文︳徐 堅 徐章韜

中國古代數(shù)學(xué)文化綜述

文︳徐 堅 徐章韜

1.引言

中國傳統(tǒng)文化注重經(jīng)世致用，“重實用而黜玄想”。中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展，起源于田畝丈量、稅收計算、水利興修等與民生息息相關(guān)的實用活動，經(jīng)歷實地觀察與實驗、分析與歸納、類比與計算等過程，形成數(shù)學(xué)理論體系，最終以官方文書的形式記載在案?！毒耪滤阈g(shù)》在這種獨特的文化背景下形成。書中的算法體系以問題解決為中心，強調(diào)知識的應(yīng)用價值，具有鮮明的中國傳統(tǒng)文化特征。從哲學(xué)辯證法的觀點出發(fā)，數(shù)學(xué)的發(fā)展與當(dāng)時的數(shù)學(xué)文化緊密聯(lián)系，相互制約。本文以時間為主線對中國古代數(shù)學(xué)文化進行簡單梳理，旨在突出數(shù)學(xué)文化對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響。

2.中國古代數(shù)學(xué)文化歷史梳理

2.1 先秦時期的數(shù)學(xué)文化

商代時期的經(jīng)濟和科學(xué)文化發(fā)展迅速，出現(xiàn)了甲骨文，主要用于占卜，這表明我國的文字發(fā)展到相對成熟的階段。記數(shù)方式在結(jié)繩和刻劃的基礎(chǔ)上形成了數(shù)目字。在記數(shù)法方面，有發(fā)展完備的十進制記數(shù)法，最大的數(shù)目字達到三萬。另有歷法上的天干地支記日法、記時法，用10個天干和12個地支組成甲子、乙丑等60個名稱記錄60年的日期。

戰(zhàn)國時期，百家爭鳴，尤其是對于數(shù)學(xué)的概念、定義和命題的討論，極大地促進了中國古代數(shù)學(xué)的形成。不同學(xué)派在正名和一些命題方面，觀點各不相同。名家認為，抽象的名詞概念與原先具體的事物屬于不同的范疇，在“矩不方，規(guī)不可以為圓”“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等命題中均可體現(xiàn)這一論點。墨家認為，名源于物，也可在一定程度上從不同方面反映物，如墨家給出點、直線、圓、正方形、平行等抽象概念。在墨家看來，“一尺之棰”的命題是不科學(xué)的，并提出“非半”的命題：將一線段按一半一半無限分割下去，必有一個不能再分割的“非半”出現(xiàn)，這個“非半”就是點?！胺前搿泵}是中國古代簡樸極限思想的萌芽。

2.2 秦漢時期的數(shù)學(xué)文化

秦漢處于封建社會的上升時期，經(jīng)濟、文化及各種技術(shù)迅速發(fā)展?！坝^天測象，不違農(nóng)時”。以農(nóng)業(yè)為主的古代中國必然依賴于天文觀測和計算，從而極大地促進了數(shù)學(xué)沿著實用與算法的方向發(fā)展，這時期以《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》為典型代表。

《周髀算經(jīng)》是關(guān)于天文學(xué)的著作，是從數(shù)學(xué)的角度思考“蓋天說”宇宙模型。在對數(shù)的認識上，出現(xiàn)了分數(shù)和有理數(shù)四則運算法則。在天文測量的應(yīng)用中積累了豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并以文字形式論述了勾股定理及其在測量中的應(yīng)用?！毒耪滤阈g(shù)》標志著中國古代數(shù)學(xué)體系的形成，其成就表現(xiàn)在算術(shù)、代數(shù)和幾何三個方面，以中國古代長期積累起來的數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)，從實用的角度將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)或算術(shù)問題。該書共246題，以問題集的形式分屬九章：方田（各種形狀田畝面積計算）、粟米（各種谷物間按比例交換）、衰分（比例分配計算）、少廣（由面積求邊長或由體積求徑長）、商功（各種土石工程、體積計算）、均輸（合理攤派賦稅、徭役）、盈不足（盈虧問題）、方程（線性方程求解及正負數(shù)）、勾股（勾股測量問題）?！毒耪滤阈g(shù)》集中體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)體系的特征：以算籌為基礎(chǔ)，以算法為主，寓理于算，廣泛應(yīng)用。

2.3 魏晉南北朝時期的數(shù)學(xué)文化

魏晉時期，學(xué)術(shù)界思辨之風(fēng)興起，數(shù)學(xué)也不再只注重實用算法，而是將重心轉(zhuǎn)移到對數(shù)學(xué)結(jié)論的證明上。數(shù)學(xué)在理論方面得到發(fā)展，如給《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》作注釋，開創(chuàng)性地對兩部著作中的重要結(jié)論給出較嚴格的數(shù)學(xué)證明。在《周髀算經(jīng)注》中，趙爽提出作“勾股圓方圖”，用弦圖對勾股定理及解勾股形的5個公式進行證明與推導(dǎo)。他還在“日高圖及注”中，用面積出入相補的方法證明了《周髀算經(jīng)》中的日高公式。

劉徽于公元263年撰寫了《九章算術(shù)注》。他遵循名家和墨家的數(shù)學(xué)思想，主張分析和論證數(shù)學(xué)公式、定理等知識，并對重要的數(shù)學(xué)概念給出嚴格的定義，割圓術(shù)和體積理論是他最突出的兩大數(shù)學(xué)成就。在《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”注中，劉徽提出用圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓，創(chuàng)造了割圓術(shù)，這是極限的初步思想。他在半徑為1尺的圓內(nèi)，從內(nèi)接正六邊形開始計算，一直到內(nèi)接正192邊形，首次得到圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值：π≈3.14，化成分數(shù)是這就是有名的“徽率”。劉徽還用無限分割取極限的方法證明了陽馬（直角方錐）與鱉臑（直角四面體）的體積之比恒為2∶1，并推出陽馬體積公式，解決了一般立體體積的關(guān)鍵問題。在證明方錐、圓錐、圓臺的體積時，劉徽創(chuàng)造了“牟合方蓋”，指出球體積與牟合方蓋體積之比應(yīng)該是

南北朝時期，數(shù)學(xué)成果依然層出不窮。北方數(shù)學(xué)主要是對《九章算術(shù)》的承襲和擴充，在解釋已有算法的基礎(chǔ)上，提出新的算法，如解一次同余式組、等差級數(shù)求和、解不定方程等。南方數(shù)學(xué)以祖沖之、祖暅父子的工作為代表，主要是計算圓周率和推導(dǎo)球體積公式。祖沖之關(guān)于圓周率的計算，一方面利用割圓術(shù)，計算出圓周率數(shù)值的上下限：3.1415926＜π＜3.1415927。這是當(dāng)時世界上最精確的值；另一方面用新方法，確定了圓周率的分數(shù)式：約率和密率。祖沖之父子的另一顯著成就是利用出入相補原理和祖氏原理，從計算“牟合方蓋”的體積出發(fā)，證明并推導(dǎo)了球體積公式。祖氏原理對微積分的建立有重要影響。此外，祖沖之還提出了包括負系數(shù)在內(nèi)的二次、三次方程的求解方法，如“又設(shè)開差冪、開差立，兼以正負參之。指要精密，算氏之最者也”等。

2.4 宋元時期的數(shù)學(xué)文化

中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展到宋元時代，進入鼎盛時期。這一時期，以“宋元四大家”的數(shù)學(xué)成就為代表。

秦九韶的代表作是《數(shù)書九章》，其最重要的成就有兩項：正負開方術(shù)——把以增乘開方法為主體的高次方程數(shù)值解法推廣至完備和大衍總數(shù)術(shù)——求解一次同余方程組，是對《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題算法的推廣。秦九韶關(guān)于一次同余式求解的剩余定理，在近代數(shù)學(xué)和現(xiàn)代電子計算設(shè)計中有重要作用，比歐拉和高斯的研究早了五百多年，因此常被西方人稱為“中國剩余定理”。楊輝對數(shù)學(xué)理論的保留、傳播和發(fā)展，做出了重大貢獻。比如注釋《九章算術(shù)》，并增加了“圖解”“乘除法”“纂類”三卷，將書中的方法和246個問題按其方法的性質(zhì)由易到難重新歸類。比如，依據(jù)沈括的“隙積術(shù)”，對高階等差級數(shù)求和進行研究，推出有名的“垛積術(shù)”。楊輝致力于簡化算法，首次提出素數(shù)的概念，改進算籌乘除計算技術(shù)，發(fā)展統(tǒng)一的求一算法和歸除法。關(guān)于縱橫圖（按一定規(guī)律排列的數(shù)表，即幻方）的研究，楊輝不僅給出了這些圖的編造方法，而且對一些圖的一般構(gòu)造規(guī)律有所認識，打破了幻方的神秘性，是世界上最早對幻方進行的系統(tǒng)研究。楊輝還主張數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)普及，力行循序漸進、啟發(fā)式教學(xué)、變式教學(xué)等方法原則，在培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才方面有獨到見解。宋元時期的數(shù)學(xué)已經(jīng)開始嘗試代數(shù)符號化。比如，李治在《測圓海鏡》一書中，把求解高次方程稱為“天元術(shù)”，書中的“立天元”的意思是“設(shè)x”，用“天元”代表未知量。又如，在《四元玉鑒》中，朱世杰把從列方程到解方程的方法叫“四元術(shù)”，分別用“天元”“地元”“人元”和“物元”表示四元高次方程組中的四個未知量，與現(xiàn)在用字母表示未知量無異。宋元時期推崇理性數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)的發(fā)展遠離技藝致用，多以理論研究為主。

2.5 明清時期的數(shù)學(xué)文化

珠算的產(chǎn)生和發(fā)展，是明代商業(yè)貿(mào)易的發(fā)展結(jié)果。其中，程大位的《算法統(tǒng)宗》流傳和影響最廣，全書共17卷，595個應(yīng)用題。該書是對珠算理論的應(yīng)用與總結(jié)，對珠算規(guī)則、算盤用法以及珠算口訣都有詳細論述，標志著中國由算籌到珠算的完成。

清朝初期，西方初等數(shù)學(xué)開始傳入中國。一些數(shù)學(xué)家將西方的著作引入中國，如徐光啟與意大利傳教士利瑪竇合譯了歐幾里得的名著《幾何原本》前6卷，書中演繹推理的證明方法對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化產(chǎn)生了一定影響。第一本介紹歐洲筆算的著作《同文算指》，由李之藻與利瑪竇合作編譯而成，在西算的基礎(chǔ)上補充部分中算內(nèi)容，開啟了筆算階段。還有一些數(shù)學(xué)家將中西數(shù)學(xué)、歷算融會在一起，其中最有影響力的是有“歷算第一家”之稱的梅文鼎。他不僅能對傳入的西方數(shù)學(xué)進行系統(tǒng)的整理、編排和重述，還能有所闡發(fā)和增補。康熙帝編制的《數(shù)理京蘊》匯編了西方數(shù)學(xué)知識和中算精華，還介紹了“對數(shù)造表法”和“借根方”等新內(nèi)容，是一部帶總結(jié)性的著作。清朝末期，西方高等數(shù)學(xué)陸續(xù)傳入中國。受西方公理化思想的影響，中國在微積分和組合分析等方面取得了出色的成績。如李善蘭在“垛積術(shù)”和傳統(tǒng)極限思想的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了“尖錐術(shù)”，這是一種微積分方法，并得出自然對數(shù)展開式?！抖夥e比類》是李善蘭對組合數(shù)學(xué)的研究，著名的“李善蘭恒等式”“李善蘭數(shù)”均是關(guān)于組合數(shù)的公式定理。至此，我國古代數(shù)學(xué)形式和內(nèi)容的發(fā)展接近尾聲，近代數(shù)學(xué)的序幕隨之開啟。

（作者單位：華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院）