李創(chuàng), 劉小雄, 馬青原, 薛鵬飛

(西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 陜西 西安 710072)

紊流環(huán)境下四維軌跡優(yōu)化的偽譜方法研究

李創(chuàng), 劉小雄, 馬青原, 薛鵬飛

(西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 陜西 西安 710072)

為了提高紊流條件下飛機(jī)的飛行安全,提出了一種基于偽譜方法的四維軌跡優(yōu)化方法。建立了不確定環(huán)境中的飛機(jī)動(dòng)力學(xué)模型和紊流模型,并設(shè)計(jì)了目標(biāo)函數(shù)和約束條件;通過偽譜法將不確定環(huán)境下的四維軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非線性優(yōu)化問題,然后應(yīng)用序列二次規(guī)劃對該問題進(jìn)行求解;討論了不同的配點(diǎn)數(shù)對優(yōu)化結(jié)果的影響,分析比較了GPM,LPM和RPM三種偽譜法的特點(diǎn)。仿真結(jié)果表明,紊流情況下,所提算法可以精確地找到四維飛行軌跡。

紊流; 四維軌跡優(yōu)化; 偽譜法; 序列二次規(guī)劃

0 引言

隨著社會的發(fā)展,人們對航空運(yùn)輸?shù)男枨蠹ぴ觥W美等國家為了緩解本區(qū)域航空運(yùn)輸壓力、減少航班延時(shí)、使機(jī)場吞吐量達(dá)到最大,推出了“下一代空中交通運(yùn)輸系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)計(jì)劃(NextGen)”,并提出了基于4D軌跡的管理(4DTBO)[1],飛行器軌跡優(yōu)化作為計(jì)劃的核心之一而備受關(guān)注。四維軌跡優(yōu)化技術(shù)[2]在傳統(tǒng)的三維空間上加上時(shí)間維的信息,為飛機(jī)在空域中流動(dòng)量擴(kuò)增提供了可能,同時(shí)還保證了整個(gè)飛行階段內(nèi)飛機(jī)飛行的安全性。

紊流是造成航空失事的主要因素之一。四維軌跡優(yōu)化必須考慮飛行過程中飛機(jī)遭遇紊流和雷暴天氣問題。Matsuno等[3]提出了一種廣義多項(xiàng)式混沌算法,將之應(yīng)用到飛機(jī)飛行避撞;但是其求解繁瑣且計(jì)算時(shí)間較長。近年來,偽譜法因其求解最優(yōu)控制問題具有收斂速度快、收斂區(qū)間廣、精度高等特點(diǎn)受到青睞,早期主要用于解決噪聲主動(dòng)控制問題[4-6]。Elnagar等[4]將Legendre偽譜方法應(yīng)用于普通微分方程描述的非線性系統(tǒng)求解。Ross等[7]則利用Legendre偽譜法求解直接軌跡優(yōu)化及非光滑的最優(yōu)控制問題。文獻(xiàn)[8-9]提出Gauss偽譜法,并證明了非線性規(guī)劃問題的KKT條件與離散形式的HBVP問題一階最優(yōu)性必要條件具有一致性。

本文將紊流規(guī)避四維軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題,建立了Gauss偽譜法、Legendre偽譜法、Radau偽譜法的數(shù)值計(jì)算方法,并結(jié)合序列二次規(guī)劃(Sequential Quadratic Programming,SQP)方法求解軌跡優(yōu)化問題。

1 紊流規(guī)避問題建模

1.1 飛機(jī)模型

考慮到數(shù)值解法在求解最優(yōu)控制問題時(shí)首先要考慮解的收斂速度,需要將飛機(jī)運(yùn)動(dòng)方程[10]無量綱化處理,得到無量綱化模型為:

(1)

在此模型中,用于飛機(jī)橫側(cè)向控制的滾轉(zhuǎn)角φ和用于飛機(jī)縱向控制的Nz組成了控制變量組。

1.2 風(fēng)場模型

利用風(fēng)速隨高度增加而變化的線性模型來描述風(fēng)場變化規(guī)律:

1.3 紊流模型

利用高斯分布來描述紊流強(qiáng)度:

式中:z(t)=(x,y,H)為飛機(jī)位置信息;σ為紊流影響范圍;(μx,μy,μH)為紊流影響的中心位置。

1.4 約束條件

在四維軌跡優(yōu)化問題中,將已知的初始點(diǎn)狀態(tài)作為初始條件。當(dāng)飛機(jī)到達(dá)終端時(shí),所有的狀態(tài)信息是提前預(yù)設(shè)的,尤其要求飛機(jī)的到達(dá)時(shí)間必須滿足要求,因而終端條件也是給定的。邊界條件為:

考慮飛機(jī)安全性、乘客的舒適性以及飛機(jī)舵面的偏轉(zhuǎn)限制,對飛機(jī)的航跡角、航向角、滾轉(zhuǎn)角和過載進(jìn)行限制。路徑約束為:

1.5 目標(biāo)函數(shù)

2 偽譜法求解紊流規(guī)避問題

2.1 應(yīng)用偽譜法將問題轉(zhuǎn)化為NLP問題

偽譜法一般將Gauss正交節(jié)點(diǎn)作為函數(shù)積分、微分和插值的離散節(jié)點(diǎn)。通過簡單的線性變換,可以很容易地將實(shí)際問題中的時(shí)間區(qū)間[t0,tf]轉(zhuǎn)化到正交節(jié)點(diǎn)所在的區(qū)間。其中Gauss偽譜法(GPM)、Legendre偽譜法(LPM)以及Radau偽譜法(RPM)較常見,都是同時(shí)對控制變量和狀態(tài)變量進(jìn)行全局逼近,其區(qū)別僅在于配點(diǎn)的選取。

(1)LG配點(diǎn)(Legendre-Gauss)

LG配點(diǎn)選取方法為:

R(u)=0,u(t)∈P2N+1(t∈[-1,1])

(2)LGL配點(diǎn)(Legendre-Gauss-Lobatto)

LGL配點(diǎn)選取方法為:

R(u)=0,u(t)∈P2N-1(t∈[-1,1])

(3)LGR配點(diǎn)(Legendre-Gauss-Radau)

LGR配點(diǎn)選取方法為:

R(u)=0,u(t)∈P2N(t∈[-1,1])

式中:PN為最高次數(shù)為N的代數(shù)多項(xiàng)式的集合;LN(t)為N階Legendre多項(xiàng)式。

三種偽譜法主要區(qū)別在于配點(diǎn)選擇,求解步驟基本一致。以Gauss偽譜法為例,介紹連續(xù)型最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題的具體步驟。

Step 1:時(shí)域變換。將時(shí)域[t0,tf]轉(zhuǎn)換到區(qū)間[-1,1]。轉(zhuǎn)換關(guān)系為:

Step 2:計(jì)算LG配點(diǎn)。輸入GPM配點(diǎn)數(shù)N,計(jì)算LG配點(diǎn)(配點(diǎn)數(shù)為N,離散節(jié)點(diǎn)數(shù)為N+2),即N階Legendre多項(xiàng)式的根,記為PN(t)。

Step 3:計(jì)算微分矩陣、積分權(quán)重。無權(quán)重微分矩陣表示為:

其中:

式中:τk(k=1,…,N)為LG配點(diǎn);τi(i=0,…,N)為LG配點(diǎn)加上初始值點(diǎn)。

另外,LG配點(diǎn)對應(yīng)的Gauss正交權(quán)重為:

Step 4:將狀態(tài)微分方程在節(jié)點(diǎn)按照GPM離散化方程進(jìn)行離散化(終端狀態(tài)單獨(dú)近似離散化)。

寫成微分矩陣表示的離散化狀態(tài)方程為:

其中:

注意,在邊界值上沒有進(jìn)行離散化。所以要對終端邊界點(diǎn)處的狀態(tài)變量進(jìn)行單獨(dú)的離散化處理,必須增加一個(gè)約束條件以保證終端狀態(tài)Xf滿足狀態(tài)方程。這可以用一個(gè)正交多項(xiàng)式近似在整個(gè)時(shí)間間隔上的狀態(tài)積分來實(shí)現(xiàn):

Step 5:Bolza型性能指標(biāo)離散化。

根據(jù)Gauss積分公式,Bolza型性能指標(biāo)公式中的Lagrange項(xiàng)的積分部分可以表示為:

式中:wk為Gauss積分權(quán)重。Meyer項(xiàng)可以表示為:

顯然,Bolza型性能指標(biāo)離散化形式可表示為:

Step 6:邊界條件和路徑約束離散化。邊界條件可以表示為:

路徑約束在LG配點(diǎn)上的離散化形式為:

2.2 應(yīng)用SQP求解

SQP方法對原問題的近似中包含有二階導(dǎo)數(shù)信息,在保持全局收斂性的同時(shí)具有局部超線性收斂,是一種求解光滑非線性規(guī)劃問題的優(yōu)良算法。其基本思想是,在某個(gè)近似解處,將待求解的非線性規(guī)劃問題近似為處理一個(gè)二次規(guī)劃問題,求最優(yōu)解。求解步驟為:

Step 1:給定初始解x0∈Rn,初始正定Hessian矩陣B0∈Rn×n(通常設(shè)置為單位陣),容許誤差限為0≤ε<1;取參數(shù)σ>0,δ>0;設(shè)置k=0。

Step 2:求解二次規(guī)劃子問題,得到dk;如果‖dk‖≤ε,跳出算法,dk為最優(yōu)解,否則繼續(xù)執(zhí)行。

Step 4:迭代格式為xk+1=xk+αkdk;同時(shí)計(jì)算f(xk+1),f(xk+1),c(xk+1),Ak+1。

Step 6:利用擬牛頓法更新近似Hessian矩陣Bk+1,設(shè)置修正量為sk=αkdk,并使:

yk=xL(xk+1,λk+1)-xL(xk,λk+1)

Step 7:令k=k+1,執(zhí)行第二步。

3 仿真試驗(yàn)及結(jié)果分析

以本文飛機(jī)模型為對象,利用偽譜法和SQP方法求解紊流規(guī)避四維軌跡優(yōu)化問題。仿真條件為:

(1)在慣性坐標(biāo)系中,假設(shè)紊流中心位置為(μx,μy,μH)=(-20,0,2)n mile,紊流影響區(qū)域假定為以紊流中心為球心的球體,影響范圍為σ=1.5 n mile。

(2)從初始位置(x0,y0,H0)=(-40,0,0)n mile出發(fā),初始航跡角γ0=0°,初始航向角χ0=0°;在規(guī)定時(shí)間tf=330 s時(shí),到達(dá)終端位置(xf,yf,Hf)=(0,0,4.5)n mile,終端航跡角γf=0°,終端航向角χf=0°。

(3)路徑約束:H∈[0,6.5]n mile,Nz∈[0,1.5g],γ∈[-89°,89°],χ∈[-180°,180°],φ∈[-60°,60°]。

分別用上述三種偽譜方法解決紊流規(guī)避四維軌跡優(yōu)化問題。為了提高求解精度,偽譜法選擇離散節(jié)點(diǎn)數(shù)目自然越多越好。但是由于飛機(jī)動(dòng)態(tài)方程復(fù)雜、變量數(shù)目較多,離散節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加必然導(dǎo)致算法計(jì)算時(shí)間的增加,選取12個(gè)離散化節(jié)點(diǎn)求解紊流規(guī)避四維軌跡優(yōu)化問題。三種偽譜方法的目標(biāo)函數(shù)計(jì)算結(jié)果基本相同,求解精度差別不大,在計(jì)算時(shí)間上RPM略微優(yōu)于GPM和LPM。仿真結(jié)果如圖1和圖2所示。

圖1 紊流規(guī)避四維優(yōu)化軌跡Fig.1 4D optimal trajectories for turbulence avoidance

由圖1可以看出,采用三種偽譜方法生成的優(yōu)化軌跡均可以成功地避開紊流影響區(qū)域,曲線比較光滑且彼此差異不大。這是因?yàn)槿N偽譜方法在進(jìn)行離散化逼近時(shí)所遵循的原理是相近的,區(qū)別僅表現(xiàn)在積分節(jié)點(diǎn)、權(quán)重和微分矩陣的不同,從而導(dǎo)致了優(yōu)化結(jié)果的些許差異。

圖2 三種偽譜法仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of three pseudo-spectra methods

圖2中，d為距紊流的距離?？梢钥闯?三種偽譜法的計(jì)算結(jié)果均滿足約束要求,飛機(jī)始終處于紊流影響范圍外,達(dá)到了紊流規(guī)避目的。

4 結(jié)束語

紊流規(guī)避軌跡優(yōu)化問題是一個(gè)非線性最優(yōu)控制問題,運(yùn)用數(shù)值解法可以精確、快速地得到優(yōu)化解。以紊流規(guī)避問題為研究對象,利用Gauss偽譜法、Legendre偽譜法、Radau偽譜法分別對其進(jìn)行數(shù)值求解,結(jié)果滿足性能要求。由優(yōu)化結(jié)果可知,Radau偽譜法和Gauss偽譜法相對于Legendre偽譜法計(jì)算效率更高。對于復(fù)雜、多變量的非線性問題,可以使用偽譜方法進(jìn)行求解,表明了偽譜方法在軌跡優(yōu)化方面的應(yīng)用價(jià)值。

[1] Zhao Yiyuan,Vaddi S.Algorithms of FMS reference trajectory synthesis to support nextgen capability studies[R].AIAA-2013-4264,2013.

[2] Battipede M,Sirigu G,Cassaro M,et al.Analysis of the impact of performance model accuracy on 4D trajectory optimization[R].AIAA-2015-0145,2015.

[3] Matsuno Y,Tsuchiya T.4D trajectory optimization in the presence of uncertainty[R].AIAA-2013-4323,2013.

[4] Elnagar G,Kazemi M,Razzaghi M.The pseudospectral legendre method for discretizing optimal control problems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1995,40(10):1793-1796.

[5] Huntington G T,Rao A V.Optimal reconfiguration of spacecraft formations using the Gauss pseudospectral method[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2008,31(3):689-698.

[6] Banks H T,Fakhroo F.Legendre-Tau approximations for LQR feedback control of acoustic pressure fields[J].Journal of Mathematical Systems Estimation and Control,1998,8(4):393-426.

[7] Ross I M,Fahroo F.Legendre pseudospectral approxi-mations of optimal control problems[M]//Kang W,Borges C,Xiao M Q.New trends in nonlinear dynamics and control and their applications.Vol 295.Berlin:Springer Berlin Heidelberg,2004:327-342.

[8] Benson D.A Gauss pseudospectral transcription for optimal control[D].Massachusetts:Massachusetts Institute of Technology,2005.

[9] Benson D A,Huntington G T,Thorvaldsen T P,et al.Direct trajectory optimization and costate estimation via an orthogonal collocation method[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2006,29(6):1435-1440.

[10] Smith N E,Cobb R G,Pierce S J,et al.Optimal collision avoidance trajectories via direct orthogonal collocation for unmanned/remotely piloted aircraft sense and avoid operations[R].AIAA-2014-0966,2014.

(編輯：李怡)

Four-dimension trajectory optimization for turbulence avoidance using pseudo-spectra methods

LI Chuang, LIU Xiao-xiong, MA Qing-yuan, XUE Peng-fei

(School of Automation, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

To improve the flight safety of aircraft in the presence of turbulence, 4D trajectories optimization based on pseudo-spectra method was proposed. Considered the characteristic of 4D trajectories optimization for turbulence avoidance, aircraft dynamic model and turbulence Gaussian distribution model were elaborated, the objective function and constraints were designed. The 4D trajectories optimization was transformed into a nonlinear programming issue by using pseudo-spectra method, and the sequential quadratic programming (SQP) algorithm was applied to resolve this nonlinear programming problem. Influence of the collocation points on optimization results was discussed, and the characters of the pseudo-spectra methods such as GPM, LPM and RPM were analyzed. Simulation results show that the 4D trajectories for turbulence avoidance can be generated accurately using the proposed algorithm.

turbulence; 4D trajectory optimization; pseudo-spectra method; sequential quadratic programming

2016-05-09;

2016-09-14;

時(shí)間:2016-11-10 09:10

航空科學(xué)基金資助(20150753009)；西北工業(yè)大學(xué)研究生創(chuàng)意創(chuàng)新種子基金資助(Z2016146)

李創(chuàng)(1992-)，男，陜西渭南人，碩士研究生，研究方向?yàn)轱w行控制與軌跡優(yōu)化； 劉小雄(1973-)，男，陜西周至人，副教授，博士，研究方向?yàn)轱w行控制與仿真、軌跡優(yōu)化與四維制導(dǎo)。

V249.1

A

1002-0853(2017)01-0025-05