陳侃　陳梅

獨立性檢驗在實際生活中有著廣泛的應用，與它有關的試題比較新穎，貼近生活，對考查大家“獲取信息、分析信息、應用信息的能力”以及“運用數(shù)學的思想和意識”起到了非常重要的作用. 本文通過幾個例題對這一類問題進行分析，加以總結，找出解決這類問題的方法.

對分類變量概念的理解

例1 對兩個分類變量A，B的下列說法中正確的個數(shù)為（ ）

（1）A與B無關，即A與B互不影響

（2）A與B關系越密切，則K2的值就越大

（3）K2的大小是判定A與B是否相關的唯一依據(jù)

A. 1 B. 2

C. 3 D. 0

解析 （1）正確，A與B無關，即A與B相互獨立；（2）錯誤，[K2]的值的大小只用來檢驗A與B是否相互獨立；（3）錯誤，還可以借助三維柱形圖、二維條形圖等.

答案 A

點評 涉及獨立性檢驗的概念問題，對基本概念的理解是求解的關鍵. 基本概念有分類變量、定量變量、列聯(lián)表等.

分類變量的強弱關系

例2 分類變量X和Y的列表如下，則下列說法判斷正確的是________. （填序號）

（1）ad-bc越小，說明X與Y的關系越弱

（2）ad-bc越大，說明X與Y的關系越強

（3）（ad-bc）2越大，說明X與Y的關系越強

（4）（ad-bc）2越接近于0，說明X與Y的關系越強

解析 判斷兩個變量是否有關系，可以考查[ad-bc]的值的大小. [ad-bc]的值越大，說明兩個變量之間的關系越強；[ad-bc]的值越小，說明兩個變量的關系越弱. 故此題填（3）.

答案 （3）

點評 在列聯(lián)表中，如果兩個分類變量沒有關系，則[ad≈bc]，即[ad-bc≈0]. 所以在判斷兩個分類變量的強弱關系時，應判斷[ad-bc]的大小.

考查[K2]的意義

例3 在對吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是（ ）

A. 若隨機變量K2的觀測值k>6.635，我們有99%的把握說明吸煙與患肺病有關，則若某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病

B. 若由隨機變量求出有99%的把握說吸煙與患肺病有關，則在100個吸煙者中必有99個人患有肺病

C. 若由隨機變量求出有95%的把握說吸煙與患肺病有關，那么有5%的可能性使得推斷錯誤

D. 以上說法均不正確

解析 K2是確定多大程度上可以認為“兩個分類變量有關系”；并不是說有99%的可能患有肺病，也不能說在100個吸煙者中必有99個人患有肺病.

答案 C

點評 本題考查對獨立性檢驗的結果與實際問題的差異的理解，獨立性檢驗的結論是一種相關關系，它與實際問題中的確定性是存在差異的，是反映有關和無關的概率.

對兩種表示方法的理解

例4 通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下列聯(lián)表.

參照附表，得到的正確結論是________.

（1）在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”

（2）在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”

（3）有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”

（4）有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”

解析 由K2≈7.8可知，[P（K2≥6.635）≈0.010]，在犯錯誤的概率不超過1%的前提下或有99%以上的把握，認為“愛好該項運動與性別有關”.

答案 C

點評 本題考查隨機變量的觀測值[K2]與臨界值[k]的關系，使得在假設成立的情況下，觀測值[K2]要大于該臨界值[k]，然后得出結論.

獨立性檢驗的綜合問題

例5 某企業(yè)有兩個分廠生產某種零件，按規(guī)定內徑尺寸（單位：mm）的值落在[29.94，30.06）的零件為優(yōu)質品. 從兩個分廠生產的零件中各抽出了500件，測量其內徑尺寸，得結果如下表.

（1）分別估計兩個分廠生產的零件的優(yōu)質品率；

（2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表，并回答是否有99%的把握認為“兩個分廠生產的零件的質量有差異”.

分析 獨立性檢驗問題的一般步驟：①用相關數(shù)據(jù)作出列聯(lián)表；②計算統(tǒng)計量[K2]的值；③與臨界值比較，判斷是否相關，若相關，得出相關結論.

解 （1）甲廠抽查的產品中有360件優(yōu)質品，從而甲廠生產的零件的優(yōu)質品率估計為[360500]×100%=72%；乙廠抽查的產品中有320件優(yōu)質品，從而乙廠生產的零件的優(yōu)質品率估計為[320500]×100%=64%.

（2）由題意得列聯(lián)表如下.

點評 獨立性檢驗的基本思想類似于反證法. 要確認“兩個分類變量有關系”成立的可信程度，首先假設該結論不成立，即假設結論“兩個分類變量沒有關系”成立，在該假設下構造的隨機變量[K2]應該很小. 如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的[K2]的觀測值很大，則在一定可信程度上說明假設不成立.