野金花，朱煥

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院，大慶 163319）

一類具有階段結(jié)構(gòu)和HollingⅢ類功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)的一致持久性

野金花，朱煥

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院，大慶 163319）

研究了一類具有階段結(jié)構(gòu)和HollingⅢ類功能反應(yīng)函數(shù)的捕食系統(tǒng)，其中捕食者分為幼年和成年兩個(gè)階段。利用比較原理和構(gòu)造Liapunov函數(shù)分方法給出了系統(tǒng)為一致持久的充分條件。

階段結(jié)構(gòu)；功能反應(yīng)；捕食系統(tǒng)；一致持久

種群的持續(xù)生存性是種群動(dòng)力系統(tǒng)研究的一個(gè)根本的問題。面對生態(tài)學(xué)中復(fù)雜的種群關(guān)系，以及種群中往往會沒有穩(wěn)定的平衡點(diǎn)等情況，允許系統(tǒng)在一定范圍內(nèi)波動(dòng)的持續(xù)生存性質(zhì)變得越來越重要。

另一方面，階段結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)和具有及功能反應(yīng)函數(shù)的種群系統(tǒng)的一致持久性問題研究已有許多成果[1-6]。在自然界中，種群的增長常有一個(gè)生長發(fā)育的過程，在不同的成長階段都會表現(xiàn)出不同特征，如幼年種群較成年種群而言不具備生育能力、捕食能力，生存能力較弱。也就是說，種群在各個(gè)生命階段生理差別較為顯著。因此，在研究種群間相互作用時(shí)，考慮到階段結(jié)構(gòu)的影響是非常有意義的。

1模型建立

近年來，同時(shí)考慮了具有HollingⅢ類功能反應(yīng)函數(shù)和階段結(jié)構(gòu)的捕食系統(tǒng)，將捕食者分為成年和幼年兩個(gè)階段，只有成年捕食者才具備捕食食餌的能力。模型建立如下：

其中x（t），y1（t），y2（t）分別代表食餌種群、幼年捕食者、成年捕食者在t時(shí)刻的密度，所有系數(shù)均為正，r1為食餌種群的出生率，且食餌種群自身帶有密度制約；k為食餌到捕食者的轉(zhuǎn)化系數(shù)；d為幼年捕食者向成年捕食者轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化率；v1，v2分別為幼年捕食者和成年捕食者的死亡率；捕食者自身帶有密度制約。

基于種群生態(tài)意義，系統(tǒng)（1）應(yīng)在

上研究，且初值滿足條件

定義1 系統(tǒng)（1）的解稱為是最終有界的，是指存在正常數(shù)M，使得對于系統(tǒng)（1）的每一解（x（t），y1（t），y（2t）），存在T＞0使得｜x（t）｜+｜y（1t）｜+｜y（2t）｜≤M對于一切t≥t0+T成立。

定義2 系統(tǒng)（1）的解稱為是一致持久的，是指存在正常數(shù)m和M，使得對于系統(tǒng)（1）的每一解（x（t），y（1t），y（2t）），有

2主要結(jié)論

定理1 系統(tǒng)（1）滿足初始條件（2）的解是最終有界的。

沿系統(tǒng)（1）對ρ（t）求導(dǎo)，有

其中v=min{v1，v2}。

由此可得

則存在M＞M*，T1＞0，使得當(dāng)t≥T1時(shí)ρ（t）≤M，即證得系統(tǒng)（1）滿足初始條件（2）的解最終有界。

證明 設(shè)（x（t），y1（t），y2（t））為系統(tǒng)（1）滿足初始條件（2）的任意正解，由系統(tǒng)（1）第一個(gè)方程可得

由比較原理[7]可得

由系統(tǒng)（1）第三個(gè)方程可得

構(gòu)造輔助系統(tǒng)

將系統(tǒng)（4）改寫為

構(gòu)造Liapunov函數(shù)

沿系統(tǒng)（5）對t求導(dǎo)，由

可知

類似定理1可知u1（t），u2（t）有界，則可知u2′（t），u2（t）-u2*一致連續(xù)。由Barbalat[8]引理有

在［0，t］上將上式兩端積分，由

即

因此，存在T2≥T1，使得t≥T2時(shí)有

由比較原理可知

再結(jié)合（3）式及定理1，可知系統(tǒng)（1）是一致持久的，證畢。

利用微分方程定性和穩(wěn)定性理論，構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函等方法對兩類具有時(shí)滯及功能反應(yīng)函數(shù)的捕食模型進(jìn)行了分析?？紤]了具有時(shí)滯及HollingⅢ類功能反應(yīng)及階段結(jié)構(gòu)的捕食系統(tǒng)，其中捕食者分為幼年捕食者和成年捕食者，其中幼年捕食者不具備捕食食餌的能力，在自然界中，許多哺乳動(dòng)物符合此模型的描述。給出了系統(tǒng)正平衡點(diǎn)存在所需滿足的條件，進(jìn)一步利用霍爾維茲判別法和得到了系統(tǒng)正平衡點(diǎn)為局部漸近穩(wěn)定的條件。利用比較原理和構(gòu)造Liapunov函數(shù)分方法給出了系統(tǒng)為一致持久的充分條件。

［1］劉兵，馬毅.關(guān)于一類非自治階段結(jié)構(gòu)捕食系統(tǒng)的持久性與周期解［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2001（4）：416-421.

［2］Xu R，Chaplai M A J，Davidson F A.Persistence and Global Stability of a radio-dependent predator-prey model withstagestructure［J］.AppliedMathematicsand Computation，2004，158：729-744.

［3］胡殿旺.一類階段結(jié)構(gòu)捕食系統(tǒng)的持久性和全局漸近穩(wěn)定性［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2007（1）：68-70.

［4］張安梅.一類具有階段結(jié)構(gòu)的非自治捕食-食餌系統(tǒng)的持久性與周期解［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2007（24）：102-106.

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Uniform Persistence for a Prey-predator System with Stage-structure and HollingⅢ-type Functional Response

Ye Jinhua Zhu huan
（College of Sciences，Heilongjiang Bayi Agriculture University，Daqing 163319）

A prey-predator system with stage structure for predator and Holling typeⅢfunctional response was investigated. Sufficient conditions were derived for the uniform persistence of this system by using comparison principle and constructing Liapunov function.

stage structure；functional response；prey-predator system；uniform persistence

O175

A

1002-2090（2017）01-0144-03

2016-01-13

大慶市科技局項(xiàng)目（szdfy201547）。

野金花（1979-）女，講師，哈爾濱理工大學(xué)畢業(yè)，現(xiàn)主要從事泛函分析與控制理論方面的教學(xué)與研究工作。