鄭晨

【摘 要】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要內(nèi)容，它是一種特殊的函數(shù)，具有較為多變的性質(zhì)以及題目類型。近年來(lái)關(guān)于解題錯(cuò)誤的研究非常多，本文主要分析在高中數(shù)列學(xué)習(xí)中，常見(jiàn)的一些錯(cuò)誤類型，以及錯(cuò)誤的修正策略，使教師以后的教學(xué)更具針對(duì)性，學(xué)生能夠更好的完善數(shù)列這一模塊的知識(shí)體系。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)列；易錯(cuò)類型；策略

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)內(nèi)容，它是體現(xiàn)函數(shù)離散現(xiàn)象的一個(gè)數(shù)學(xué)模型。同時(shí)，數(shù)列也是一項(xiàng)特殊的函數(shù)，對(duì)于學(xué)生理解函數(shù)性質(zhì)有著重要的作用。在高考的試題中，數(shù)列也是常見(jiàn)的易考對(duì)象，它與方程、函數(shù)、不等式、概率等內(nèi)容綜合出題，具有多變的考題模式，學(xué)生在處理數(shù)列問(wèn)題時(shí)也經(jīng)常出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。

1.數(shù)列的定義

在大學(xué)高等數(shù)學(xué)中，我們這樣定義數(shù)列：

若函數(shù)f的定義域?yàn)槿w正整數(shù)集合N+，則稱f：N+→R或f（n），n∈N+為數(shù)列。因正整數(shù)集N+的元素可按由小到大的順序排列，故數(shù)列f（n）也可寫作a1，a2，…，an，…或簡(jiǎn)單地記為{an}，其中稱an為該數(shù)列的通項(xiàng)。

而在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，數(shù)列的定義可以這樣表述：

數(shù)列是按一定次序排成的一列數(shù)。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的特殊函數(shù)，如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，則這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。

2.數(shù)列解題的易錯(cuò)點(diǎn)

2.1對(duì)數(shù)列的概念理解不準(zhǔn)而致錯(cuò)

例1已知數(shù)列{an}是遞推數(shù)列，且對(duì)于任意的n∈N+，an=n2+λn恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是____。

錯(cuò)解 因?yàn)閍n=n2+λn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且n≥1，所以-≤1，解得λ≥-2。

錯(cuò)因分析 數(shù)列是以正整數(shù)N+（或它的有限子集{1，2，…，n}）為定義域的函數(shù)，因此它的圖像只是一些孤立的點(diǎn)。

正解

正解一：因?yàn)閍n=n2+λn，其圖像的對(duì)稱軸為n=-，由數(shù)列{an}是單調(diào)遞增函數(shù)列有-≤1，得λ≥-2。當(dāng)2-（-）>--1，即λ>-3時(shí)，數(shù)列{an}也是單調(diào)遞增的。故λ的取值范圍為{λ|λ≥2}∪{λ|λ>-3}={λ|λ>-3}，即λ>-3為所求取值范圍。

正解二：因?yàn)閿?shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an+1-an>0（n∈N+）恒成立，又an=n2+λn，（n∈N+），所以（n+1）2+λ（n+1）-（n2+λn）>0恒成立，即2n+1+λ>0。所以λ>-（2n+1）（n∈N+）恒成立。而n∈N+時(shí)，-（2n+1）的最大值為-3（n=1時(shí)），所以λ>-3即為所求范圍。

反思 利用函數(shù)觀點(diǎn)研究數(shù)列性質(zhì)時(shí)，一定要注意到數(shù)列定義域是{1，2，3，4，…，n，…}或其子集這一特殊性，防止因擴(kuò)大定義域而出錯(cuò)。

2.2忽視公式an=Sn-Sn-1的適用條件導(dǎo)致錯(cuò)誤

例2設(shè)數(shù)列[an]的前n項(xiàng)和Sn=3n2-n+2（n∈N+），求{an}的通項(xiàng)公式

錯(cuò)解 ∵an=Sn-Sn-1=3n2-n+2-[3（n-1）2-（n-1）+2]=6n-4，∴an=6n-4

錯(cuò)因分析 求數(shù)列的通向公式是本章最常見(jiàn)的問(wèn)題，此處的易錯(cuò)之處是：根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)的特征歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，考慮不全面而出錯(cuò)；或者在利用前n項(xiàng)和公式求通項(xiàng)時(shí)沒(méi)有檢驗(yàn)n=1的情況而出錯(cuò)；或者對(duì)通項(xiàng)公式理解不夠透徹而出錯(cuò)。避免出現(xiàn)這些錯(cuò)誤的方法就是驗(yàn)證，本例正是由于沒(méi)有檢驗(yàn)n=1的情況才導(dǎo)致了錯(cuò)誤。

正解 當(dāng)n>2時(shí)，∵an=Sn-Sn-1=3n2-n+2-[3（n-1）2-（n-1）+2]=6n-4，∴an=6n-4；當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=4，不滿足上式?！鄶?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=4（n=1）

6n-4（n≥2）

2.3錯(cuò)用等差數(shù)列的性質(zhì)導(dǎo)致錯(cuò)誤

例3設(shè){an}是等差數(shù)列，ap=q，aq=p（p≠q），試求ap+q。

錯(cuò)解 ∵{an}是等差數(shù)列，∴ap+q=aP+aq=p+q。

錯(cuò)因分析 在運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)時(shí)，由于理解不深刻，從而出現(xiàn)性質(zhì)混淆、亂用的現(xiàn)象。解決方法是對(duì)性質(zhì)進(jìn)行正面來(lái)加深對(duì)它們的理解，尤其是在運(yùn)用“若m+n=p+q，則am+an=ap+aq（m，n，p，q∈N+）”的性質(zhì)時(shí)，必須是兩項(xiàng)相加等于兩項(xiàng)相加，否則不成立。如：

a15≠a7+a8，a7+a8=a6+a9，a1+a21≠a22，a1+a21=2a11

正解

正解一：設(shè)公差為d，則ap=aq+（p-q）d，

∴d===-1

∴ap+q=ap+（q+p-p）d=q+q×（-1）=0

2.4混淆等差數(shù)列的性質(zhì)與前n項(xiàng)和的性質(zhì)導(dǎo)致錯(cuò)誤

例4在等差數(shù)列{an}中，已知S6=10，S24=24，求S18

錯(cuò)解 在等差數(shù)列{an}中，S6，S12，S18成等差數(shù)列，∴2S12=S6+S18即2×24=10+S18，∴S18=38

錯(cuò)因分析 在等差數(shù)列中，下標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)仍成等差數(shù)列，即ak，a2k，a3k仍成等差數(shù)列，但Sk，S2k，S3k不一定成等差數(shù)列，應(yīng)是Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差數(shù)列。混淆上述性質(zhì)，容易造成錯(cuò)誤。本例中，雖然下標(biāo)6，12，18成等差數(shù)列，但S6，S12，S18不成等差數(shù)列，應(yīng)是連續(xù)6項(xiàng)的和，即S6，S12-S6，S18-S12成等差數(shù)列。

正解 在等差數(shù)列{an}中，因?yàn)镾6，S12-S6，S18-S12成等差數(shù)列，所以2（S12-S6）=S6+S18-S12，即2×（24-10）=10+S18-24，解得S18=42

反思 等差數(shù)列具有一些特殊的性質(zhì)，有些可以延伸到等差數(shù)列前n項(xiàng)和中，但是特別的，并不能類比在等差數(shù)列前n項(xiàng)和中使用，這樣容易出現(xiàn)性質(zhì)應(yīng)用中的錯(cuò)誤。

3.解題策略

3.1牢記定義、公式，靈活運(yùn)用性質(zhì)

3.2運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，總結(jié)歸題目解類型

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（吉林師范大學(xué)教育科研振興基金重點(diǎn)研究項(xiàng)目——基于教師專業(yè)發(fā)展的職前培養(yǎng)與職后培訓(xùn)的一體化模式創(chuàng)新研究（jsjkzx201402））