周家新，陳建勇，單志超，陳長康

（海軍航空工程學(xué)院a.研究生管理大隊；b.電子信息工程系，山東煙臺264001）

航空磁探中潛艇磁場建模方法分析

周家新a，陳建勇b，單志超b，陳長康a

（海軍航空工程學(xué)院a.研究生管理大隊；b.電子信息工程系，山東煙臺264001）

為提高航空磁探中潛艇磁場模型精度，分析現(xiàn)有潛艇磁場建模方法，對邊界積分法、有限元法、積分方程法、磁體模擬法等主要潛艇磁場建模方法的基本原理和推導(dǎo)過程進(jìn)行分析。通過數(shù)值分析比較各方法的建模精度，最后歸納潛艇低空磁場建模方法的基本要點。

航空磁探；潛艇磁場；邊界積分法；有限元法；積分方程法；磁體模擬法

基于磁性探潛應(yīng)用的潛艇磁場建模理論和技術(shù)研究始于一戰(zhàn)時期[1]。新倫敦海軍試驗站在1918年使用固定線圈型磁檢測器檢測磁性目標(biāo)，并對潛艇的磁性進(jìn)行研究。1944年，搭載Madcats航空磁探儀的63巡邏中隊在直布羅陀海峽準(zhǔn)確追蹤到U-761潛艇[2]。20世紀(jì)90年代國外已開始使用FLUX3D、ANSYS等有限元分析軟件對潛艇進(jìn)行磁場建模[3]，并得到高模擬精度的數(shù)學(xué)模型。

從PB報告中了解到美國早已對艦艇磁特性、艦艇低空磁場特征深入探索。日本最先采用磁偶極子近似推算潛艇的準(zhǔn)靜態(tài)磁場低空磁異常信號[4]。德、英、法、俄等國通過磁性鋼板、薄壁艦艇殼層等[5-6]磁性模型，對艦艇磁場有限元建模分析方法進(jìn)行了大量研究[7]，用于艦艇感應(yīng)磁場分析、渦流磁場分析和消磁繞組優(yōu)化設(shè)計等方面。

我國有關(guān)艦艇磁場和航空磁性探潛的研究起始于20世紀(jì)50年代末，由于多種因素，發(fā)展并不順利。但經(jīng)過多年研究，也取得了一些潛艇磁場建模的理論和技術(shù)成果[8-9]。潛艇空間磁場是航空磁探儀對潛探測和磁性武器對潛攻擊的探測源[10]，其空間分布直接影響航空磁探儀對潛艇探測寬度和作用距離以及對磁性武器的磁隱身能力[11]。潛艇磁場建?？煞譃槲锢斫：蛿?shù)學(xué)建模，與傳統(tǒng)的潛艇物理磁模型相比較，數(shù)學(xué)模型分析性價比更高，耗費更小，研制周期更短，效率更高。

數(shù)學(xué)模型仿真方法的基本思路是構(gòu)建潛艇磁場的延拓數(shù)學(xué)模型，然后根據(jù)部分測量數(shù)據(jù)作為延拓數(shù)學(xué)模型的輸入對其他空間的磁場進(jìn)行換算，主要包括磁體模擬（又稱“等效源”）法[12-13]、積分方程法[14]、有限元（素）法[7]、邊界積分法[15]。

圖1為常用的模型方法。

1 邊界積分法

邊界積分法在半空間區(qū)域基于格林函數(shù)，通過標(biāo)量磁位分布求拉普拉斯的邊值問題。根據(jù)麥克斯韋方程組可以得到潛艇靜磁場描述如下[16]：

式（1）中：H為潛艇磁場的磁場強度；δ為電流密度；B為磁感應(yīng)強度；μ0=4π×10-7H/m為真空磁導(dǎo)率。

由潛艇附近的電流密度δ=0，可得

即

式（3）中：Hx、Hy、Hz分別是磁場強度H在x、y、z軸向上的分量的幅值。

圖2為潛艇磁場場域的示意圖。場源代表磁性目標(biāo)潛艇，Γs為磁場數(shù)據(jù)觀測面，Q為觀測面以上的計算點，Ω為無源封閉區(qū)域，P為位于觀測面Γs上的流動積分點，?！逓闊o窮遠(yuǎn)邊界曲面，r為計算點Q與流動點P之間的距離。場域為有限空間，觀測面為有限平面。

在圖2所示的無源封閉區(qū)域中，代入標(biāo)量磁位u，由靜磁場的麥克斯韋方程得到

由??B=μ0??H=-μ0?2u=0，得到拉普拉斯方程

根據(jù)格林函數(shù)，解式（3）的拉普拉斯方程，則空間場點Q(x′,y′,z′)處的三分量磁場強度為：

通過觀測面Γs上的實際測量數(shù)據(jù)，再根據(jù)式（6）的潛艇磁場向上延拓公式便可得到潛艇磁場強度。

邊界積分法對求解區(qū)域邊界進(jìn)行單元化剖分，可對計算問題進(jìn)行降維，加快模型求解速度；但其所需要的實際數(shù)據(jù)量大，觀測面必須滿足大平面要求。

2 有限元法

有限元法當(dāng)前廣泛應(yīng)用在工程實踐當(dāng)中，在潛艇磁場建模中對潛艇幾何形狀進(jìn)行元素化離散剖分，得到單元區(qū)域，進(jìn)行偏微分?jǐn)?shù)值求解。將潛艇磁場建模問題轉(zhuǎn)化成的泛函變分問題，離散求解該變分問題可以得到潛艇磁場的有限元數(shù)值解。

將式（5）等效變換為潛艇高空磁場數(shù)學(xué)模型的泛函變分問題：

式（7）中：Ω1為空間場域；μ為磁導(dǎo)率，對應(yīng)不同的鐵磁性物質(zhì)以及不同區(qū)域，取值不同。

潛艇具有一定的磁矩，其磁場在無窮極限處近似衰減為零，即當(dāng)|z|→∞時，得到無窮遠(yuǎn)的邊界條件，邊界處的磁位為uB=-Hz0?z。

將半空間場域Ω1離散為N個微元，各微元的體積為Vn(n=1,2,…,N)，并形成m個節(jié)點，則磁位u可以使用單元上的節(jié)點磁位ui的三維差值函數(shù)Ni為：

對式（7）進(jìn)行離散化，并將式（8）代入，得到實際可計算的潛艇低空磁場數(shù)學(xué)模型的泛函變分為

則變分問題可以變?yōu)?/p>

當(dāng)泛函F取極小值時，可以得到

根據(jù)半空間無窮邊界面上的邊值條件，可得到各個剖分單元節(jié)點上的潛艇低空磁位ui。

將磁位u代入式（4），即可得到潛艇磁場空間分布。

反潛機(jī)一般飛行在一定高度上，場域空間極大，對場域空間剖分受到條件限制。

當(dāng)剖分的微元個數(shù)極大時，潛艇磁場模型求解必須有足夠的計算速度支持。

3 積分方程法

潛艇在空間場點Q(x′,y′,z′)處產(chǎn)生矢徑為r，磁場強度為H的磁場，且

Hs為潛艇附近的空間電流因電磁感應(yīng)在空間場點Q(x′,y′,z′)處產(chǎn)生的磁場，且

式（14）中：j是海水中的電流密度；r′是海水中的電流元 jdv于空間場點處的矢徑。

Hm是潛艇作為鐵磁物質(zhì)磁化產(chǎn)生的磁場，且

對式（13）進(jìn)行離散化，得到：

將式（16）寫成矩陣形式：

空間場點Q(x′,y′,z′)處的磁場分量為：

求解式（17）矩陣，得到磁化率χ′，聯(lián)立式（18）則可以得到潛艇磁場在空間中的分布。

積分方程法依據(jù)嚴(yán)格的理論推導(dǎo)出來，其計算精度高，但需要對艦艇進(jìn)行精確的剖分，計算量較大。

4 磁體模擬法

磁體模擬法又稱等效源法，用已知磁場分布的磁性物體來等效實際潛艇，模擬潛艇磁場。常用的磁性目標(biāo)磁場建模磁體模擬模型有：旋轉(zhuǎn)橢球體模型、磁偶極子陣列模型、旋轉(zhuǎn)橢球體與磁偶極子陣列混合模型。裝載航空磁性探潛設(shè)備的巡邏機(jī)位于潛艇的遠(yuǎn)場空間，潛艇低空磁場可使用如圖3所示的旋轉(zhuǎn)橢球體模型近似等效。圖3中，L=2a是潛艇長度，B=2b是潛艇寬度，半焦距。

基于單個旋轉(zhuǎn)橢球體模型近似的潛艇磁場空間分布擬合精度不高，通過磁偶極子陣列模型擬合潛艇磁場，得到精度較高的模型。

圖4所示為潛艇的磁偶極子陣列模型，通過一定數(shù)量的磁偶極子形成的矢量場疊加，擬合空間磁場分布。當(dāng)磁偶極子個數(shù)足夠多時，預(yù)測磁場值將趨近真實值。

針對航空磁探潛需求，為提高潛艇低空磁場擬合精度和求解速度，常使用圖5所示的旋轉(zhuǎn)橢球體與磁偶極子陣列混合模型。

潛艇在空間場點Qj(x′j,y′j,z′j)處的磁場分量為Hx′j、Hy′j、Hz′j，可以得到：

式（19）中：a、b、c根據(jù)磁體不同可查閱文獻(xiàn)[9]獲得；Mx′i、My′i、Mz′i分別為磁偶極子沿x軸、y軸、z軸方向的磁矩分量帶入觀測平面的實際測量磁場數(shù)據(jù)和坐標(biāo)信息。

當(dāng)i=0時，式（19）表示旋轉(zhuǎn)橢球體模型；當(dāng)i=1,2,…,n時，式（19）表示磁偶極子陣列模型；當(dāng)i=0,1,2,…,n時，式（19）表示旋轉(zhuǎn)橢球體與磁偶極子陣列混合模型；j=1,2,…,n，表示觀測平面上的第j個實測磁場數(shù)據(jù)。

式（19）的通用矩陣表示式為：

基于磁體模擬思想的磁場建模方法能夠在低空遠(yuǎn)場中擬合潛艇磁場，通過逐步回歸法、遺傳算法[17]、微粒群（PSO）算法[18]等方法對式（20）進(jìn)行優(yōu)化求解，得到潛艇磁源參數(shù)，再通過正演延拓便可得到低空磁場分布。磁體模擬法在計算量和實測磁場數(shù)據(jù)需求量等方面有突出優(yōu)勢。但使用這些優(yōu)化算法，通常計算時間長，可靠性也存在較大的問題。

5 數(shù)值分析

為驗證各方法建立的磁場模型精度，通過實測數(shù)據(jù)與預(yù)測值進(jìn)行比較。使用一個雙層殼體結(jié)構(gòu)的鋼管來模擬簡易的潛艇模型，進(jìn)行數(shù)值分析。內(nèi)鋼管的直徑為0.30 m，外鋼管直徑為0.46 m，長度為1 m，各層厚度均為0.002 m。模型指向磁北向，與x軸重合，其中x∈[-20 m,20 m]。以模型中心正上方50 m處為x軸的原點，在[-20 m,20 m]區(qū)間內(nèi)每2 m進(jìn)行一組測量。通過光泵測磁儀測量得到測量值與模型基數(shù)按得到的預(yù)測值進(jìn)行比較，結(jié)果如圖6所示。

定義最大相對誤差為：

可得邊界積分法、有限元法、積分方程法、磁體模擬法各模型的最大相對誤差分別為15.3%、10.4%、7.6%、22.3%，其中磁體模擬法選用單個磁偶極子模型。

6 結(jié)語

航空磁異常探潛中，由于飛機(jī)距離潛艇的距離一般大于潛艇的線度，常應(yīng)用簡單磁偶極子模型。但該模型沒有充分利用潛艇磁異常信號的全部信息，對潛艇磁場的有限擬合程度導(dǎo)致丟失部分更加精確的潛艇磁異常信號特征，誤差較大。本文通過對各種建模方法的比較發(fā)現(xiàn)，積分方程法確定的磁場模型精度較高，邊界元法和有限元法的擬合精度受限于空間場域大小，磁體模擬法受限于計算量。潛艇磁場數(shù)學(xué)模型的選擇要求在低空遠(yuǎn)場區(qū)域內(nèi)的擬合精度高、實時性好、解算所需的磁場實測數(shù)據(jù)量少，并且簡單易行，計算量小。未來研究將基于積分方程法，進(jìn)一步提高潛艇磁場模型的實時性等性能。

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Analysis of Submarine Magnetic Field Modeling Method for Aero Magnetic Detection

ZHOU Jiaxina,CHEN Jianyongb,SHAN Zhichaob,CHEN Changkanga
（Naval Aeronautical and Astronautical University a.Graduate Students’Brigade; b.Department of Electronic and Information Engineering,Yantai Shandong 264001,China）

To improve the accuracy of models of submarine magnetic fields in the aero magnetic detection,the existed mod?eling methods of submarine magnetic field was analyzed.Fundamental principles and derived process of main modeling methods of submarine magnetic field was derived,including boundary integral method,finite element method,integral equation method,magnet simulation method.Using numerical analysis,the accuracy of the existed modeling methods was calculated.Finally the basic points of modeling method of submarine magnetic field at low altitude were illustrated.

aero magnetic detection;submarine magnetic field;boundary integral method;finite element method;integral equation method;magnet simulation method

O441

：A

1673-1522（2017）01-0143-06

10.7682/j.issn.1673-1522.2017.01.008

2016-11-07；

：2017-01-02

部委預(yù)研基金資助項目（302020210）

周家新（1992-），男，碩士生。