周光臨

【學(xué)情分析】

進(jìn)入初二之后，學(xué)生對幾何圖形的觀察和分析能力已初步形成。部分學(xué)生的思維能力比較強(qiáng)，能夠正確歸納所學(xué)知識，通過學(xué)習(xí)小組討論交流，能夠形成解決問題的思路。但是，對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值和意義學(xué)生仍然比較模糊。勾股定理歷史十分悠久，縱橫幾千年，幾乎所有的文明古國對它均有研究，在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史上有著重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的應(yīng)用。它的發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用都蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)、文化的內(nèi)涵?，F(xiàn)實(shí)世界，上至帝王總統(tǒng)，下至平民百姓，都熱衷于對其進(jìn)行研究，其魅力可見一斑。通過對勾股定理的探究學(xué)習(xí)，尋根問底，以問題的解決激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體意識。

【設(shè)計(jì)意圖】

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的文化性。因此，在課程內(nèi)容的選擇上，既要反映社會的需要、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，又要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，課程內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)注意層次性和多樣性。數(shù)學(xué)教學(xué)活動旨在激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

從教材來看，本節(jié)課時是人版教材八年級下冊第17章第1課時，勾股定理在初中數(shù)學(xué)中扮演著很重要的角色。首先，從知識結(jié)構(gòu)來看，它承接八年級上冊三角形的學(xué)習(xí)，為九年級下冊解直角三角形的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。其次，從內(nèi)容上看，它揭示了三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，主要用于解決直角三角形中的計(jì)算問題，同時，解決的方法與開方和方程思想等有很多交集。再次，從實(shí)際應(yīng)用來看，它在實(shí)際生活中的身影隨處可見，可以說，有直角的地方都有勾股定理，體現(xiàn)了應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想。教材在編寫時注重培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力和分析問題的能力，通過實(shí)際操作，使學(xué)生獲得較為直觀的印象；通過聯(lián)系、比較、探索、歸納，幫助學(xué)生理解勾股定理，以利于進(jìn)行正確的應(yīng)用。

在有的人看來，數(shù)學(xué)是枯燥乏味的，這是被數(shù)學(xué)圖形和符號表面的抽象所迷惑，沒有親身體驗(yàn)的情感交流，沒有發(fā)掘出其內(nèi)在的價(jià)值，從理性的角度發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，本節(jié)課在教法上選擇學(xué)生自主學(xué)習(xí)與教師引導(dǎo)探索相結(jié)合，由淺入深，由特殊到一般地提出問題。首先借助生活問題引入，感受數(shù)學(xué)的來源，將勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明以故事的形式講述出來，可以增強(qiáng)數(shù)學(xué)課的文化性，激發(fā)學(xué)生的興趣。借助多媒體，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，讓學(xué)生思考問題、獲取知識、掌握方法，借此培養(yǎng)學(xué)生動手、動腦、動口的能力，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體。這種教學(xué)理念反映了時代精神，有利于提高學(xué)生的思維能力，能有效地激發(fā)學(xué)生的思維積極性。

【教學(xué)情景】

一、創(chuàng)境促競，激發(fā)興趣

新聞鏈接：重慶沙坪壩一小區(qū)住戶家中失火，父子二人不幸遇難。

師：很多人事后都對消防隊(duì)表示指責(zé)和質(zhì)疑，究其原因是他們沒能及時趕到現(xiàn)場救火，但是消防隊(duì)員也有話說，請看消防隊(duì)員的問題：

以上事發(fā)點(diǎn)在六樓，我們帶來的云梯長約13米，每層樓高2.5米，為安全起見，梯子的底部須距離墻底5米才能放穩(wěn)，你認(rèn)為我們能通過云梯直接進(jìn)入六樓滅火嗎？

要解決這個問題，就要用到我們今天要學(xué)習(xí)的勾股定理。

【點(diǎn)評】通過結(jié)合我們身邊發(fā)生的事，挖掘數(shù)學(xué)問題，明確數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，尤其是學(xué)生意識到數(shù)學(xué)來自于身邊，就會產(chǎn)生積極的心理活動傾向，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)習(xí)慣

師：讓我們首先穿越歷史的隧道，回到2500年前的一天，古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯有一次應(yīng)邀參加一位政要的餐會，他觀察腳下排列規(guī)則、美麗的方形瓷磚，發(fā)現(xiàn)了方磚對角線圍成的直角三角形三邊的特殊關(guān)系，通過思考，反復(fù)論證，得出了著名的勾股定理。下面，我們將畢達(dá)哥拉斯觀察的地磚圖案抽象出來，看看畢達(dá)哥拉斯是怎樣發(fā)現(xiàn)勾股定理的。

（教師讓學(xué)生打開教科書第22頁，依次觀察教材圖17.1-1和圖17.1-2，通過自主思考、生生交流，感悟并體驗(yàn)畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的過程。）

【點(diǎn)評】通過看書觀察，獨(dú)立思考，“問題是思維的起點(diǎn)”，通過層層設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生通過采用分割、拼接、數(shù)格子的個數(shù)等方法發(fā)現(xiàn)新知，培養(yǎng)學(xué)生良好的自主思考和自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣。

三、合作研討，師生交流

1.從特殊開始，發(fā)現(xiàn)勾股定理

師：對于圖17.1-1中的圖案，我們都很常見，但卻很難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，但如果像圖17.1-2中將直角三角形和正方形勾畫出來，就很容易發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題了。你們發(fā)現(xiàn)了什么？

（學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)。）

師：很好，看似平淡無奇的現(xiàn)象有時卻蘊(yùn)含著深刻的道理，我們要向畢達(dá)哥拉斯學(xué)習(xí)，做生活的有心人。

師：剛才觀察的直角三角形有什么特殊之處？

生：是等腰直角三角形。

師：一般的直角三角形是不是也具有“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”呢？

（教師再給出一個一般的直角三角形，讓學(xué)生計(jì)算，并引導(dǎo)學(xué)生得出勾股定理的內(nèi)容。）

【點(diǎn)評】為方便計(jì)算，網(wǎng)格中的直角三角形邊長通常設(shè)定為整數(shù)，進(jìn)一步體會面積割補(bǔ)法，為探究無網(wǎng)格背景下直角三角形三邊的關(guān)系打下基礎(chǔ)，提供方法。

2.用拼圖活動，證明勾股定理

師：以上例子都是特殊的例子，對于更一般的情形是否仍然成立？

試一試，剪四個全等的直角三角形，用它們拼成一個正方形。并用所拼得的圖形證明上述結(jié)論仍然成立。

（小組活動，同伴交流，學(xué)生上臺展示。）

請學(xué)生上臺展示拼圖方法，并寫出式子的變形過程。

學(xué)生歸納出：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

【點(diǎn)評】通過拼圖活動，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，變被動為主動，加深對定理的理解，體會數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想。同時，給學(xué)生展示的空間和舞臺，激發(fā)學(xué)習(xí)的主動性。

3.回溯經(jīng)典，感悟證明

師：剛才同學(xué)們通過拼圖的方式驗(yàn)證了勾股定理，并用數(shù)學(xué)式子證明了勾股定理，你們的方法中有與畢達(dá)哥拉斯差不多的，這也證明你們有成為數(shù)學(xué)家的潛質(zhì)，請為自己鼓掌！

勾股定理的證明方法很多，有興趣的同學(xué)可以搜集研究一下。下面介紹幾種證法。

觀察圖17.1-4，傳說這就是畢達(dá)哥拉斯的證明方法，你能根據(jù)這個圖形得出這個結(jié)論嗎？

（學(xué)生獨(dú)立思考，并在練習(xí)本上寫出證明過程。）

師：畢達(dá)哥拉斯經(jīng)過從特殊到一般的研究，得出了勾股定理的證明，所以這個定理在西方也叫畢達(dá)哥拉斯定理，傳說畢達(dá)哥斯發(fā)現(xiàn)勾股定理后很興奮，殺了一百頭牛來慶賀，因此勾股定理又叫百牛定理。

但為什么我們中國又叫勾股定理呢？

這個問題留作課后的作業(yè)，請同學(xué)們?nèi)ゲ殚啞肮垂啥ɡ怼边@個名稱的來歷。

下面介紹東漢趙爽的證法。說明：該證法是趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，這個圖在2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會上被用作大會會徽的圖案。利用這個圖我們很容易證明勾股定理，同學(xué)們可以下去證明一下。有興趣的同學(xué)還可以了解一下中國東漢的青朱出入圖和美國的總統(tǒng)證法。

【點(diǎn)評】通過介紹畢達(dá)哥拉斯的證法，一方面是前面故事的延續(xù)，與前面的知識相呼應(yīng)，另一方面是給予這種方法暗合的同學(xué)以鼓勵。通過對趙爽弦圖的介紹以及勾股定理名稱的來歷，了解中國古代數(shù)學(xué)的成就，增強(qiáng)民族自豪感。

四、實(shí)踐反思，課堂精練

例1.求下圖中（圖略）字母A、B所代表的正方形的面積。

學(xué)生練習(xí)，教師個別指導(dǎo)。

【點(diǎn)評】通過計(jì)算，進(jìn)一步體會勾股定理的面積思想，不忘勾股定理的本源。

例2.畫一個直角三角形ABC，∠C=90°，它的兩直角邊分別是AC=3cm，BC=4cm量一量它的斜邊AB是多少厘米？算一算，你量的結(jié)果對嗎？

變式1：在直角三角形中，各邊的長如圖（圖略），求出未知邊的長度。

變式2：已知直角三角形ABC的兩邊長分別是3和4，求第三邊長。

變式3：直角三角形ABC中，∠C=90°，a=6，a∶b=3∶4求b和c。

學(xué)生練習(xí)，教師個別指導(dǎo)。

解題反思：已知直角三角形兩直角邊，求斜邊可以直接用c=■求解，但當(dāng)我們不明確是哪兩邊時，要分類討論，即要用c=■；b=■或a=■。也可建立方程解決問題，滲透方程思想。

【點(diǎn)評】通過運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力并正確運(yùn)用勾股定理解決直角三角形的邊長問題。通過測量進(jìn)一步驗(yàn)證勾股定理所得結(jié)論的正確性。通過變式練習(xí)，加強(qiáng)學(xué)生對應(yīng)用勾股定理解決問題的靈活性。

五、解決問題，分享幫困

解決情景導(dǎo)入中的問題，引導(dǎo)學(xué)生將問題抽象成幾何圖形，并將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

【點(diǎn)評】從問題中來，又回到問題中去，通過解決問題，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

六、反饋總結(jié)，提高認(rèn)識

學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法？有什么疑問？還有什么想要繼續(xù)探索的問題？

學(xué)生發(fā)言，互相補(bǔ)充，教師點(diǎn)評。

【點(diǎn)評】本環(huán)節(jié)為學(xué)生提供交流的空間，在引導(dǎo)學(xué)生鞏固對勾股定理理解的同時，注重了數(shù)學(xué)思想方法的歸納，同時為下節(jié)課的教學(xué)提供改進(jìn)方向。

【教學(xué)反思】

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，高度的抽象性是其標(biāo)志，但這對于理性思維不強(qiáng)的初中生來說，也容易導(dǎo)致他們產(chǎn)生畏難情緒。因此如何在數(shù)學(xué)課堂中為學(xué)生創(chuàng)設(shè)貼近生活的情境，并讓學(xué)生在情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，如何引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題，如何利用已有的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)將未解決的數(shù)學(xué)問題劃歸，如何潛移默化地幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維、養(yǎng)成數(shù)學(xué)習(xí)慣都是我們在備課時需要反復(fù)斟酌的關(guān)鍵。勾股定理的教學(xué)，由于涉及的面積證法是學(xué)生第一次接觸，有一定難度，處理得不好很容易讓學(xué)生厭煩，因此，在實(shí)際教學(xué)中突出了四個“注重”：一是注重對學(xué)生興趣的激發(fā)。二是注重學(xué)生的自主探究與合作交流的結(jié)合。三是注重?cái)?shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)思想的滲透，培養(yǎng)學(xué)生的多種能力。四是注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)不能只是知識的探究甚至是傳遞，重要的是要激發(fā)學(xué)生探究的欲望，通過數(shù)學(xué)文化和生活中的數(shù)學(xué)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想方法，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)驅(qū)動力，變被動為主動，更能形成深遠(yuǎn)的影響。

編輯 李建軍