練紅海，肖伸平，陳 剛，王 信

（1.湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007；2.湖南工業(yè)大學(xué) 電傳動(dòng)控制與智能裝備湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 株洲 412007）

基于時(shí)間相關(guān)Lyapunov泛函方法的采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)

練紅海1,2，肖伸平1,2，陳 剛1,2，王 信1,2

（1.湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007；2.湖南工業(yè)大學(xué) 電傳動(dòng)控制與智能裝備湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 株洲 412007）

采用時(shí)間相關(guān)連續(xù)Lyapunov-Krasovskii泛函方法，對(duì)線性采樣數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題進(jìn)行了研究?；诂F(xiàn)有的一種自由矩陣積分不等式（見文獻(xiàn)[1]），提出了一種新的適用于采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的自由矩陣積分不等式，利用該不等式處理一次積分項(xiàng)，得到一個(gè)確保采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。4個(gè)數(shù)值實(shí)例證明了所提方法的有效性和優(yōu)越性。

Lyapunov-Krasovskii泛函；采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)；穩(wěn)定性；自由矩陣積分不等式

0 引言

由于現(xiàn)代數(shù)字通信技術(shù)的發(fā)展，采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域[1-3]。采樣周期是采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的一個(gè)重要參數(shù)。如果在系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下獲得盡可能大的采樣周期，則可以適當(dāng)降低對(duì)通信速率、帶寬限制及通信容量的要求。因此，如何在確保采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下，獲得盡可能大的采樣周期是一個(gè)值得深入研究的課題。

目前，主要有離散時(shí)間[4]、等效脈沖[5]和輸入時(shí)滯[6]3類方法研究采樣控制系統(tǒng)。其中，輸入時(shí)滯方法是一種非常有效的方法，它是把采樣控制器的輸入看作是時(shí)滯輸入，因此，可用處理時(shí)滯系統(tǒng)的方法來分析采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[6]。文獻(xiàn)[6-7]是基于輸入時(shí)滯方法，通過構(gòu)造一個(gè)時(shí)間相關(guān)Lyaounov泛函，對(duì)采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[8]基于離散時(shí)間Lyapunov理論，研究了采樣系統(tǒng)的同步和異步采樣問題，并獲得了系統(tǒng)的漸近和指數(shù)穩(wěn)定條件。文獻(xiàn)[9]利用積分二次約束方法，得到了非均勻采樣模型和結(jié)構(gòu)不確定的采樣系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性條件。文獻(xiàn)[10-11]將采樣系統(tǒng)等效為連續(xù)分段的線性系統(tǒng)，研究采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，并設(shè)計(jì)了控制器。上述方法都具有一定的保守性，可以進(jìn)行改善。

眾所周知，Lyapunov泛函主要用于分析時(shí)滯系統(tǒng)和采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)。能否獲得更小保守性的結(jié)果與怎樣處理泛函導(dǎo)數(shù)的積分項(xiàng)密切相關(guān)。例如積分項(xiàng)，其中≤，且,都是大于0的常數(shù)，f(s)為二次型函數(shù)，處理該積分項(xiàng)的方法主要是積分不等式，其中，最著名的是Jensen積分不等式，但是它在處理積分項(xiàng)時(shí)做了一定程度的放大，導(dǎo)致獲得的結(jié)果存在較大的保守性。為了減小對(duì)積分項(xiàng)估計(jì)的放大作用，Wirtinger積分不等式[7]、自由矩陣積分不等式[1]等方法被提出。利用上述不等式時(shí)，在系統(tǒng)增廣向量中引入，那么就會(huì)引入到相應(yīng)條件中。對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)，d(t)(t-d(t),t)可利用逆凸組合方法進(jìn)行處理，其中d(t)[d1,d2]。對(duì)于采樣系統(tǒng)，通常利用時(shí)間相關(guān)項(xiàng)(tk-t)(tk,t)和其他時(shí)間相關(guān)項(xiàng)來減小系統(tǒng)的保守性，其中t[tk, tk+1]。當(dāng)出現(xiàn)2個(gè)時(shí)間相關(guān)項(xiàng)的乘積時(shí)，處理該交叉乘積項(xiàng)就十分困難。因此，本課題組在Zeng H.B.等[1]提出的FMBII基礎(chǔ)上，提出了一種新的適用于采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的FMBII，將采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為時(shí)滯線性系統(tǒng)，基于時(shí)間相關(guān)連續(xù)Lyapunov-Krasovskii泛函方法得到采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。4個(gè)數(shù)值實(shí)例表明本文方法的可行性和相比已有結(jié)果的優(yōu)越性。

1 系統(tǒng)描述

考慮如下線性系統(tǒng)，

將式（5）整理可得式（3），引理1證畢。

注1 基于文獻(xiàn)[1]的引理1，本文提出了一種新的自由矩陣積分不等式即引理1。與文獻(xiàn)[1]相比，本文簡(jiǎn)化了積分不等式即減小了不等式的維度（由四維簡(jiǎn)化為三維），并改變了增廣向量的元素，即將替換為；而文獻(xiàn)[1]的引理1適用于處理時(shí)滯系統(tǒng)，很難應(yīng)用到采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)中。

引理2 Finsler’s引理[12]考慮向量，矩陣，且rank()

2 主要結(jié)果

利用本文提出的自由矩陣積分不等式，推導(dǎo)采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件。為了簡(jiǎn)化表達(dá)，定義記號(hào)如下：

定理1 對(duì)給定的正實(shí)數(shù)dU≥dL>0，如果存在正定的對(duì)稱矩陣和矩陣，，以及任意矩陣，使得LMIs成立，即

則系統(tǒng)（2）是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

式（6）～（7）中：

證明 取Lyapunov-Krasovskii泛函如下：

計(jì)算V(xt)沿系統(tǒng)（2）的軌跡導(dǎo)數(shù)，有

用引理2估計(jì)式（9）中的一次積分項(xiàng)，可得

結(jié)合式（9）和（10），有

又因?yàn)?/p>

3 數(shù)值算例

考慮采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)（2），具有如下矩陣參數(shù)。

當(dāng)dL=10-5時(shí)，利用提出的穩(wěn)定判據(jù)即定理1獲得4個(gè)算例的最大采樣時(shí)間間隔，見表1。由定理1得到的最大采樣時(shí)間間隔優(yōu)于與文獻(xiàn)[6]，[8]和[9]，這說明本文方法具有一定的優(yōu)越性。

4 結(jié)語

本文討論了線性采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，構(gòu)造了時(shí)間相關(guān)連續(xù)Lyapunov-Krasovskii泛函，提出了一種新的自由矩陣積分不等式，利用它估計(jì)Lyapunov-Krasovskii泛函的導(dǎo)數(shù)，得到采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)。數(shù)值實(shí)例證明了本文所提方法的有效性和可行性。

[1]ZENG H B，HE Y，WU M，et al.New Results on Stability Analysis for Systems with Discrete Distributed Delay[J].Automatica，2015，60(C)：189-192.

[2]YE H，MICHEL A N，HOU L.Stability Theory for Hybrid Dynamical Systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1998，43(4)：461-474.

[3]ZENG H B，JU H P，XIAO S P，et al.Further Results on Sampled-Data Control for Master-Slave Synchronization of Chaotic Lur’e Systems with Time Delay[J].Nonlinear Dynamics，2015，82(1)：851-863.

[4]FUJIOKA H.A Discrete-Time Approach to Stability Analysis of Systems with Aperiodic Sample-and-Hold Devices[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2009，54(10)：2440-2445.

[5]NAGHSHTABRIZI P，HESPANHA J P，TEEL A R.Stability of Delay Impulsive Systems with Application to Networked Control Systems[C]//Proceedings of the American Control Conference(2007).[S.l.]：IEEE，2007，32(5)：4899-4904.

[6]FRIDMAN E.A Refined Input Delay Approach to Sampled-Data Contro[J].Automatica，2010，46(2)：421-427.

[7]SEURET A，GOUAISBAUT F.Wirtinger-Based Integral Inequality：Application to Time-Delay Systems[J].Automatica，2013，49(9)：2860-2866.

[8]SEURET A.A Novel Stability Analysis of Linear Systems Under Asynchronous Samplings[J].Automatica，2012，48(1)：177-182.

[9]KAO C Y.An IQC Approach to Robust Stability of Aperiodic Sampled-Data Systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2016，61(8)：2219-2225.

[10]王 煒，周維龍.不確定采樣系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)[J].湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，29(2)：50-53.

WANG Wei，ZHOU Weilong.A Design of Robust Stabilization Controller for Uncertain Sampled-Data System[J].Journal of Hunnan University of Technology，2015，29(2)：50-53.

[11]王 煒，曾紅兵.不確定線性采樣系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性[J].湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，24(4)：79-81.

WANG Wei，ZENG Hongbing.Robust Stability of Uncertain Linear Sampling Systems[J].Journal of Hunnan University of Technology，2010，24(4)：79-81.

[12]SKELTON R E，IWASAKI T，GRIGORADIS K M.A Unified Algebraic Approach to Linear Control Design[M].New York：Taylor and Francis，1997：25-79.

（責(zé)任編輯：鄧 彬）

On the Stability Criteria for Sampled-Data Systems Based on Time-Dependent Lyapunov Functional Theory

LIAN Honghai1,2，XIAO Shenping1,2，CHEN Gang1,2，WANG Xin1,2
（1.School of Electrical and Information Engineering，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China；2.Hunan University of Technology，Key Laboratory for Electric Drive Control and Intelligent Equipment of Hunan Province，Zhuzhou Hunan 412007，China）

By adopting the time-dependent continuous Lyapunov-Krasovskii functional method, a research has been carried out on the stability of the linear sampled-data systems.Based on the existing free-matrix-based integral inequality (FMBII), a new FMBII, which is suitable for sampled-data control of system, has been proposed.A sufficient condition for the stability of sampled data systems is to be obtained by using the inequality to deal with an integral term, thus working out the sufficient condition that can guarantee the stability of sampled-data system.Four numerical examples are given to testify the efficiency and superiority of the proposed approach.

Lyapunov-Krasovskii functional；sampled-data system；stability；free-matrix-based integral inequality

TP13

A

1673-9833(2017)01-0056-04

10.3969/j.issn.1673-9833.2017.01.010

2016-10-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61672225，61304064），國(guó)家火炬計(jì)劃基金資助項(xiàng)目（2015GH712901），湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2015JJ3064，2015JJ5021），湖南省教育廳科學(xué)研究?jī)?yōu)秀青年基金資助項(xiàng)目（15B067），廣東省特種光纖材料與器件工程技術(shù)研究開發(fā)中心開放基金資助項(xiàng)目

練紅海（1990-），男，湖南永州人，湖南工業(yè)大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)轸敯艨刂?，神?jīng)網(wǎng)絡(luò)，時(shí)滯系統(tǒng)，E-mail：1132830550@qq.com

肖伸平（1965-），男，湖南永州人，湖南工業(yè)大學(xué)教授，主要從事魯棒控制，過程控制，時(shí)滯系統(tǒng)等方面的教學(xué)與研究，E-mail：xsph_519@163.com