體會(huì)“統(tǒng)計(jì)與概率”中的四大思路

陳廷亮

概率論是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基石，統(tǒng)計(jì)學(xué)來源于舊時(shí)的賭博.當(dāng)時(shí)的賭徒們通過歷史數(shù)據(jù)的記錄，逐漸總結(jié)出了描述性統(tǒng)計(jì).利用這些描述性統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，他們的勝率直線上升.哪個(gè)穩(wěn)賺哪個(gè)會(huì)賠，哪個(gè)波動(dòng)大沒規(guī)律，這些經(jīng)驗(yàn)逐漸成了一種智慧，體現(xiàn)在之后的各個(gè)領(lǐng)域里.

我們平時(shí)都將概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)合稱為“概率統(tǒng)計(jì)”，但顯然這兩者是有關(guān)系，卻又不是統(tǒng)一的.統(tǒng)計(jì)和概率是方法論上的區(qū)別，一個(gè)是推理，一個(gè)是歸納；一個(gè)是對(duì)原理的討論，一個(gè)是對(duì)方法的討論.

學(xué)習(xí)“統(tǒng)計(jì)與概率”要注意以下幾個(gè)要點(diǎn)：1.在學(xué)習(xí)過程中要抓住對(duì)概念的引入和背景的理解，這實(shí)際上是一個(gè)抽象過程；2.在學(xué)習(xí)過程中對(duì)于引入概念的內(nèi)涵和相互間的聯(lián)系及差異要仔細(xì)推敲；3.在解題過程中不要為解題而解題，而應(yīng)理解題目所涉及的概念及解題的目的，因此概率學(xué)習(xí)的關(guān)鍵不在于做多少習(xí)題，而在于要把精力放在理解不同題型涉及的概念及解題的思路上去.這樣往往能“事半功倍”，同時(shí)學(xué)起來就不會(huì)枯燥而且容易記憶.下面就統(tǒng)計(jì)與概率相關(guān)題型和解答技巧與同學(xué)們交流分享.

第一類：用分類討論思想解決擲骰子、摸球、轉(zhuǎn)盤類應(yīng)用問題

例1 現(xiàn)有兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，每枚骰子的六個(gè)面上都分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、 4、5、6.同時(shí)投擲這兩枚骰子，以朝上一面所標(biāo)的數(shù)字為擲得的結(jié)果，那么所得結(jié)果之和為9的概率是（ ）.

【分析】每個(gè)骰子都有6種可能，投擲這兩枚骰子，所有可能結(jié)果共有36種，其中點(diǎn)數(shù)之和為9的有（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）4種，所以，所求概率為：

【點(diǎn)評(píng)】把統(tǒng)計(jì)與概率問題與我們常規(guī)的數(shù)學(xué)思想相聯(lián)系，這樣方便歸納解題方法.

例2 一個(gè)布袋內(nèi)只裝有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，這些球除顏色外其余都相同，隨機(jī)摸出一個(gè)球后放回?cái)噭颍匐S機(jī)摸出一個(gè)球，則兩次摸出的球都是黃球的概率是_______.

【分析】用列表法將所有可能的結(jié)果列舉出來，再利用概率公式求解即可.

紅球黃球1黃球2紅球（紅球、紅球）（黃球1、紅球）（黃球2、紅球）黃球1（紅球、黃球1）（黃球1、黃球1）（黃球2、黃球1）黃球2（紅球、黃球2）（黃球1、黃球2）（黃球2、黃球2）

【點(diǎn)評(píng)】列出每種顏色球出現(xiàn)的全部可能，再計(jì)算都是黃球的概率.

例3 如圖是一個(gè)能自由轉(zhuǎn)動(dòng)的正六邊形轉(zhuǎn)盤，這個(gè)轉(zhuǎn)盤被三條分割線分成形狀相同、面積相等的三部分，且分別標(biāo)有“1”“2”“3”三個(gè)數(shù)字，指針的位置固定不動(dòng).讓轉(zhuǎn)盤自動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，則指針指向的數(shù)都是奇數(shù)的概率為.

【點(diǎn)評(píng)】把每次出現(xiàn)相同數(shù)字的情況全部列出，再計(jì)算都是奇數(shù)的概率.

例4 如圖，轉(zhuǎn)盤A的三個(gè)扇形面積相等，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，轉(zhuǎn)盤B的四個(gè)扇形面積相等，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4.轉(zhuǎn)動(dòng)A、B轉(zhuǎn)盤各一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，將指針?biāo)渖刃沃械膬蓚€(gè)數(shù)字相乘.（當(dāng)指針落在扇形的交線上時(shí)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤.）

（1）用樹狀圖或列表法列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2）求兩個(gè)數(shù)字的積為奇數(shù)的概率.

【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果；

（2）先算出兩個(gè)數(shù)字的積為奇數(shù)的情況，再利用概率公式即可求得答案.

解：（1）畫樹狀圖得：

則共有12種等可能的結(jié)果；

（2）兩個(gè)數(shù)字的積為奇數(shù)的情況有4種，則兩個(gè)數(shù)字的積為奇數(shù)的概率為：

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.

第二類：用大數(shù)規(guī)律解決硬幣拋擲類問題

例5 在課外實(shí)踐活動(dòng)中，甲、乙、丙、丁四個(gè)小組用投擲一元硬幣的方法估算正面朝上的概率，其實(shí)驗(yàn)次數(shù)分別為10次、50次、100次、200次，其中實(shí)驗(yàn)相對(duì)科學(xué)的是（ ）.

A.甲組 B.乙組 C.丙組 D.丁組

【點(diǎn)評(píng)】大量反復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，某事件發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)的附近，這個(gè)常數(shù)就叫做事件概率的估計(jì)值.本題考查了模擬實(shí)驗(yàn).選擇和拋硬幣類似的條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證拋硬幣實(shí)驗(yàn)的概率，是一種常用的模擬實(shí)驗(yàn)的方法.

第三類：用比例解決估算類問題

例6 為了估計(jì)魚塘中的魚數(shù)，養(yǎng)魚者首先從魚塘中捕獲30條魚，在每條魚身上做上記號(hào)后，把這些魚放歸魚塘，再?gòu)聂~塘中打撈200條魚，如果在這200條魚中有5條魚是有記號(hào)的，則魚塘中魚的數(shù)量估計(jì)為_________.

【點(diǎn)評(píng)】設(shè)未知數(shù)，用成比例關(guān)系進(jìn)行估算解決此類問題.

第四類：對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的處理問題

例7 下列說法正確的是（ ）.

A.了解飛行員視力的達(dá)標(biāo)率應(yīng)使用抽樣調(diào)查

B.一組數(shù)據(jù)3，6，6，7，9的中位數(shù)是6

C.從2000名學(xué)生中選200名學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，樣本容量為2000

D.一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5的方差是10

【點(diǎn)評(píng)】全面調(diào)查和抽樣調(diào)查是按調(diào)查對(duì)象范圍不同劃分的調(diào)查方式.中位數(shù)是指將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).樣本容量又稱“樣本數(shù)”，是指一個(gè)樣本的必要抽樣單位數(shù)目.方差是各個(gè)數(shù)據(jù)分別與其算術(shù)平均數(shù)之差的平方的和的平均數(shù).

例8 某中學(xué)籃球隊(duì)12名隊(duì)員的年齡如下表：

年齡：（歲）人數(shù)1 3 1 1 4 5 1 5 4 1 6 2

關(guān)于這12名隊(duì)員的年齡，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）.

A.眾數(shù)是14 B.極差是3

C.中位數(shù)是14.5 D.平均數(shù)是14.8

【點(diǎn)評(píng)】眾數(shù)、中位數(shù)、極差、平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn).找對(duì)數(shù)據(jù)就可以輕松解題.

例9 為了了解某學(xué)校學(xué)生每周平均課外閱讀時(shí)間的情況，隨機(jī)抽查了該學(xué)校m名同學(xué)，對(duì)其每周平均課外閱讀時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了如下條形統(tǒng)計(jì)圖（圖1）和扇形統(tǒng)計(jì)圖（圖2）.

條形統(tǒng)計(jì)圖

圖1

扇形統(tǒng)計(jì)圖

圖2

（1）根據(jù)以上信息回答下列問題：

①求m的值；

②求扇形統(tǒng)計(jì)圖中閱讀時(shí)間為5小時(shí)的扇形圓心角的度數(shù)；

③補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

（2）直接寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)，求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠結(jié)合兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖找到進(jìn)一步解題的有關(guān)信息，難度不大.

上面的四類方法供同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的訓(xùn)練中運(yùn)用和體會(huì)，也期待同學(xué)們有更好的方法與我們共同分享.

（作者單位：江蘇省建湖縣建陽(yáng)中學(xué)）