肖 旭，馮 輝，梁 霄，龔恒翔

(重慶理工大學(xué) a.機(jī)械工程學(xué)院; b.電氣與電子工程學(xué)院， 重慶 400054)

基于單縫衍射原理的橫梁彎曲法楊氏模量實(shí)驗(yàn)儀的結(jié)構(gòu)變形分析

肖 旭a，馮 輝b，梁 霄b，龔恒翔b

(重慶理工大學(xué) a.機(jī)械工程學(xué)院; b.電氣與電子工程學(xué)院， 重慶 400054)

在以單縫衍射原理結(jié)合橫梁彎曲法測(cè)試楊氏模量的實(shí)驗(yàn)中，對(duì)被測(cè)件施加載荷的同時(shí)由于反作用力將使儀器結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形，導(dǎo)致狹縫寬度改變并影響最終測(cè)量結(jié)果。為此，在研究一款此類實(shí)驗(yàn)儀結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上,以Ansys軟件為平臺(tái)，對(duì)產(chǎn)生狹縫的結(jié)構(gòu)采用數(shù)值模擬的方法進(jìn)行了有限元分析。分析結(jié)果表明：隨著載荷的增加，結(jié)構(gòu)的變形量也隨之增加，并且兩者之間存在良好的線性關(guān)系。通過線性回歸分析得到載荷-變形量方程，并以此推導(dǎo)出相關(guān)修正公式來對(duì)實(shí)驗(yàn)時(shí)測(cè)量所得狹縫寬度進(jìn)行修正。最后通過制作樣機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，結(jié)果表明：經(jīng)過修正測(cè)量結(jié)果更加精確。

楊氏模量；結(jié)構(gòu)變形；數(shù)值模擬；誤差修正

楊氏模量是描述固體材料抵抗形變能力大小的物理量，取決于材料本身的物理性質(zhì)，而與幾何特征無關(guān)，是工程技術(shù)設(shè)計(jì)中的常用參數(shù)[1-2]。拉伸法、梁彎曲法、振動(dòng)法等是常用的測(cè)量楊氏模量的方法[3]。其中橫梁彎曲法更為普及,而對(duì)于橫梁微小彎曲形變量的準(zhǔn)確測(cè)量則是能否獲得精確實(shí)驗(yàn)結(jié)果的關(guān)鍵[4]。在一定的載荷作用下，除了被測(cè)樣品發(fā)生彎曲變形外，相關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)件也會(huì)有一定的變形，這種變形是否對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生不可忽略的影響，需要進(jìn)一步分析和驗(yàn)證。本文分析了一款基于單縫衍射原理測(cè)量橫梁彎曲量的楊氏模量實(shí)驗(yàn)儀的結(jié)構(gòu)變形，并推導(dǎo)出相關(guān)修正公式。

1 儀器工作原理和結(jié)構(gòu)

1.1 彎曲法原理

彎曲法測(cè)楊氏模量是通過測(cè)得材料在已知作用力下所產(chǎn)生的形變量，依據(jù)胡克定律推出材料楊氏模量的一種方法[5]。如圖1所示，厚為a、寬為b的均勻梁，水平對(duì)稱地懸掛在距離為L的兩刀口上，記錄下加力大小ΔF及其對(duì)應(yīng)擾度Δy，就可以得到均勻梁的楊氏模量:

(1)

圖1 彎曲法原理Fig.1 Principle of bending method

1.2 儀器結(jié)構(gòu)

該款實(shí)驗(yàn)儀(圖2)借助單縫衍射現(xiàn)象實(shí)現(xiàn)對(duì)有限載荷作用下橫梁微小形變量的線性放大，從而解決直接測(cè)量困難和不準(zhǔn)確的問題[6]。如圖3所示，以激光(波長為λ)照射兩刀片間狹縫，在距離狹縫為D的光屏上將產(chǎn)生衍射條紋，在施力框架對(duì)被測(cè)件施加壓力的過程中，施力框架連同下刀片一起垂直向下移動(dòng)(上刀片靜止)，使狹縫寬度z改變；則被測(cè)件的變形量Δy等同于框架的位移量也等同于狹縫寬度變化量Δz；根據(jù)式(1)和(2)，只要測(cè)量加力前后一級(jí)衍射暗條紋位置Xi+1和Xi就能得到被測(cè)件擾度變化量Δy和被測(cè)件楊氏模量E：

(2)

(3)

(4)

1.狹縫預(yù)調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu); 2.支架(帶側(cè)刀口); 3.衍射條紋生成結(jié)構(gòu); 4.載荷施加結(jié)構(gòu); 5.壓力傳感器; 6.底板

圖2 實(shí)驗(yàn)儀結(jié)構(gòu)

Fig.2 Experimental apparatus structure

圖3 衍射條紋生成結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Structure diagram of generate diffraction stripes

2 儀器系統(tǒng)誤差分析

實(shí)驗(yàn)誤差包含了隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差，某個(gè)或某些主要的系統(tǒng)誤差分量可以得到減小[7]。從式(3)和(4)可以看出：減小測(cè)量各個(gè)物理量(a,b,L,D,ΔF和X)時(shí)的測(cè)量誤差就能提高測(cè)量精度，減小部分誤差分量。

能產(chǎn)生衍射條紋的狹縫寬度往往為微米級(jí)，結(jié)構(gòu)變形對(duì)狹縫寬度的影響就不容忽視。如圖4所示，該實(shí)驗(yàn)儀的工作原理是固定上刀片，下刀片隨著橫梁的彎曲而向下運(yùn)動(dòng)，并且將被測(cè)件的擾度變化量Δy以刀口狹縫寬度變化量Δz來表示。 但Δy=Δz只在零件為剛體時(shí)成立，實(shí)際情況下，結(jié)構(gòu)在受到來自被測(cè)件的反作用力時(shí)必定發(fā)生變形，導(dǎo)致Δz并不等于Δy。此時(shí)，通過式(4)所得到的楊氏模量值就非自身的真實(shí)值。因此，若能在提高測(cè)量精度的同時(shí)，通過修正減小因結(jié)構(gòu)受力變形帶來的系統(tǒng)誤差分量，就能得到更加精確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

(4)

3 變形量模擬和誤差修正

實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生狹縫的上刀片靜止不動(dòng)，下刀片刀口處則在被測(cè)件的反作用力下產(chǎn)生受力變形影響?yīng)M縫寬度。本文首先以數(shù)值模擬方法進(jìn)行了有限元分析，得到下刀口處變形量的近似值，并且以線性回歸分析得到該變形量隨施力大小之間的變化規(guī)律[8]，以此推導(dǎo)關(guān)于刀口受力變形的修正公式。

圖4 受力變形的影響Fig.4 The influence of load and deformation

3.1 有限元建模和求解

該模型除了受到自身的重力外，施力框架受到同施力大小相等的來自被測(cè)件的反作用力，框架底端則由螺栓連接起到固定作用。因此，賦予模型垂直向下的重力加速度，將框架下端的螺紋孔作為固定約束，在框架的刀口處施加一個(gè)垂直向上的線性壓力，利用ANSYS R15.0完成建模并進(jìn)行求解。模型及邊界條件見圖5。

圖5 模型及邊界條件Fig.5 Model and boundary conditions

3.2 變形量求解及分析

將該儀器配備的壓力傳感器所能讀取的最大值200 N帶入求解模型，得到模型的總變形圖(圖6)。并將總變形以沿著坐標(biāo)軸X，Y和Z三個(gè)方向上的分量來表示(圖7～9)?？梢钥闯鱿碌镀犊谠谶@3個(gè)方向上的變形量都極其微小，并且單縫衍射現(xiàn)象本身就是將狹縫的寬度放大表示，因此忽略其在X和Z軸上的變形，只對(duì)直接影響衍射條紋寬度的垂直方向(Y軸)上的刀口處變形量進(jìn)行修正。記該變形量為z′，測(cè)量計(jì)算所得狹縫寬度為Δz，則被測(cè)件的真實(shí)擾度Δy是二者之和：

(5)

圖6 總變形Fig.6 Total deformation

圖7 X方向變形Fig.7 X-direction deformation

圖8 Y方向變形Fig.8 Y- direction deformation

圖9 Z方向變形Fig.9 Z-direction deformation

3.3 誤差修正

該款實(shí)驗(yàn)儀是利用渦輪蝸桿傳遞平穩(wěn)且持續(xù)可控的壓力，因此需要得到刀口處的變形量隨壓力變化的規(guī)律，以此作為在實(shí)驗(yàn)中與不同壓力變化ΔF下對(duì)應(yīng)的Δy進(jìn)行修正的依據(jù)。將200 N的最大許可壓力分200次逐步施加在框架上，利用ANSYS得到每加1N后的下刀片刀口處的變形量(表1)以及隨壓力變化的散點(diǎn)圖(圖10)。

表1 刀口處變形量Table 1 Deformation of knife edge

圖10 壓力-變形量散點(diǎn)圖Fig.10 Scatter diagram of pressure-deformation

如圖10所示，在設(shè)定的最大力范圍內(nèi)，形變量與力具有很好的線性關(guān)系。對(duì)散點(diǎn)圖中的數(shù)據(jù)進(jìn)行一元線性回歸分析，擬合出下刀片刀口處的變形量z′和壓力大小F的一元回歸方程：

(6)

(7)

則對(duì)于該儀器經(jīng)過修正后的楊氏模量為

(8)

4 樣機(jī)測(cè)試和數(shù)據(jù)分析

4.1 測(cè)試平臺(tái)的搭建

為了提高測(cè)量精度，實(shí)驗(yàn)中使用深圳拓旭偉業(yè)科技公司生產(chǎn)的GP-660V型號(hào)的CCD對(duì)衍射條紋進(jìn)行測(cè)量[10]，搭建如圖11所示的測(cè)試平臺(tái)，從左到右依次為：試驗(yàn)樣機(jī)(圖12)、激光衰減片、標(biāo)靶(精度0.01 mm)、CCD。測(cè)試時(shí)，用CCD所得圖像(含標(biāo)靶)配合像素點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，如圖12所示。標(biāo)靶中的的數(shù)字間隔為1 mm，經(jīng)標(biāo)定后標(biāo)稱像元平均間距W=0.009 802 mm[11]。

圖11 測(cè)試平臺(tái)Fig.11 Test platform

圖12 實(shí)驗(yàn)樣機(jī)Fig.12 Experimental prototype

圖13 條紋圖像Fig.13 Fringe image

4.2 數(shù)據(jù)測(cè)量和分析

對(duì)紫銅樣品(文獻(xiàn)參考值：117.2 GPa)和304不銹鋼樣品(文獻(xiàn)參考值：197 GPa)進(jìn)行測(cè)試[12-13]，用螺旋測(cè)微器(Δ儀=0.004 mm)測(cè)量a，游標(biāo)卡尺(Δ儀=0.02 mm)測(cè)量b和L，鋼尺(Δ儀=0.2 mm)測(cè)量D，拉壓傳感器(Δ儀=0.01 N)測(cè)量并計(jì)算出ΔF，通過測(cè)量條紋圖像中暗條紋間隔間的像素點(diǎn)個(gè)數(shù)和長度就可以得知材料變化擾度ΔZ，各項(xiàng)數(shù)據(jù)見表2。

表2 實(shí)驗(yàn)樣品的測(cè)量數(shù)據(jù)Table 2 Experimental measurement of samples

已知激光波長λ=650 nm(Δ儀=4 nm)，則可知各項(xiàng)測(cè)量值的不確定度為：

Δa=4×10-6m, Δb=ΔL=2×10-5m

ΔD=2×10-4m，ΔΔλV=4×10-9m

ΔΔF=0.01 N

擾度變化的不確定度為

則楊氏模量值的不確定度為

(9)

4.3 數(shù)據(jù)處理

根據(jù)所測(cè)得數(shù)據(jù)和式(3)、(4)和式(9)即可計(jì)算出樣品的楊氏模量和不確定度。再通過本文所得修正公式(式(8))，即可得到修正前后的樣品楊氏模量值，將其與文獻(xiàn)參考值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見表3。

表3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of experimental results

從測(cè)試結(jié)果可以看出：修正后的楊氏模量值相比修正前更接近參考值，說明對(duì)衍射條紋生成結(jié)構(gòu)進(jìn)行關(guān)于變形的修正可使測(cè)量結(jié)果更精確。

5 結(jié)束語

綜上所述，在使用該款實(shí)驗(yàn)儀器時(shí)，結(jié)構(gòu)變形影響了測(cè)量結(jié)果。本文以數(shù)值模擬法對(duì)儀器結(jié)構(gòu)的變形進(jìn)行分析，推導(dǎo)出相關(guān)修正公式來處理測(cè)量結(jié)果。實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果表明：經(jīng)過修正減小了關(guān)于形變的系統(tǒng)誤差分量。同時(shí)，對(duì)于工作原理相同的此類實(shí)驗(yàn)儀器，為提高測(cè)量精度，本文所提出的分析方法具有一定的參考價(jià)值，也可用于儀器的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

[1] 李艷琴,趙紅艷,李學(xué)慧,等.動(dòng)力學(xué)共振法測(cè)量固體楊氏模量[J].實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2009,28(10):16-18.

LI Yanping,ZHAO Hongyan,LI Xuehui,et al. Measurement of Solid Materials’ Young Modulus by Dynamical Resonance Method[J]. Research and Exploration in laboratory, 2009,28(10):16-18.

[2] 崔占全,孫振國.工程材料[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2003:27-29.

CUI Zhanquan,SUN Zhenguo.Engineering Materials[M].Beijing：Machinery Industry Press，2003:27-29.

[3] 周曉明.三種楊氏模量測(cè)量方法比較[J].實(shí)驗(yàn)科學(xué)與技術(shù)，2011,9(6):97-99.

ZHOU Xiaoming.A Comparison on Measuring Methods of Young’s Modulus in Physics Experimental Teaching[J].Experiment Science and Technology.2011,9(6):97-99.

[4] 袁長坤,武步宇,王家政,等.物理量測(cè)量[M].北京:科學(xué)出版社,2004:59-61.

YUAN Changkun,WU Buyu,WANG Jiazheng, et al.Physical Quantity Measurement[M].Beijing:Science Press,2004:59-61.

[5] 梁宵,田源,鐵位金,等.橫梁彎曲法測(cè)楊氏模量實(shí)驗(yàn)儀的研制[J].物理實(shí)驗(yàn)，2011,31(8)： 31-33.

LIAO Xiao,TIAN Yuan,TIE Weijin,et al.Development of bending crossbeam diffration apparatus for Young modulus test[J].Physics Experimentation.2011,31(8)：31-33.

[6] 陳鵬,楊鵬,馮學(xué)超,等.激光單縫衍射測(cè)量實(shí)驗(yàn)的兩點(diǎn)改進(jìn)[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2015,28(5)：39-41.

CHEN Peng,YANG Peng,FENG Xuechao,et al. Two Improvements of Laser Single Slit Diffraction Measurement Experiment[J].Physics Experiment of College.2015,28(5)：39-41.

[7] 李華平.實(shí)驗(yàn)誤差的幾個(gè)基本概念[J].物理與工程,1992(3):21-24.

LI Huaping.Several Basic Concepts of Experimental Errors[J].Physics and Engineering.1992(3):21-24.

[8] 劉峰,譚祥勇,何卓.函數(shù)性線性回歸模型分析方法及其應(yīng)用[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)),2015(11):135-138.

LIU Feng,TAN Xiangyong,HE Zhuo.Methods of Functional Linear Regression Model and Its Applications[J].Journal of Chongqing University of Technology (Natural Science),2015 (11):135-138.

[9] 余家林,肖枝洪.概率統(tǒng)計(jì)與SAS應(yīng)用[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2007:173-186.

YU Jialin,XIAO Zhihong.Probability Statistics and SAS Application[M].Wuhan:Wuhan university press,2007:173-186.

[10]潘華錦,張麗,馬春庭.利用CCD測(cè)量單縫衍射的光強(qiáng)分布[J].計(jì)量與測(cè)量技術(shù),2009,36(3):57-58.

PAN Huajin,ZHANG Li,MA Chunting.Research On Measuring the Diffration Light Intensity Distribution Using the Linear CCD[J].Metrology and Measurement Technique.2009,36(3):57-58.

[11]周珺,郭鵬.基于CCD技術(shù)測(cè)量單縫衍射中中央明紋的相對(duì)光強(qiáng)[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2014, 27(3):55-57.

ZHOU Jun,GUO Peng.Measurement of the Relative Intensity of Central Bright Fringe for Single Slit Diffraction Based on CCD Technology[J].Physics Experiment of College.2014,27(3):55-57.

[12]劉平,任鳳章,賈淑果,等.銅合金及其應(yīng)用[M].北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2007:43.

LIU Ping,REN Fengzhang,JIA Shuguo,et al.Copper Alloys and Their Applications[M].Beijing:Chemical Industry Press,2007:43.

[13]顧紀(jì)清.不銹鋼應(yīng)用手冊(cè)[M].北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2012:366.

GU Jiqing.Stainless steel application manual[M].Beijing:Chemical Industry Press,2012:366.

(責(zé)任編輯 劉 舸)

Structural Deformation Analysis for an Experimental Apparatus of Young’s Modulus Measuring Based on Single Slit Diffraction and Beam Bending

XIAO Xua, FENG Huib, LIANG Xiaob, GONG Heng-xiangb

(a.College of Mechanical Engineering; b.College of Electronic and Electrical Engineering,Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

In the test experiment of young’s modulus which through the method of single slit diffraction principle combined with beam bending, reaction will make the instrument structure cause deformation when an applied load to the equipment under test, and change the slit width so as to affect the final measurement result. This paper focuses on such an experimental apparatus based on structure features, by using ANSYS software as a development platform, and the method of numerical simulation with finite element analysis the deformation of the part which produces the slit in this experimental apparatus. The results show that: if the increase of load, the deformation of the structure will also increase, and there is a good linear relationship between them. By monadic linear regression analysis to get the load-deformation equation, and related correction formula is deduced for modifying the slit width in the experiment. At last, the results also show that the result will be more accurate after the modification by making the prototype experiment test.

young’s modulus; structural deformation; numerical simulation; error correction

2016-08- 24

重慶市科委應(yīng)用開發(fā)項(xiàng)目(cstc2014yykfB0037)

肖旭(1991—)，男，陜西安康人，碩士研究生，主要從事機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及運(yùn)動(dòng)分析研究；通訊作者 龔恒翔(1971—)，男，甘肅蘭州人，博士，主要從事光伏新能源領(lǐng)域的研究，E-mail:gonghx@cqut.edu.cn。

肖旭,馮輝,梁霄,等.基于單縫衍射原理的橫梁彎曲法楊氏模量實(shí)驗(yàn)儀的結(jié)構(gòu)變形分析[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2017(1):46-52.

format：XIAO Xu, FENG Hui, LIANG Xiao, et al.Structural Deformation Analysis for an Experimental Apparatus of Young’s Modulus Measuring Based on Single Slit Diffraction and Beam Bending[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(1):46-52.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.01.008

O348

A

1674-8425(2017)01-0046-07