周慶健，焦 佳

(大連民族大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116605)

基于三角型模糊數(shù)理論的組合投資決策研究

周慶健，焦 佳

(大連民族大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116605)

基于三角型模糊數(shù)理論提出一種新的組合投資決策算法。首先應(yīng)用三角型模糊數(shù)描述股票的價(jià)格變化過(guò)程,采用三角型模糊數(shù)的均值面積來(lái)表示相應(yīng)價(jià)格信息；然后結(jié)合投資者的具體效用函數(shù)，并假設(shè)投資收益近似服從正態(tài)分布，獲得其期望效用函數(shù)；最后根據(jù)Markowitz的均值-方差模型結(jié)論確定最優(yōu)組合投資收益，從而確定投資者的最優(yōu)組合投資比例。該算法簡(jiǎn)潔實(shí)用，便于操作，通過(guò)給出具體應(yīng)用算例說(shuō)明了該算法是行之有效的。

組合投資；決策；指數(shù)效用函數(shù)；三角型模糊數(shù)

本文主要基于應(yīng)用三角型模糊數(shù)來(lái)表示股票價(jià)格變化過(guò)程的理論提出一種新的組合投資決策算法。不僅對(duì)組合投資理論有一定的促進(jìn)，同時(shí)對(duì)投資者進(jìn)行實(shí)際操作具有一定的參考價(jià)值。

1 組合投資決策

1.1 Markowitz 的均值-方差模型

19世紀(jì)50年代，美國(guó)金融學(xué)家Markowitz提出了“組合投資理論”，該理論認(rèn)為大多數(shù)風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者在股票投資市場(chǎng)中會(huì)追求高收益的同時(shí)注意規(guī)避相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)，并以此為基礎(chǔ)建立了著名的均值-方差模型[1]。

設(shè)現(xiàn)有n種股票，它們的當(dāng)前時(shí)刻(t=0)價(jià)格為S10,S20,…,Sn0,在未來(lái)某時(shí)刻(t=T)價(jià)格為S1,S2,…,Sn。

令

Xn×1=(x1,x2，…，xn)T,

式中，xi為從時(shí)刻t=0到時(shí)刻t=T的對(duì)數(shù)收益率，X為n種股票的對(duì)數(shù)收益率向量。則收益的數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差矩陣可分別表示為

EX=(Ex1,Ex2，…，Exn)T=μ，

Var(X)=E(X-EX)(X-EX)T=Σ。

Markowitz的均值-方差模型可看作是如下一個(gè)條件極值問(wèn)題[2-3]:在滿足投資收益ωTμ=a條件下，求解投資比例ω使得相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)Var(ωTX)=ωTΣω最小。經(jīng)求解其最優(yōu)投資比例為

(1)

相應(yīng)的協(xié)方差矩陣為

(2)

式中，A=eTΣ-1e,B=eTΣ-1μ=μTΣ-1e,C=μTΣ-1μ,Δ=AC-B2。

1.2 效用函數(shù)

在組合投資過(guò)程中，每個(gè)投資者都有屬于自己的效用函數(shù)用來(lái)表示它對(duì)投資收益的滿意程度，并且根據(jù)期望效用最大化原則來(lái)確定最優(yōu)投資比例，從而確定投資決策方案。同時(shí)，大部分投資者為風(fēng)險(xiǎn)厭惡型，他們?cè)谧非蟾呤找娴耐瑫r(shí)規(guī)避相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)。本文應(yīng)用常見(jiàn)的指數(shù)型效用函數(shù):

U=-e-kx,

式中，x為投資收益，k>0表示風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子。

1.3 期望效用

在金融數(shù)學(xué)理論中，常假定投資收益服從正態(tài)分布N(r,σ2)，其中r,σ2分別表示期望和方差。且正態(tài)分布的密度函數(shù)為

(3)

由于該效用函數(shù)為風(fēng)險(xiǎn)厭惡型，則可應(yīng)用無(wú)差異曲線法進(jìn)行求解[4-5]。

1.4 三角型模糊數(shù)

(4)

式中，l≤m≤u都為實(shí)數(shù)[6-7,9-10]。

三角型模糊數(shù)可較好的表示不確定信息，如股票未來(lái)不確定的價(jià)格過(guò)程。

(5)

1.5 應(yīng)用三角型模糊數(shù)描述股票價(jià)格變化過(guò)程

2 決策算法

基于應(yīng)用三角型模糊數(shù)來(lái)表示股票價(jià)格變化過(guò)程的理論，本文提出一種新的組合投資決策算法。

2.1 數(shù)據(jù)收集與分析

2.2 求解收益率和協(xié)方差矩陣

應(yīng)用式(5)得股票的相應(yīng)收益率為

和協(xié)方差均值為

∑=(σij)n×n。

2.3 效用函數(shù)

本文采用投資學(xué)中常見(jiàn)的指數(shù)效用函數(shù)U(x)=-e-kx，并且其期望效用函數(shù)可求得為

2.4 最優(yōu)組合投資決策

根據(jù)均值-方差模型的理論，投資者的最優(yōu)組合應(yīng)為投資者的無(wú)差異曲線和其有效前沿的切點(diǎn)，如圖1。則可建立如下模型：

圖1 最優(yōu)組合投資的選擇

進(jìn)而可求得最優(yōu)組合投資的比例為

3 應(yīng)用

本文給出一個(gè)應(yīng)用算例。假設(shè)2016年4月28日和29日，在某股票市場(chǎng)交易中，某位投資者有5個(gè)標(biāo)的股票，其價(jià)格信息見(jiàn)表1。

表1 5種股票的價(jià)格信息矩陣

假設(shè)該投資者的效用函數(shù)為指數(shù)效用函數(shù)

U(x)=-e-2x，

請(qǐng)問(wèn)該投資者該如何選擇他的最優(yōu)組合投資決策方案？

(1)問(wèn)題分析

此問(wèn)題可應(yīng)用本文提出的算法來(lái)進(jìn)行解決：由于股票的價(jià)格變化過(guò)程應(yīng)用三角型模糊數(shù)形式給出，首先可獲得其三角型模糊數(shù)均值面積；進(jìn)而確定5種股票的收益率向量和協(xié)方差矩陣；然后根據(jù)投資者的效用函數(shù)，由于投資收益服從正態(tài)分布，則可獲得該投資者的期望效用函數(shù)；再者根據(jù)Markowitz的均值-方差模型結(jié)論，可獲得其最優(yōu)組合投資收益，從而確定最優(yōu)組合投資比例；最后確定該投資者針對(duì)這5種標(biāo)的股票的最優(yōu)組合投資方案。

(2)具體步驟

步驟2 根據(jù)式(5)確定5種股票相應(yīng)的三角型模糊數(shù)均值面積，然后應(yīng)用Matlab軟件，獲取5種股票的收益率向量和協(xié)方差矩陣：

[0.0301,-0.6853,0.2571,0.0182,-0.0001]T，

Σ=(σij)5×5=

3.0133 1.4276 0.9079 0.8264 1.4628

1.4276 0.7081 0.3573 0.3689 0.6269

0.9079 0.3573 0.4409 0.3010 0.5927

0.8264 0.3689 0.3010 0.2428 0.4484

1.4628 0.6269 0.5927 0.4484 0.8481，

同時(shí)求得A=-6.7255e+004,B=-4.4548e+004,C=-9.7906e+003,Δ=AC-B2=-1.3261e+009。

步驟3 由于其效用函數(shù)U(x)=-e-2x，則可獲得其期望效用函數(shù)EU=-e[2(σ2-r)]。

解得其最優(yōu)組合投資收益r=0.6623，則該投資者的最優(yōu)組合投資比例為

4 結(jié) 語(yǔ)

應(yīng)用三角型模糊數(shù)表示股票的價(jià)格變化過(guò)程，本文給出了一種新的組合投資決策算法。并給出實(shí)際算例驗(yàn)證了該算法簡(jiǎn)潔實(shí)用，便于操作。此算法不僅對(duì)組合投資理論有一定的促進(jìn)，同時(shí)對(duì)投資者進(jìn)行實(shí)際操作具有一定的參考價(jià)值。

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(責(zé)任編輯 鄒永紅)

Research on Portfolio Investment Decision-making based on Triangular Fuzzy Number Theory

ZHOU Qing-jian, JIAO Jia

(School of Science, Dalian Minzu University, Dalian Liaoning 116605, China)

In this paper, one new portfolio investment decision-making algorithm is proposed according to the triangular fuzzy number theory. Firstly, in the security portfolio investment progress, the triangular fuzzy number is used to express the security price changing process. Secondly, the mean area of the triangular fuzzy number is adopted to express the security price information. Thirdly, combining with the investor’s specific utility function, and supposing that the investment return approximately obeys the normal distribution, the investor’s expectation utility function can be determined. Finally, according to the conclusion of Markowitz’s Mean-Varianc Model, the optimal portfolio investment return can be got, and the optimal portfolio investment proportion can be determined. This algorithm is concise, practical and easy to operate. In the last, an illustrative example is given to prove that the decision-making algorithm proposed in the paper is feasible and valid.

portfolio investment; decision-making; exponential utility function; triangular fuzzy number

2016-11-07；最后

2016-11-24

遼寧省教育廳項(xiàng)目(L2014549,LJQ2015029)；遼寧省科技廳項(xiàng)目(2015020021，201601088)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(DC201502050304,DC201502050409,DC201501043,DCPY2016058,DCPY2016061)；大連民族大學(xué)人才啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(110090)。

周慶健(1978-)，男，山東鄒城人，副教授，博士，主要從事金融數(shù)學(xué)和決策管理研究。

焦佳(1982-)，女，河南焦作人，副教授，博士，主要從事微分方程和決策管理研究，jiaojia@dlnu.edu.cn。

2096-1383(2017)01-0059-04

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