李睿賁

說(shuō)到高中數(shù)學(xué)，平均值不等式是不等式的重要內(nèi)容之一，是高中數(shù)學(xué)不等式一章中的最基礎(chǔ)、應(yīng)用最廣泛的靈活因子。作為一名高中生來(lái)說(shuō)，在數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)中，豐富平均值不等式這方面的知識(shí)對(duì)提高數(shù)學(xué)解題能力和數(shù)學(xué)修養(yǎng)等方面都是大有益處的。

在處理有關(guān)平均值不等式的證明問(wèn)題時(shí)，并非每一個(gè)問(wèn)題都可以看出它是否可以使用均值不等式，這就存在一個(gè)如何創(chuàng)造使用均值不等式的環(huán)境問(wèn)題.此時(shí)會(huì)用到平均值不等式的一些運(yùn)用技巧。這些技巧體現(xiàn)了平均值不等式在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的靈活性、廣泛性與重要性。

一、拆項(xiàng)法

我們?cè)诮忸}時(shí)，要注意到使用n次平均值不等式的前提必須是有n個(gè)和項(xiàng)或積項(xiàng)（注：在高中階段只要求n=2或n=3兩種情況），有時(shí)題設(shè)不具備n個(gè)項(xiàng)，這時(shí)我們可以考慮把一項(xiàng)或幾項(xiàng)進(jìn)行分拆，產(chǎn)生n個(gè)項(xiàng)，以創(chuàng)造均值不等式的使用環(huán)境。

二、添項(xiàng)法

對(duì)不具備使用平均值不等式條件的關(guān)系式，添加一些關(guān)系式，創(chuàng)造均值不等式使用環(huán)境，也是一種常用手段。比如，如果所求式的形式為a+b且ab不為定值，我們可以考慮使用添項(xiàng)法，給所求式添上僅符號(hào)相反的同類(lèi)項(xiàng)，把它變成a+c-c+b的形式.注意，添項(xiàng)后應(yīng)符合“積為定值”的情形。通過(guò)添項(xiàng)我們把原式分為兩部分，這兩部分各項(xiàng)之積分別為定值，這是求解的關(guān)鍵。

三、減項(xiàng)法

多元輪換對(duì)稱不等式，?？衫脺p元或減項(xiàng)的方法化為二元不等式，創(chuàng)造使用均值不等式的環(huán)境，然后輪換相加，以達(dá)到證明目的.

四、代換法

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于以下三種情況，可用代換法求解：第一種情況，如果條件中存在或通過(guò)化簡(jiǎn)能得到一個(gè)值為1的代數(shù)式，可把這個(gè)結(jié)果為1的代數(shù)式代入目標(biāo)式中，變形后再利用均值不等式求解。第二種情況，對(duì)于多元條件的求最值問(wèn)題，一般可考慮通過(guò)換元化多元為一元，將所求目標(biāo)化為一元函數(shù)，再利用均值不等式求解。第三種情況，如果目標(biāo)式含有分式且分母形式復(fù)雜，可以考慮用一元未知數(shù)替換分母，將分母的形式簡(jiǎn)化后再求解。我們通過(guò)一個(gè)例題來(lái)看一下。

例題：已知a，b都是負(fù)實(shí)數(shù)，則+的最小值是（ ）

解析：在例題中，分母a+2b，a+b均為多項(xiàng)式，且·不為定值.若能將分母轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式，則有利于問(wèn)題的化簡(jiǎn)和求值.

設(shè)m=a+2b，n=a+b.因?yàn)閍，b都是負(fù)實(shí)數(shù)，所以m<0，n<0，所以>0. 由m=a+2b，n=a+b可得a=2n-m，b=m-n，所以+=+=+-2≥2-2=2-2.當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立.

評(píng)注：例題中，采用了換元法，它的巧妙之處在于用m替換了分母a+2b，用n替換了分母a+b，把分母從多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式，使化簡(jiǎn)、計(jì)算更簡(jiǎn)單.

五、改變結(jié)構(gòu)法

有些不等式僅從式子結(jié)構(gòu)上看并不具備使用均值不等式的環(huán)境，但如果對(duì)結(jié)構(gòu)式做適當(dāng)?shù)淖兓?，解決的方式就一目了然了。比如，如果條件式和目標(biāo)式的系數(shù)存在一定的聯(lián)系，可以根據(jù)題意對(duì)條件式或目標(biāo)式進(jìn)行變形，如取倒數(shù)、平方、因式分解等，構(gòu)造出和或積是定值的情形，同時(shí)使得目標(biāo)式與條件式相互對(duì)應(yīng)。

例題：已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是

（A）3（B）4（C）5（D）6

解析：我們發(fā)現(xiàn)，條件式x+2y+2xy=8的系數(shù)1，2，2和目標(biāo)式x+2y的系數(shù)1，2具有一定的相似度.如果對(duì)條件式進(jìn)行因式分解，將它變?yōu)椤胺e”式（x+1）（2y+1）=9，就可利用均值不等式求出“和”式（x+1）+（2y+1）的最小值.

由x+2y+2xy=8可得（x+1）（2y+1）=9，所以（x+1）+（2y+1）≥2=6，即x+2y≥4.當(dāng)且僅當(dāng)x+1=2y+1，

x+2y+2xy=8時(shí)等號(hào)成立. 結(jié)合x(chóng)>0，y>0，解得x=2，

y=1.所以x+2y的最小值是4，選B.

評(píng)注：由于目標(biāo)式x+2y的形式為“和”式，所以我們嘗試從條件中找出與目標(biāo)式系數(shù)相等的、具有定值的“積”式.對(duì)條件式重新進(jìn)行組合，將它轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的“積”式（x+1）·（2y+1）=9，就能根據(jù)“積定和最小”求解.這正是此類(lèi)問(wèn)題的思考方向。有時(shí)候，我們可以把目標(biāo)式看作一個(gè)整體，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于目標(biāo)式的不等式，通過(guò)解不等式求出答案。

如何添項(xiàng)、拆項(xiàng)、換元、構(gòu)造，是利用均值不等式求最值問(wèn)題的難點(diǎn).但實(shí)際上，所有的配湊變形技巧都是為了實(shí)現(xiàn)“一正、二定、三相等”的目標(biāo)，只要找準(zhǔn)方向，使目標(biāo)“和”與條件“積”對(duì)應(yīng)，使目標(biāo)“積”與條件“和”對(duì)應(yīng)，就能順利解題。

平均值不等式始終貫穿于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，它是不等式的基礎(chǔ)，同時(shí)也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)。它的應(yīng)用很廣泛，尤其是在求函數(shù)最值的時(shí)候。事實(shí)上，利用均值不等式求最值，“一正、二定、三相等”的條件很重要，特別是“等號(hào)條件的成立”。但是，在運(yùn)用均值不等式的時(shí)候，往往就容易產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤。因此，我們?cè)谑褂闷骄挡坏仁浇忸}時(shí)，需要注意以下事項(xiàng)。

（1）不同的均值不等式對(duì)實(shí)數(shù)的取值范圍有不同的要求，如果實(shí)數(shù)在二次根號(hào)下，要求實(shí)數(shù)大于等于零。（2）均值不等式是帶有等號(hào)的不等式，在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，首先，要考慮等號(hào)成立的條件。（3）為了便于掌握均值不等式，可以運(yùn)用多種形式，例如，符號(hào)表達(dá)、圖形表達(dá)、生活用語(yǔ)。把生活語(yǔ)言表述成符號(hào)，容易看出其與均值不等式的密切關(guān)系。（4）解答圓的直徑與弦長(zhǎng)大小的比較也可用均值不等式，體現(xiàn)了均值不等式的幾何意義。這是一個(gè)典型的幾何問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用中有很多用處。（5）在周長(zhǎng)相等的全部矩形中，面積是最大的是正方形。在面積相等的全部矩形中，周長(zhǎng)最小的是正方形。這個(gè)結(jié)論通過(guò)反復(fù)驗(yàn)證、分析，具有普遍意義。

在重新整理了均值不等式的過(guò)程中，我開(kāi)拓了解題思路，提高了對(duì)均值不等式的認(rèn)識(shí)。通過(guò)對(duì)本文的闡述，我相信同學(xué)們對(duì)解均值不等式的應(yīng)用也有了進(jìn)一步的了解和自己的體會(huì)。利用均值不等式的常用技巧，可以提高我們的解題思路，大大增加解題效率，對(duì)提高數(shù)學(xué)解題能力和數(shù)學(xué)修養(yǎng)等方面將大有益處。