吳詩陽，李文軒

（南京水利科學(xué)研究院，江蘇 南京 210024）

直立擋土墻土壓力研究

吳詩陽，李文軒

（南京水利科學(xué)研究院，江蘇 南京 210024）

基于庫倫土壓力墻后填土滑動(dòng)楔體的極限平衡理論，建立滑動(dòng)楔體上微元體的平衡方程，考慮水平力和豎向力的平衡條件，推導(dǎo)出適用于黏性土的主、被動(dòng)土壓力計(jì)算公式。該公式可以充分考慮滑裂面上黏聚力以及墻土間黏著力對(duì)土壓力的影響，并且公式形式簡(jiǎn)單，易于計(jì)算。通過多個(gè)實(shí)例驗(yàn)算，計(jì)算結(jié)果與規(guī)范建議值和實(shí)測(cè)值相近，表明文中推導(dǎo)的公式合理可行，對(duì)工程具有一定的指導(dǎo)意義。最后分析了墻背摩擦角、墻土黏著力以及填土內(nèi)摩擦角對(duì)擋土墻土壓力的影響。

擋土墻；主動(dòng)土壓力；被動(dòng)土壓力；極限平衡；黏性土

0 引言

擋土墻土壓力的計(jì)算一直是工程界和學(xué)術(shù)界關(guān)心的問題，如何準(zhǔn)確計(jì)算出土壓力是擋土墻設(shè)計(jì)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。從極限平衡理論出發(fā)，其典型代表是朗肯土壓力理論和庫倫土壓力理論。但由于假設(shè)簡(jiǎn)單，二者的適用范圍都有一定的局限性。其中朗肯土壓力理論只適用于墻背垂直、光滑、墻后填土水平的情況；庫倫土壓力理論只適用于墻后填土為無黏性土的情況。但實(shí)際工程中很難嚴(yán)格滿足其假設(shè)條件，這樣會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值出現(xiàn)偏差。后來有不少學(xué)者[1-6]對(duì)庫倫土壓力理論進(jìn)行修正和改進(jìn)，使其能夠適用于黏性土的計(jì)算。其中也有很多學(xué)者得出不錯(cuò)的結(jié)論，但計(jì)算公式異常復(fù)雜，很難運(yùn)用到實(shí)際工程中去。

本文針對(duì)實(shí)際工程中較為常見的直立擋土墻，采用文獻(xiàn)[7-9]的計(jì)算方法，沿深度方向取微分單元體進(jìn)行分析，并在水平和豎直2個(gè)方向上建立力的平衡條件，從而推導(dǎo)出擋土墻上土壓力分布、土壓力合力及合力作用點(diǎn)的理論計(jì)算公式。并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出墻后填土為黏性土的主、被動(dòng)土壓力計(jì)算公式，以及墻后填土表面傾斜情況下的土壓力計(jì)算公式。并且，在推導(dǎo)的過程中還可以考慮拉力區(qū)裂縫深度和墻土間黏著力對(duì)擋土墻土壓力的影響。

1 土壓力計(jì)算

1.1 主動(dòng)土壓力

庫倫假設(shè)：假設(shè)擋土墻在填土壓力作用下離開填土向前移動(dòng)，當(dāng)墻后土體達(dá)到極限平衡狀態(tài)時(shí)（主動(dòng)狀態(tài)），土體中產(chǎn)生兩個(gè)通過墻腳A的滑動(dòng)面AC和AB，取滑動(dòng)面AC與水平面夾角為θ。本文假設(shè)墻面垂直，填土水平，墻背與填土之間的摩擦角為δ，填土間的內(nèi)摩擦角為φ。在沿深度y處取一微分單元，單元頂面作用壓力Fy，單元底面作用反力Fy+dFy，單元左邊作用水平力ex和剪力t1，右邊作用法向力r和剪力t2，以及單元體自重dw。假設(shè)楔體式整體滑動(dòng)，忽略單元上表面和下表面的剪力，如圖1所示。

圖1 墻后填土受力分析Fig.1 Stress analysis of the backfill behind the wall

考慮到滑裂面上黏聚力以及填土與墻背接觸面上的黏著力，則t1=cw+extan δ，t2=c+rtan φ。

其中：cw即為墻背與填土間的黏著力，由于資料較少，采用文獻(xiàn)[5]建議的方法，取cw=nc，n為0～1之間的系數(shù)，視影響因素確定；ex=KFy，K為側(cè)壓力系數(shù)。

根據(jù)力的平衡條件，取x方向平衡得：

將t2代入并化簡(jiǎn)得：

再取y方向平衡得：

然后將t1、t2、r代入式（4）得：

這就是墻后滑動(dòng)楔塊微元體的基本方程，通過求解式（6）便可得到豎向荷載的一般解，其解為：

式中：C為常數(shù)，可以通過邊界條件確定。本文當(dāng)y=0時(shí)，F(xiàn)y=q，代入式（7）得：

將式（8）代入式（7）得：

由上述可知ex=KFy，因此：

此式即為水平主動(dòng)土壓力的分布情況，可以看出ex的大小與H-y的aK-1次方相關(guān)，若aK-1=1時(shí)，ex呈線性分布，否則此分布呈非線性，這與近年許多學(xué)者得出的結(jié)果相似，更符合實(shí)際情況。

水平向的總土壓力可以通過式（11）求得：

再將a，b代入得：

式（12）是水平土壓力合力的一般計(jì)算公式，由于Ex=Ecos δ，因此：

式（13）即為所求的總土壓力的計(jì)算公式，當(dāng)c=0時(shí)，公式（13）將化簡(jiǎn)成與文獻(xiàn)[9]同樣的公式，因此可以將文獻(xiàn)[9]所推導(dǎo)的公式看成本文公式的一個(gè)特例。

從式（13）還可以看出，E是關(guān)于θ的函數(shù)，根據(jù)主動(dòng)土壓力的基本原理：“在所有可能的滑裂面傾角θ中，正好有一個(gè)導(dǎo)致最大土壓力的傾角θcr”，即式（13）的最大值即為所求的主動(dòng)土壓力Ea，同時(shí)相對(duì)應(yīng)的滑裂面傾角θcr。求解E可采用庫倫土壓力理論的方法，求dE/dθ=0時(shí)的θcr角，就可得到作用在墻背上的總庫倫主動(dòng)土壓力的計(jì)算公式。但由于E的表達(dá)式有些復(fù)雜，推求的θcr角表達(dá)式有些繁瑣和冗長，以至于求不出θcr的顯式。因此本文通過c++軟件編寫相應(yīng)的計(jì)算程序，通過試算法很容易求得式（13）的最大值，并能得到相應(yīng)的θcr，同時(shí)精度也可以隨意設(shè)定。

1.2 庫倫公式對(duì)比

庫倫公式的一般表達(dá)形式為：

當(dāng)ε=0，α=0時(shí)（墻背垂直，填土水平），可化為：

針對(duì)本文，當(dāng)q=0，c=0時(shí)，式（13）可化為：

可見這兩個(gè)公式完全相同，即在墻背垂直、填土表面水平情況下，庫倫公式是本文公式的特例，下文還推導(dǎo)了填土表面傾斜情況下的土壓力計(jì)算公式，擴(kuò)充了本文計(jì)算公式的使用條件。

若考慮c的影響時(shí)，原有的庫倫公式無從下手，而本文推導(dǎo)的公式可以很好地考慮黏聚力以及黏著力對(duì)土壓力的影響，體現(xiàn)出優(yōu)勢(shì)性。但同時(shí)，也附帶地引起了一個(gè)似是而非的問題[10-11]，即在計(jì)算主動(dòng)土壓力時(shí)，在擋土墻的頂部一定深度范圍內(nèi)，墻土之間將出現(xiàn)拉應(yīng)力，很多學(xué)者都對(duì)其有過描述[12-14]，但對(duì)拉應(yīng)力的理解各有不同。本文采用主流學(xué)說，認(rèn)為這種拉應(yīng)力是不可靠的，在計(jì)算過程中不考慮拉力的作用，并將拉應(yīng)力區(qū)的土體，作為均載作用在土體上，即q′=γh0，Q= q+q′，其中h0即為地面裂縫深度，采用文獻(xiàn)[6]建議的公式：

式中：Ka為朗肯主動(dòng)土壓力系數(shù)，當(dāng)h0≤0時(shí)表示無裂縫開展，在計(jì)算中可令h0=0。若考慮這些影響，式（13）變?yōu)椋?/p>

1.3 合力作用點(diǎn)位置

則合力作用點(diǎn)距墻角高度即為HA=M/Ex，得：

式中：K為側(cè)壓力系數(shù)，介于靜止土壓力系數(shù)與主動(dòng)土壓力系數(shù)之間，視具體情況而定。

1.4 被動(dòng)土壓力

采用與主動(dòng)土壓力類似的方法[15-21]，由于被動(dòng)土壓力作用方向的改變，則其水平和豎向平衡方程會(huì)發(fā)生相應(yīng)的改變，受力分析見圖2。

圖2 被動(dòng)土壓力受力分析Fig.2 Stress analysis of passive earth pressure

水平方向和垂直方向平衡方程分別為：

整理得：

求解得：

因此總庫倫被動(dòng)土壓力的一般計(jì)算公式為：

與上述一樣，編寫了計(jì)算程序，很容易求得其最小值，對(duì)比主動(dòng)土壓力公式和被動(dòng)土壓力公式不難發(fā)現(xiàn)，只需將主動(dòng)土壓力公式φ和δ角以及c變換為-φ，-δ和-c即可將主動(dòng)土壓力公式轉(zhuǎn)換為被動(dòng)土壓力公式，非常方便。

1.5 墻后填土表面傾斜

考慮墻后填土傾斜的情況，即β≠0，由庫倫理論可知，β≠0并不影響水平方向上力的平衡條件，故此可以將三角形ABC′的自重等效成m倍三角形ABC的自重，如圖3所示。

圖3 墻后土體示意圖Fig.3 Sketch of backfill behind the wall

基于庫倫土壓力理論，式（13）、（26）、（27）即是在不同條件下的直立擋土墻土壓力計(jì)算公式，公式形式比較簡(jiǎn)單，可以很好地通過簡(jiǎn)單的數(shù)值軟件實(shí)現(xiàn)，便于在實(shí)際工程中使用。下文將驗(yàn)算本文推導(dǎo)公式的準(zhǔn)確性。

2 算例分析

算例1：γ=18.6 kN/m3，H=10 m，φ=24°， q=0，α=0，β=0，cw=0，與文獻(xiàn)[6]、規(guī)范對(duì)比如表1所示。

表1 主動(dòng)土壓力算例1Table 1 Example 1 of active earth pressure

從表1中可以看出，不管是黏聚力為0或不為0，通過本文的計(jì)算公式，都與規(guī)范公式接近，但本文推導(dǎo)的公式與文獻(xiàn)[6]不同，數(shù)值卻很接近，也間接反映本文推導(dǎo)公式的正確性，當(dāng)c=0時(shí)，式（13）就轉(zhuǎn)化為庫倫土壓力計(jì)算公式，但土壓力的分布規(guī)律卻與庫倫土壓力理論截然不同。

取文獻(xiàn)[15]的數(shù)據(jù)H=4.45 m，γ=14.27 kN/m3，q=0，c=1.427 kPa，φ=24.26°，α=0，δ=21.4°，cw=0.98 kPa，測(cè)得剛性擋墻主動(dòng)土壓力強(qiáng)度分布如圖4所示。取文獻(xiàn)[21]的數(shù)據(jù)H=10 m，φ=30°，δ=10°，γ=18 kN/m3，c=0，α=0，β=0，可得被動(dòng)極限狀態(tài)下水平土壓力分布如圖5所示。

圖4 主動(dòng)土壓力分布Fig.4 Distribution of active earth pressure

圖5 被動(dòng)土壓力分布Fig.5 Distribution of passive earth pressure

從圖4中可以看出主動(dòng)土壓力強(qiáng)度沿墻背為曲線分布，近似拱形，而非經(jīng)典朗肯和庫倫理論的線性分布，并與實(shí)測(cè)值和蔣莼秋計(jì)算值的分布情況基本保持一致，表明該分布的合理性。從圖5中可以看出，與主動(dòng)土壓力強(qiáng)度分布不同，擋土墻上半部分的被動(dòng)土壓力強(qiáng)度緩慢增加，近似呈線性分布，下半部分則幾乎呈指數(shù)增長，這是由于上部土體的約束，使下部土體接近三向受壓狀態(tài)，在墻體側(cè)向擠壓下所致[21]。而由庫倫理論得出的土壓力強(qiáng)度則呈線性分布，這與很多實(shí)際情況是相違背的。因此，不管是主動(dòng)土壓力強(qiáng)度分布還是被動(dòng)土壓力強(qiáng)度分布，都體現(xiàn)其非線性，更加接近實(shí)際情況。

算例2：H=4.6 m，γ=19.3 kN/m3，q=10 kN/m，φ=15°，α=0，δ=10°，β=0，c=10 kPa，cw=0，本文方法與其他學(xué)者的比較如表2所示。

表2 主動(dòng)土壓力算例2Table 2 Example 2 of active earth pressure

當(dāng)忽略填土開裂時(shí)，本文計(jì)算的結(jié)果和其他學(xué)者計(jì)算的結(jié)果相一致，但考慮填土開裂，也就是考慮黏性土拉力區(qū)的影響時(shí)，本文的結(jié)果更接近于實(shí)測(cè)值，表明本文推導(dǎo)的公式計(jì)算更加精確。

算例3：擋土墻高H=8.75 m，墻背傾角α= 0，填土重度γ=18 kN/m3，填土面傾角β=0，墻背摩擦角δ=13°，回填土與原狀土間的黏聚力c= 12.2 kPa，墻背與填土的黏著力cw=8.2 kPa，摩擦角φ=18.8°，超載q=10 kN/m。與文獻(xiàn)[17]和實(shí)測(cè)值進(jìn)行了比較，其實(shí)測(cè)合力法向分力為170 kN/m，文獻(xiàn)[17]計(jì)算的結(jié)果為161 kN/m，本文計(jì)算的結(jié)果是172.9 kN/m。

本文的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果接近，所算的合力的相對(duì)誤差為1.71%，文獻(xiàn)[17]所算的誤差為-5.3%?？梢姡疚耐茖?dǎo)的方法與實(shí)際更接近一些。本文所達(dá)到的精度，在工程中是可取的，說明了本文公式的可靠性。

算例4：取計(jì)算參數(shù)：q=0，α=0，β=0，φ=30°，δ=15°，cw=0。表3給出了被動(dòng)土壓力Ep/γh2隨c/γh變化的計(jì)算結(jié)果并與文獻(xiàn)[18]、[19]結(jié)果作比較。

表3 被動(dòng)土壓力算例4Table 3 Example 4 of passive earth pressure

算例5：擋土墻高8 m，墻背傾角α=0，填土重度γ=16 kN/m3，填土面傾角β=0，填土間摩擦角φ=25°，墻背摩擦角δ=15°，q=10 kPa，c=10 kPa，cw=0，文獻(xiàn)[20]計(jì)算所得被動(dòng)土壓力值為2 485 kN/m，本文方法為2 487.1 kN/m，兩者較為接近。

從算例4和算例5中可以看出本文推導(dǎo)的被動(dòng)土壓力公式，計(jì)算結(jié)果與其他學(xué)者得到結(jié)果基本保持一致，但公式較為簡(jiǎn)單，便于實(shí)現(xiàn)。

3 考慮δ、φ、cw對(duì)擋土墻壓力的影響

朗肯土壓力理論假設(shè)墻面垂直光滑，即不考慮δ、cw對(duì)土壓力的影響；庫倫土壓力理論雖然考慮了對(duì)擋土墻土壓力的影響，但卻無法考慮cw值的影響。本文通過式（13）考慮了這三者的影響，這里假設(shè)cw=nc，cw值通過n來表示。

3.1 δ和φ對(duì)土壓力的影響

取γ=18 kN/m3，α=0，β=0°，H=8 m，q=10 kN/m，c=10 kPa，n=0.4。結(jié)果由圖6、圖7所示，從圖6中可以看出，當(dāng)δ值一定時(shí)，擋土墻上的主動(dòng)土壓力隨著φ值的增大而減小，并呈非線性分布，減小的梯度隨著φ值的增大而減??；從圖7中可以看出當(dāng)φ值一定時(shí)，土壓力隨著δ值的增大而減小，并基本呈線性分布；從圖6中還可以看出，δ值對(duì)土壓力的影響不是很大，當(dāng)土的內(nèi)摩擦角較大時(shí)，隨著δ值的增加，土壓力基本保持不變。因此若土的內(nèi)摩擦角較大時(shí)（從圖6中看出當(dāng)φ≥30°）可以忽略δ值對(duì)土壓力的影響，在簡(jiǎn)化計(jì)算時(shí)可以令其為0。

圖6 土壓力隨φ值的變化Fig.6 Earth pressure changes with the value of φ

圖7 土壓力隨δ值的變化Fig.7 Earth pressure changes with the value of δ

3.2 cw對(duì)土壓力的影響

基本條件與上述一致，圖8是在δ=10°下不同φ值和cw值對(duì)土壓力的影響，圖9是在φ=30°下不同δ值和cw值對(duì)土壓力的影響。

圖8 不同φ值和cw值的土壓力變化Fig.8 Earth pressure changes with different values of φ and cw

圖9 不同δ值和cw值的土壓力變化Fig.9 Earth pressure changes with different values of δ and cw

從圖8、圖9中可以看出，當(dāng)φ值和δ值一定時(shí)，土壓力隨著cw值的增大而減小，其減小的梯度基本保持一直，即呈線性減小的趨勢(shì)，對(duì)比圖6，可見cw值對(duì)土壓力的影響程度要大于δ值對(duì)土壓力的影響。因此，朗肯土壓力理論的假設(shè)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算的主動(dòng)土壓力比實(shí)際值偏大，這在很多工程中得到證實(shí)，原因正是沒有考慮cw值和δ值的影響。從圖6～圖9中可以看出，擋土墻上的主動(dòng)土壓力隨著φ值、cw值、δ值的增大而減小，其影響程度是φ>cw>δ，因此在實(shí)際工程中，準(zhǔn)確獲取φ值和cw值尤為重要。

4 結(jié)語

本文基于庫倫土壓力計(jì)算理論，通過建立微元體的平衡方程，推導(dǎo)了直立擋土墻土壓力的計(jì)算公式，其公式考慮了黏聚力以及黏著力的影響。通過多個(gè)實(shí)例驗(yàn)算，本文計(jì)算的結(jié)果較其他學(xué)者更為接近規(guī)范建議值和實(shí)測(cè)值，并且本文推導(dǎo)的公式形式簡(jiǎn)單，便于實(shí)現(xiàn)，易于在工程實(shí)際中推廣使用。

同時(shí)還考慮了δ、φ、cw值對(duì)擋土墻土壓力的影響。直立擋土墻上的主動(dòng)土壓力隨著δ、φ、cw值的增大而減??；當(dāng)墻后填土的內(nèi)摩擦角較大時(shí)，則δ值對(duì)土壓力的影響可以忽略，但cw值對(duì)土壓力的影響在實(shí)際工程中是不容忽視的。

本文在前人的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了適用于黏性土計(jì)算的主、被動(dòng)土壓力公式，并首次考慮了cw值對(duì)擋土墻土壓力的影響，公式形式簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，計(jì)算結(jié)果較其他公式更加接近實(shí)測(cè)與規(guī)范建議值，但適用范圍比規(guī)范大。

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Study on earth pressure of vertical retaining wall

WU Shi-yang,LI Wen-xuan
（Nanjing Hydraulic Research Institute,Nanjing,Jiangsu 210024,China）

Based on Coulomb′s soil pressure of limit equilibrium theory of backfill sliding wedge,we established the balance equation of the sliding wedge element,and considered the equilibrium condition of horizontal force and vertical force,then derived the active and passive earth pressure formula which is suitable for cohesive soils,and the formula can reflect the effect of the soil cohesion on the sliding surface and adhesion between soil and retaining wall on the soil pressure,also the formula is very simple and easy to calculate.Through some examples'calculation,the results of calculation are similar to the standard values and the measured values.These show that the formula is reasonable and feasible,and it has a guiding significance to the project.Finally,we analyzed the effect of the wall friction angle,soil wall adhesion and the internal friction angle on earth pressure of retaining wall.

retaining wall;active earth pressure;passive earth pressure;limit equilibrium;cohesive soil

U655.54；TU432

A

2095-7874（2017）01-0012-07

10.7640/zggwjs201701003

2016-07-08

2016-09-06

江蘇省科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目（BE2013663）；南京水利科學(xué)研究院重點(diǎn)基金項(xiàng)目（Y315010）

吳詩陽（1990— ），男，安徽青陽人，博士研究生，巖土工程專業(yè)，主要從事結(jié)構(gòu)與土的相互作用和土工合成材料研究。E-mail：718228381@qq.com