王佳君

【摘 要】解決實際問題的過程，是根據(jù)數(shù)學(xué)變量之間的關(guān)系或關(guān)系網(wǎng)建構(gòu)解法的過程，也就是結(jié)合運算意義建模或連續(xù)建模過程。蘇教版三年級上冊解決問題的教學(xué)，關(guān)鍵在于三點，即掌握基本數(shù)學(xué)模型，用策略引領(lǐng)建模方向，培養(yǎng)綜合建模能力。也就是要引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實生活和具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，初步學(xué)會從已知條件出發(fā)并在條件和問題之間建立聯(lián)系的思考方法，讓學(xué)生能夠結(jié)合對加減乘除四則運算意義的理解及其基本模型的建構(gòu)，提煉出相關(guān)的數(shù)量關(guān)系式，靈活地運用四則運算及運算組合建立相關(guān)模型或連續(xù)建模，最終解決相關(guān)問題。

【關(guān)鍵詞】基本模型；建模方向；建模能力；解決問題

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2017）01-0009-03

蘇教版三年級上冊的教材包括八個單元，依次是“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”“千克和克”“長方形和正方形”“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”“解決問題的策略”“平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱”“分數(shù)的初步認識（一）”“期末復(fù)習(xí)”。其中解決問題的內(nèi)容大致是這樣分布的：①具有明顯指向性的從條件出發(fā)分析和解決的問題，集中在第五單元；②與計算教學(xué)緊密結(jié)合的簡單實際問題，指第一、四單元中直接運用兩、三位數(shù)乘（除以）一位數(shù)計算或估算解決的問題，如“求一個數(shù)是另一個數(shù)幾倍”和“求一個數(shù)的幾倍是多少”，以及相關(guān)的簡單兩步計算的問題；③其他簡單問題，如涉及重量單位換算、長方形和正方形周長計算、簡單同分母分數(shù)加減計算的簡單實際問題。

解決實際問題的過程，是根據(jù)數(shù)學(xué)變量之間的關(guān)系或關(guān)系網(wǎng)建構(gòu)解法的過程，也就是結(jié)合運算意義建?；蜻B續(xù)建模過程。解決問題的關(guān)鍵在于合理地建?；蜻B續(xù)建模，小學(xué)階段數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)在于對加減乘除四則運算意義的理解，其關(guān)鍵在于對問題中出現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系的分析。

而學(xué)生在一、二年級已經(jīng)知道了最基本的數(shù)量關(guān)系，理解了四則運算的意義，并初步建立了它們的模型（把部分合起來得整體是加法的基本模型，從整體中去掉一部分得另一部分是減法的基本模型；而乘法是求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算，除法則是把整體按一定的要求平均分，求平均分的結(jié)果）。同時學(xué)生已經(jīng)能夠簡單模糊無意識地運用解決問題的基本策略——從條件想起和從問題想起，進而建?；蜻B續(xù)建模解決簡單實際問題。

三年級上冊解決問題的教學(xué)，需要引導(dǎo)學(xué)生有意識地從條件出發(fā)，結(jié)合四則運算的意義，分析數(shù)量之間的關(guān)系或關(guān)系網(wǎng)，建立或連續(xù)建立數(shù)學(xué)模型，進行運算及運算組合解決問題。在幫助學(xué)生積累分析數(shù)量關(guān)系、探尋解題思路經(jīng)驗的過程中，培養(yǎng)學(xué)生“從條件想起”的策略意識（滲透從問題想起的策略），鼓勵學(xué)生嘗試簡單推理，初步發(fā)展抽象思維。

一、掌握基本數(shù)學(xué)模型

1. 復(fù)習(xí)鞏固，熟練運用基本運算模型

三年級的學(xué)生已經(jīng)對加減乘除四則運算的基本模型非常熟悉：加法本質(zhì)是“合”，把部分合成整體，“部分+部分=總體”；乘法的本質(zhì)也是“合”，是把相同部分合起來的簡便運算，“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”。減法的本質(zhì)是“分”，表達把整體分成部分的過程，“總體-部分=部分”；除法的本質(zhì)也是分，要求每部分完全相同，“總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)”，“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)”。

四則運算，既相互區(qū)別，也有所聯(lián)系：①加法和減法，乘法和除法互為逆運算，本冊也經(jīng)常用到這一點。比如第四單元中提倡用乘法驗算兩、三位數(shù)除以一位數(shù)，觀察“商×除數(shù)（+余數(shù)）=被除數(shù)”是否成立。第二單元中克與千克之間的單位換算，5千克=5000（5×1000）克，5000克=5（5000÷1000）千克。②加法和乘法的本質(zhì)都是“合”，乘法是求幾個幾的和的簡便運算，減法和除法的本質(zhì)都是“分”，除法是特別的平均分。乘法可以轉(zhuǎn)化成加法，除法可以轉(zhuǎn)化成減法，但在實際運用中一般選擇更加簡便的表達方式。第三單元學(xué)生在探索長方形和正方形周長的過程就體現(xiàn)了這一點。

這些已知的運算模型在本冊的解決問題中，被不同情境包裝后以不同的形式不斷重復(fù)出現(xiàn)。比如同樣是乘法模型，在書P1例1中以圖文結(jié)合的方式呈現(xiàn)，“王阿姨在購物網(wǎng)站訂購了3箱黑玉米，每箱20根，一共有多少根？”，每箱根數(shù)×箱數(shù)=總根數(shù)。在書P15第5題中以表格的方式呈現(xiàn)，“每個書包39元，2個一共多少元？每個文具盒12元，5個一共多少元？每瓶墨水4元，18瓶一共多少元？”，每個書包的價格×?xí)鼈€數(shù)=書包的總價格，每個文具盒的價格×文具盒個數(shù)=文具盒的總價格，每瓶墨水的價格×墨水瓶數(shù)=墨水的總價格，都是“單價×數(shù)量=總價”。

因此三年級上學(xué)期解決問題的教學(xué)，首先要讓學(xué)生能夠從現(xiàn)實生活和具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，然后不斷地建立模型、解決模型，進而熟練地運用這些運算模型，最后在加深基本數(shù)量關(guān)系理解的基礎(chǔ)上，掌握這些“簡單的”模型。

2. 遷移新知，豐富調(diào)整基本運算模型

復(fù)習(xí)鞏固已知的運算模型是一種“同化”，是學(xué)生將外界信息納入到已有的四則運算基本模型的認知結(jié)構(gòu)的過程。但是有些信息與現(xiàn)存的認知結(jié)構(gòu)并不十分吻合，比如學(xué)生之前沒接觸過“分數(shù)”運算，不了解“倍”的概念，這時就應(yīng)調(diào)整改變原來對于運算模型的認知，進行“順應(yīng)”。當(dāng)學(xué)生的新認知結(jié)構(gòu)能夠輕松同化環(huán)境中的新經(jīng)驗時，就會再次感到平衡，從而在不斷地“平衡——失衡——再平衡”中，實現(xiàn)對基礎(chǔ)運算模型的認知發(fā)展。

（1）加法和減法模型?！巴帜阜謹?shù)加減法”的教學(xué)，需要學(xué)生結(jié)合對加減運算意義的理解，在把同分母分數(shù)加減法與整數(shù)運算相聯(lián)系，豐富對原有加減法基本模型應(yīng)用范圍的認識。

①學(xué)生找出“小明吃了這塊巧克力的 ”和“小紅吃了這塊巧克力 ”這兩個信息，并從條件出發(fā)提出問題“兩人一共吃這塊巧克力的幾分之幾”，“小明比小紅多吃了這塊巧克力的幾分之幾”？

②根據(jù)加法意義，得出“小明吃的+小紅吃的=兩人一共吃的”，求“兩人一共吃這塊巧克力的幾分之幾”，也就是求“ + =？”。學(xué)生自由探索，如把整塊巧克力想象成一個由8塊小長方形組成的大長方形，把它的 涂上紅色， 涂上綠色，思考“5個 加上2個 是7個 ，就是 ”，得出涂色部分共占大長方形的 。在過程中體會，分數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同，是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算，再次豐富學(xué)生對加法的運算模型的認識。

③根據(jù)減法意義，得出“小明吃的-小明吃的當(dāng)中與小紅吃的同樣多的部分=小明比小紅多吃的”，求“小明比小紅多吃了這塊巧克力的幾分之幾”，也就是求“ - =？”。其探索過程與同分母分數(shù)加法相似，通過遷移整數(shù)減法中“大數(shù)-小數(shù)=相差數(shù)”，認識到分數(shù)減法與整數(shù)減法意義一樣，都是從總數(shù)中去掉一個數(shù)得另一個數(shù)的運算，從而豐富學(xué)生對減法的運算模型的認識。

④進行相關(guān)變式的題組練習(xí)，總結(jié)出運算模型“ + = ”。

（2）乘法和除法模型?！懊糠輸?shù)×份數(shù)=總數(shù)”，“總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)”，“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)”是解決乘除法問題的基本數(shù)量關(guān)系式，其他如“單價×數(shù)量=總價”，“路程÷時間=速度”等都是對它們的簡單延伸。本冊教材要求學(xué)生聯(lián)系對乘、除法運算含義的已有認識，理解“倍”的含義，能正確解答求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍和求一個數(shù)的幾倍是多少的簡單實際問題。這是對乘法、除法運算模型的豐富，也是對乘除法運算意義的再認識。

求一個數(shù)的幾倍是多少的實際問題的關(guān)鍵是建立“倍”的概念。求一個數(shù)的幾倍是多少，就是求幾個這個數(shù)的和，本質(zhì)上是求幾個相同加數(shù)的和，符合乘法的運算模型。而要知道一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍，就是要把一個數(shù)平均分，看能分成幾個另一個數(shù)。其本質(zhì)上是一種包含除，大數(shù)里有幾個小數(shù)那么多，有幾個那么多就是幾倍，符合除法的運算模型。

二、策略引領(lǐng)建模方向

“解決問題的策略”單元是蘇教版教材特色之一，三年級上下冊分別安排了“從條件想起”和“從問題想起”，這也是學(xué)生建立模型解決問題的兩種基本思路。

1. 明確“從條件想起”的策略

（1）提取條件信息，并理解其含義：信息的呈現(xiàn)方式多種多樣，有文字、表格、圖片等，有的很明確，有的卻很隱晦。因此，在解決問題前必須用畫線段圖、列表統(tǒng)計等手段提取信息，同時設(shè)法理解其中的關(guān)鍵，如“至少”“不大于”“照這個速度”等。

（2）組合條件信息，碰撞解決問題：根據(jù)數(shù)量關(guān)系組合條件，看能否直接解決問題，如果不能則先得出新信息，幫助解決問題。像這樣從已知條件向問題推理的方法，就是“從條件想起”。

比如，書P71例1：“小猴幫媽媽摘桃，第一天摘了30個，以后每天都比前一天多摘5個。小猴第三天摘了多少個？第五天呢？”

學(xué)生在提取條件信息“第一天摘30個”和“以后每天都比前一天多摘5個”后，需要先理解“以后每天都比前一天多摘5個”這一關(guān)鍵的條件。根據(jù)它表明的數(shù)量關(guān)系，通過列式計算、填表列舉等方法，依次得出第二天摘的、第三天摘的......

2. 滲透“從問題想起”的策略

解決問題可以“從條件想起”，自然也可以“從問題想起”，或者把二者相結(jié)合。比如同樣是解決書P71例1，可以先通過畫線段圖，分析條件得出第n天摘的比第一天摘的多（n-1）個5的桃，那么求第5天摘的桃，就是求“比第一天摘的30多4個5的數(shù)是多少”。甚至當(dāng)所要求的數(shù)比較大，比如第100天摘了多少個桃時，也能輕松解決。

三、培養(yǎng)綜合建模能力

本冊教材有計劃地依次安排了比起低年級更多的連續(xù)兩問的實際問題、兩步計算實際問題，這對學(xué)生來說無疑是一次思維的飛躍。為了幫助學(xué)生實現(xiàn)這次飛躍，我們需要從以下幾個方面培養(yǎng)學(xué)生綜合建模的能力。

1. 提取信息，理解含義

《數(shù)學(xué)課程標準》中希望學(xué)生“經(jīng)歷在實際問題中收集和處理數(shù)據(jù)、利用數(shù)據(jù)分析問題、獲取信息的過程”，在本冊教材中，我們需要關(guān)注學(xué)生的畫圖（尤其是線段圖）和列表整理。比如在解決與“倍”相關(guān)的問題時，我們常讓學(xué)生“圈一圈”，也常用到直條圖、線段圖。書P27的思考題：“小欣家離學(xué)校850米。一天早晨，她從家去學(xué)校上學(xué)，大約走到總路程的一半時，發(fā)現(xiàn)忘記帶數(shù)學(xué)書。于是她又回家拿書，再去學(xué)校。這天早晨，小欣上學(xué)大約一共走了多少米？”利用線段圖能夠很直觀地發(fā)現(xiàn)題中的信息表示小欣一共走了“2個850米”。

2. 疊加組合，接力建模

學(xué)生認知的是發(fā)展的，其發(fā)展是有規(guī)律的。教材在學(xué)生掌握基本數(shù)量關(guān)系后有層次地安排了難易不同的實際問題，這就要求我們根據(jù)不同的數(shù)量關(guān)系或關(guān)系網(wǎng)，把有聯(lián)系的不同條件進行一次或多次的組合，甚至疊加組合，進行不斷地建?；蚪恿?。比如書P44第10題：“一塊長方形菜地，長8米，寬5米。菜地四周圍上籬笆，籬笆長多少米？如果菜地一面靠墻，籬笆至少長多少米？”從條件出發(fā)能夠先求出長方形的一組鄰邊的長度，進而得出長方形周長，解決“籬笆長多少米”這一問題。然后結(jié)合“菜地一面靠墻”這個新條件，得出“籬笆長度=長方形周長-靠墻那條邊的長度”或“籬笆長度=一組鄰邊的長+一條邊的長度”，進而由“至少”兩字入手解決最后的問題。

3. 結(jié)合現(xiàn)實，靈活思考

有些問題并不能直接通過計算解決，有些問題的解決方法不止一種，因此就需要我們從不同的角度思考，建立模型后，再根據(jù)實際問題的現(xiàn)實意義，進行判斷和推理，最終解決問題。

比如在第一、四單元中直接運用兩、三位數(shù)乘（除以）一位數(shù)估算解決的問題。書P15第7題，“一個影劇院有318個座位。東華小學(xué)近1200名師生分4場觀看一部電影，能都有座位嗎？為什么？（口答）”。觀看一場電影的人數(shù)×觀看電影的場數(shù)=觀看電影的總?cè)藬?shù)，每人對應(yīng)一個座位，300×4=1200（人），318×4>1200，所以能都有座位。或者需要觀影的總?cè)藬?shù)÷觀影的場數(shù)=每場需要容納的人數(shù)，如果每場需要容納的人數(shù)比318個座位數(shù)少，則人人都能有座位。1200÷4=300（人），300<318，所以都能有座位。

三年級上學(xué)期的解決問題的教學(xué)，關(guān)鍵在于幫助學(xué)生更好地合理地建立數(shù)學(xué)模型，主要應(yīng)做到三點，即掌握基本數(shù)學(xué)模型，用策略引領(lǐng)建模方向，培養(yǎng)綜合建模能力。也就是要引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實生活和具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，初步學(xué)會從已知條件出發(fā)并在條件和問題之間建立聯(lián)系的思考方法，讓學(xué)生能夠結(jié)合對加減乘除四則運算的義的理解及其基本模型的建構(gòu)，提煉出相關(guān)的數(shù)量關(guān)系式，靈活地運用四則運算及運算組合，建立相關(guān)模型或連續(xù)建模，最終解決相關(guān)問題。

參考文獻：

[1] 黃為良.蘇教版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教材三年級上冊修訂說明[J].教育研究與評論（小學(xué)教育教學(xué)版），2014（8）：32-37.

（組稿：韋波富 編輯：胡 璐）