根據(jù)明明上山的速度是每分鐘30米和下山的速度是每分鐘50米，我們可以假設(shè)山腳和山頂?shù)木嚯x是150米（30和50的最小公倍數(shù)）。接著我們可以檢驗(yàn)猜想，當(dāng)山腳與山頂?shù)木嚯x是150米的時(shí)候，上山比下山多用了150÷30-150÷50=2分鐘。而題目中明明上山比下山多用了4分鐘，所以我們要調(diào)整猜想。因?yàn)?÷2=2，所以我們就再次假設(shè)山腳與山頂?shù)穆烦虨?50×2=300米。再次檢驗(yàn)我們的假設(shè)：300÷30-300÷50=4分鐘，與題目條件相符。

因此本題的正確結(jié)果是300米。

五、運(yùn)用“直覺(jué)猜想”

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，許多學(xué)生往往能夠迅速解決問(wèn)題，這體現(xiàn)為一種深刻的洞見(jiàn)。其中，直覺(jué)猜想往往發(fā)揮著重要的作用。著名物理學(xué)家愛(ài)因斯坦說(shuō)，“我信任直覺(jué)。”在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，我們應(yīng)當(dāng)首先對(duì)解題結(jié)果或解題過(guò)程有一個(gè)大致的估測(cè)，這是一種以直接的、跨越式的方式整體地把握問(wèn)題、直接獲取答案的過(guò)程。學(xué)生依憑自己的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)想象力往往能夠大致確定問(wèn)題的結(jié)果范圍。

例5：如圖4，在梯形ABCD中，△AOD和△BOC兩個(gè)陰影部分的面積相比（ ）（a大、b大、一樣大）。

分析：數(shù)學(xué)直覺(jué)洞察力是評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)才能的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。在本題中，我們憑借直覺(jué)認(rèn)為△AOD和△BOC的面積相等。當(dāng)然，這種依靠直覺(jué)的數(shù)學(xué)猜想開(kāi)始是無(wú)效果的，如何“有效地證明”呢？在數(shù)學(xué)直覺(jué)猜想的引導(dǎo)下，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)△ADC和△BDC是同底等高的三角形，因此△ADC和△BDC的面積是相等的。那么，△AOD、△BOC與△ADC、△BDC之間有沒(méi)有什么關(guān)系呢？不難看出△ADC的面積比△AOD的面積多了一個(gè)△ODC，而△BDC的面積比△BOC的面積也多了一個(gè)△ODC。因此，從△ADC和△BDC中分別減去一個(gè)△DOC的面積，剩下的△AOD和△BOC的面積也就分別相等。

因此，本題中△AOD和△BOC的面積相等。

六、活用“綜合猜想”

很多時(shí)候，猜想并不是單一的，而是綜合了類比、歸納與假設(shè)等多種數(shù)學(xué)猜想方法。首先是要教給學(xué)生基本的數(shù)學(xué)猜想方法，在學(xué)生掌握了基本數(shù)學(xué)猜想方法后，要引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行綜合猜想，培養(yǎng)學(xué)生的綜合猜想能力。通過(guò)一定的題目誘導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比、聯(lián)想，不斷開(kāi)闊學(xué)生的解題思路、解題方法，形成學(xué)生的解題思想。

分析：這道題目如果將分母算出來(lái)，然后通分簡(jiǎn)直不可思議。因?yàn)榉肿佣际?，所以我們還應(yīng)該從分母處展開(kāi)聯(lián)想。熟練的分?jǐn)?shù)加減法的經(jīng)驗(yàn)告訴我們，這道題可以和“裂項(xiàng)相消法”類比起來(lái)，將題目中的所有的項(xiàng)的乘積形式都改寫(xiě)成差的形式：如1-=，-=，…，-=。接著可以讓學(xué)生展開(kāi)歸納猜想，=（-）。然后將上述題目中的每一項(xiàng)都寫(xiě)成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差的形式。最后將分母是積的形式轉(zhuǎn)化成分母是差的形式。

因此，本題的正確解法是：

數(shù)學(xué)猜想能力是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知中最活躍、最具創(chuàng)造性的因子，它不是一朝一夕能形成的，而是需要教師長(zhǎng)期的悉心培養(yǎng)。因此數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不能簡(jiǎn)單而機(jī)械地傳授知識(shí)，而應(yīng)將學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想融入知識(shí)的生成過(guò)程中，融入數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中。只有這樣，才能萌發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，讓學(xué)生成為一個(gè)數(shù)學(xué)意義上的“小創(chuàng)客”！