■浦敘德

初中數學教材解讀的“三四五”方略

■浦敘德

主持人語

高效的課堂教學源于優(yōu)化的教學設計，而優(yōu)化的教學設計基于對教材的深度解讀。教材為教學活動提供了研究主題和基本線索，是體現課程理念的顯性素材，是實現課程目標的有效載體，是實施課堂教學的重要資源。葉圣陶先生說：“教材無非是個例子?！睂滩倪@個“例子”的解讀，體現了教師的教學智慧，反映了教師的教研水平，不僅是教師提升專業(yè)素養(yǎng)的著力點，更是課堂教學追求長效的基本保障。本期，我們聚焦的話題就是“教材解讀”。

對青年教師、成熟教師和專家型教師的數學課堂進行比較、分析、歸納后可以發(fā)現：青年教師的課堂著力點基本就在這堂課涉及的素材內容上，成熟教師的課堂著力點是以這堂課為素材核心向前后延伸，而專家型教師的課堂著力點則是以這堂課為素材圓心向四周輻射。從中可以看出，教材解讀的長度、寬度、高度直接決定了數學教師課堂教學的效能。下面筆者就圍繞著教材解讀這個核心問題重點談談它的三個層面、四個視角和五個維度。

一、教材解讀的三個層面

當前使用的小學、初中、高中的數學教材在編寫過程中確實存在不同的編寫團隊、不同的編寫視角、不同的出版部門等現象，因此，存在著對這12年數學教材缺少整體規(guī)劃、對整個數學知識結構體系缺乏全盤了解等問題。但作為數學教師，應該把小學、初中、高中的數學教材作為一個整體來全面認識，加強各學段教材的上下縱向銜接，左右橫向配合，求大同，存小異，進而做到有目標地依次遞進，有序過渡。所以，教材解讀可以從宏觀、中觀、微觀三個層面去進行。具體如下：

宏觀層面解讀是指教師把初中3年的數學教材作為一個整體來解讀，甚至要延續(xù)至小學6年和高中3年的數學教材。我們知道，數學知識具有很強的系統性，很多新知識都是在已有知識的基礎上形成和發(fā)展起來的。即前面知識是后面知識的基礎，后面知識是前面知識的發(fā)展。正是因為數學知識的相互聯系，才形成了數學知識的整體性和連續(xù)性。由于數學知識本身是一個從簡單到復雜、從點到線再到面的不斷擴大體系的金字塔型整體知識結構，只有從宏觀層面進行解讀，才能既達成初中3年的數學學段目標，又整體達成基礎教育階段的數學課程目標。如初中幾何板塊中有“直線、射線、線段”這一內容，而小學幾何板塊中同樣有這一內容，如果不進行宏觀層面的教材解讀，往往就會重復小學的教學目標和內容。事實上，小學數學教學的重點在于從生活中的現象抽象出直觀的“直線、射線、線段”等基本幾何圖形，直觀感知、簡單抽象是目標；而初中數學教學的重點在于用幾何的文字、圖形、符號等數學語言進行表達。兩次出現同樣的內容，不是簡單的重復，兩者的教學立意和目標顯然是不同的。再如初中代數有“函數”的定義這一內容，高中階段同樣有“函數”的定義，為什么要反復定義“函數”呢？事實上，初中階段的函數定位在“變量說”，也就是兩個變量之間存在著一定的相互依存關系；而高中階段的函數定位在“對應說”，是兩個變量之間的一種對應關系。顯然高中階段的函數定義更一般，是初中函數定義基礎上的再抽象。

中觀層面解讀是指教師把某一章的內容作為一個整體來解讀，同時把屬于這一知識板塊的所有內容與這章內容相聯系?，F行初中數學教材大多采用混排方式，螺旋上升，時而代數，時而幾何，時而統計，時而概率，幾乎所有內容在教材中都是時斷時續(xù)地出現。中觀層面的解讀不僅有利于一章內容的整體把握，更有利于采用類比與對比的方法進行設計與教學。這一方面有助于學生數學學習經驗的不斷積累，另一方面教師也可以借助經驗提高教學的效能。如我們在學習七（下）“二元一次方程組”時，應該把初中3年所有方程的內容作為一個知識板塊來加以解讀，這時我們就要綜合考慮七（上）已經學過的“一元一次方程”和八（下）將要學習的“分式方程”、九（上）的“一元二次方程”?；谖覀冊趯W習“一元一次方程”時是按照“定義、方程的解、解法、應用”的基本思路和方法來進行的，所以“二元一次方程組”也可以按相同的路徑實施教學。同時考慮到“二元一次方程組”是在“一元一次方程”基礎上的推廣與拓展，利用“化歸”思想就可以知道“代入消元”和“加減消元”的理論基礎來自何方。

微觀層面解讀是指教師把一堂課的教學內容作為一個整體來解讀，同時考慮這節(jié)課內容的知識來源與知識走向。通常一堂課呈現的素材是“問題情境——知識形成——知識解析——知識運用與應用”，微觀解讀實際上就是解決“知識從哪里來”“知識是怎么形成的”“學了這個知識有什么用”“這個知識向哪里發(fā)展”等問題。這樣一方面可以使每堂課形成一個獨立的系統，相對比較完整；另一方面通過解讀第一問和最后一問，可以把點狀的知識連成線，形成知識關聯，為知識線形成知識結構奠定基礎。如學習初二代數“分式”的定義這一課時，學生的數學現實（知識基礎）是小學的“分數”與初一的“整式”，學生的生活現實是會列出生活中簡單問題的代數式，而這些代數式中必然包含分式。因此，本課的解讀就可以從小學的“分數”到用字母表示數會產生新的代數式——“分式”，是從特殊走向一般。數、式學習主要服務于運算，類比數的學習，學了整式就需要進行整式的運算，對于兩個整式的加減（合并同類項）、乘（整式的乘法），初一都已經學過，當兩個整式相除時，又會出現什么情況呢？再結合生活實例，所有的素材都指向“分式”產生的源頭，分式概念的形成可謂水到渠成。最后還可以通過“學習了分式的定義，你認為接下來會學習什么”的問題，引導學生通過類比整式的學習，對后續(xù)將要學習的分式的性質、分式的計算和分式的應用等發(fā)展性知識有所準備。

二、教材解讀的四個視角

數學教材看似只提供了簡單的情境素材、知識素材和應用素材，每個教師都能讀懂，其實不然。因為教材中的素材是一個內涵豐富的綜合體，不僅有顯性的知識素材，還有隱性的思想方法，不僅有知識之間的相互關聯和結構，還有承載在知識技能與思想方法上的數學能力與數學素養(yǎng)，所以，從不同的視角出發(fā)可以讀出不同的內涵。下面提供教材解讀的四個視角，期待給一線教師的教材解讀提供一點深層次的幫助。

“生活數學”視角是指在解讀數學教材的過程中，要抓住生活與數學的緊密關系，同步考慮數學與生活兩條主線，在生活情境中不忘融入數學問題，在數學研究中不忘解決生活問題。因為數學是研究數量關系和空間形式的科學，是對客觀現象抽象而形成的科學語言與工具。所以，數學來源于生活，高于生活，優(yōu)于生活，又服務于生活。小學數學教材更多考慮的是從生活到數學的直觀感知；初中數學教材考慮從生活中來，到生活中去；高中數學教材則更多考慮從數學逐步深入地走向生活。由此可見，“生活問題情境（知識產生）——數學知識演繹（形成發(fā)展）——解決生活問題（知識應用）”是基礎教育階段數學教材的一條主線。如“反比例函數的定義”這一課，可以通過生活中的2個實例解讀先解決兩個量之間存在正比例關系與反比例關系的問題，為“反比例函數”名稱的引出作好鋪墊。從兩個量的關系變成兩個變量之間的關系，再通過三四個實例的解決，分別得出一次函數、正比例函數與新函數的定義，通過比較、分析，自然產生“反比例函數”的定義。在解讀定義內涵與外延的基礎上，用反比例函數的定義解決數學與生活中的幾個實際例子，這就完成了“從生活中來，到生活中去”的完整循環(huán)。

“知識關聯”視角是指在解讀數學教材的過程中，單個數學知識要找到它的“生長點”與“延伸點”，多個知識要找到它們之間的相互聯系——既要找到知識之間的邏輯順序，又要找到知識之間的實質性聯系，時時體現一條知識整體線。因為數學知識有其自身的結構與體系，要通過義務教育階段的數學學習，讓學生體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發(fā)現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。由此可見，“知識背景——知識形成——相互聯系——知識運用”是教材中的又一條主線。如“整式的乘法”就是建立在“單項式乘以單項式”基礎上的知識關聯，一旦明白了單項式乘以單項式由“系數、字母及指數”確定的法則后，后面“單項式乘以多項式”“多項式乘以多項式”都可以通過不斷轉化“退”到最基礎的形式加以解決，而后面的“乘法公式”又可以解讀成是“多項式乘以多項式”的特殊情形，是從一般走向特殊。

“思想方法”視角是指在解讀數學教材的過程中，要把隱含在知識背后的數學思想方法予以揭示，使數學知識與思想方法這明暗兩條線，組成設計和教學的雙翼。事實上，數學知識與思想方法相伴而生。課程標準中“四基”的提出，明確了知識技能與思想方法的基礎地位。教學應該從學生實際出發(fā)，創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，促使學生主動地、富有個性地學習。因為數學思想蘊涵在數學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，所以，數學中一些重要的內容、方法、思想需要學生經歷較長的認識過程，逐步理解和掌握。由此可見，“知識——方法——思想”是教材中隱含的另一條主線，必須同步解讀到位，才能通過問題解決的過程性，達成“四基”目標。

“矛盾轉化”視角是指在解讀數學教材的過程中，把數學研究的問題作為一種事物，進一步脫去數學“外殼”，進行高度的提煉概括，逐步完成“生活——數學——哲學”的飛躍。事實上，生活與數學中包含了太多的矛盾對立統一體，如已知與未知、特殊與一般、有限與無限、運動與靜止、變化與不變、數與形、整體與局部、單一與多樣、直接與間接、正與反、一維與多維、簡單與復雜等。這些辯證觀念有助于學生理性精神的養(yǎng)成，對于初中生來說，這些正是著眼于未來的數學核心素養(yǎng)，一旦獲得，終身受益。如“三角形中三條重要的線段”這一課，教材給出的“三角形的角平分線、中線與高”是靜態(tài)的概念，為什么還要用一根橡皮筋做實驗呢？通過解讀實驗的內涵就可以知道，實驗是在線段BC上找一個動點D，通過一般與特殊的原理，找到動線段AD的三種特殊情形，即D為BC中點時，AD就是三角形的中線，AD平分∠A時，AD就是三角形的角平分線，AD⊥BC時，AD就是三角形的高。同樣，“垂線段最短”的結論也可以通過一個定點與一個動點組成動線段的長度，利用“一般與特殊”的關系得到結論。

三、教材解讀的五個維度

教材解讀的首要任務是解讀出顯性的數學知識技能與隱性的數學思想方法，教材解讀的最終目的是優(yōu)化設計，提高課堂效率，所以，除了上面重點解讀的數學知識與數學思想（抽象分析、推理論證、數學模型）兩大維度以外，還應該包括更深層次的數學能力、數學意識、數學文化及價值觀三個維度。下面再談談在教材解讀過程中如何著眼于數學能力、數學意識和數學文化及價值觀的問題。

初中學生的數學能力主要是指運算能力、思維能力、數據分析能力和直觀想象能力，從數學學科基礎性功能看，還需要培養(yǎng)表達與交流能力，上述這些能力可以籠統地稱為發(fā)現、提出、分析和解決問題的四大能力。初中學生的數學意識主要是數的意識、數感、推理意識和應用意識，從時代發(fā)展的角度看還需要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。數學能力與數學意識是相輔相成的，能力提高有助于意識的形成，反之，意識的形成會促進能力的發(fā)展與提高。數學能力與數學意識的發(fā)展主要是依靠觀察、實驗、猜想、計算、推理、驗證等過程而獲得。所以，教材解讀的主要工作就是從教材中的素材出發(fā)，設計有趣、有用、有挑戰(zhàn)性的問題，在高效的數學活動中體現主體性和過程性，進而在解決問題的過程中培養(yǎng)能力，發(fā)展意識。如“變量與常量”，教材提供了“列車從甲地駛往乙地，在16∶17到16∶22這個時段列車行駛過程中，哪些量沒有變化？哪些量不斷變化？并配圖示意時速為200km”的素材，我們可以通過以“問題串”體現“過程性”來達成能力培養(yǎng)和意識發(fā)展的目標，即，這個“行程問題”中涉及幾個基本的量？（路程、速度、時間）這幾個量之間是什么關系？（路程=速度×時間）運動過程中涉及幾個地方？（甲、乙）每一種狀態(tài)下涉及的量分別是什么？在每一種狀態(tài)下分別研究哪些量沒有變化？哪些量不斷變化？在學生得出結論后就可以給“常量”與“變量”下定義。

數學文化從狹義的角度看是指數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展。從廣義的角度看，除上述內涵以外，還包含數學家、數學史、數學美學、數學發(fā)展中的人文成分、數學與社會的聯系、數學與各種文化的關系等。數學文化走進中小學課堂，滲入實際數學教學中，主要是讓學生在學習數學過程中真正受到文化感染，產生文化共鳴，體會數學的文化品位，體察社會文化和數學文化之間的互動。數學的價值觀主要包括應用價值、智力價值、精神價值、美學價值等。解讀數學文化和價值觀，需要我們把教材中有文化的元素和有數學育人價值的素材進行學科化解讀，并把這些素材滲透到教學設計與教學過程之中。如中國古代、現代在數學領域有很大的成就和貢獻，這些素材都可以通過數學化呈現給學生，中國有許多著名的數學家，他們研究數學的精神、習慣、方法等都是可以解讀的。

綜上所述，教材解讀是教學全程的開始，而課堂教學是教學全程的終端，教材解讀給課堂教學一個支點，只有找到了這個著力點，課堂教學才有基礎、支撐和保障。教材解讀可以從宏觀、中觀、微觀三個層面去分析，也可以抓住數學生活、知識關聯、思想方法、矛盾轉化四個視角去實施，還可以從數學知識、數學思想、數學能力、數學意識、數學文化及價值觀五個維度去挖掘。如果我們把數學教材的解讀做到位，就會有優(yōu)化的教學設計產生，進而把學生數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實處。

（作者為江蘇省中學數學特級教師，現任職于江蘇省無錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心）

本文是江蘇省“十二五”教育科學規(guī)劃（初中教育專項）課題“初中數學教材‘點全·線聯·面融式’課時解讀的實踐研究”的階段性研究成果之一，課題編號：E-c/2015/26，主持人：浦敘德。