潘海珠, 宋天舒

(1.哈爾濱工程大學(xué) 航空與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.齊齊哈爾大學(xué) 計算機與控制工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006)

熱應(yīng)力下功能梯度條共線裂紋斷裂問題分析

潘海珠1,2, 宋天舒1

(1.哈爾濱工程大學(xué) 航空與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.齊齊哈爾大學(xué) 計算機與控制工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006)

為了探討溫度變化對含裂紋的功能梯度材料(FGM)的影響，本文研究了含有兩個共線裂紋的功能梯度條的I-型熱應(yīng)力斷裂問題。對于穩(wěn)態(tài)熱應(yīng)力下的功能梯度條應(yīng)用分層方法進(jìn)行分析，使得不同函數(shù)形式表示熱機械屬性變化下的斷裂力學(xué)問題能夠得到解析解。應(yīng)用Lobatto-Chebyshev數(shù)值方法求得兩個裂紋裂尖的熱應(yīng)力強度因子(TSIF)。通過一些算例研究材料熱力屬性、功能梯度條自由表面溫度變化及裂紋幾何參數(shù)變化對TSIF的影響，特別是對兩裂紋間交互對熱應(yīng)力強度因子的影響進(jìn)行了探討。結(jié)果表明：用不同函數(shù)形式描述熱機械屬性對含有兩個裂紋的功能梯度條TSIF有顯著影響，該結(jié)果可為設(shè)計極端溫度條件下使用的FGM提供參考。

斷裂分析；功能梯度材料；熱機械屬性；共線裂紋；熱應(yīng)力強度因子

在工程實際中，復(fù)合材料的一個缺陷就是其不同組分的熱膨脹系數(shù)不同，這種不匹配所產(chǎn)生的殘余應(yīng)力會造成材料開裂[1]，使用功能梯度材料(FGM)可以降低這種不匹配。但是這種非均勻材料在溫度變化下也會產(chǎn)生巨大的熱應(yīng)力[2],因此有必要對溫度變化后的FGM裂紋問題進(jìn)行分析。該研究主要關(guān)注FGM作為耐溫材料有并含共線裂紋的熱應(yīng)力斷裂問題。

許多學(xué)者對熱應(yīng)力下的FGM斷裂問題進(jìn)行了研究。有限元方法在數(shù)值研究方面使用較多，如Henriques等[3]研究了不同溫度變化下的FGM的熱應(yīng)力問題。Moghaddam等[4]研究了穩(wěn)態(tài)溫度梯度下含有3D曲線形非平面裂紋的FGM性能。Parandvar等[5]研究了隨機壓力和熱載荷共同作用下的FGM問題，并假設(shè)材料屬性變化用冪函數(shù)來描述。Heotokoglou等[6]開發(fā)了有限元代碼分析了熱力問題。J-積分及其他數(shù)值方法也廣泛應(yīng)用于該類問題的數(shù)值分析中，如文獻(xiàn)[7-12]，其中Petrova等[10]用指數(shù)函數(shù)來描述材料屬性。在斷裂問題的理論求解方面，Guo等[13-16]提出了一個解析模型分析了跨界面裂紋問題，正交各向異性功能梯度條的I-型裂紋問題以及動態(tài)裂紋問題，Ding等[17]研究了熱力荷載下正交各向異性梯度涂層-基底熱彈性問題，在該研究中單裂紋平行于材料自由表面。Guo等[18]研究了FGM熱沖擊斷裂行為。Huang等[19]研究了材料屬性任意變化的FGM熱荷載斷裂問題。

值得注意的是，無論裂紋問題的數(shù)值求解還是理論求解，已有的研究中多假設(shè)材料屬性用某種特殊的函數(shù)來描述，如冪函數(shù)[5]、指數(shù)函數(shù)[10,13-18]或線性函數(shù)[19]。而實際上預(yù)定義材料屬性不符合實際應(yīng)用中FGM屬性隨空間位置而任意分布這一特性。在近30年中，適用于研究任意屬性的FGM斷裂問題的解析模型很少出現(xiàn)。Guo等[20,22]和Bai等[21]提出的PE模型是解決任意屬性FGM斷裂問題最具代表性的一種模型，是基于非均勻材料非均勻分層的思想，該模型還可用來解決隨機屬性[22]和混合型裂紋問題[23]。然而，基于非均勻分層思想的解析模型應(yīng)用于熱應(yīng)力下任意屬性多裂紋問題的求解還鮮有研究。

本文將基于前人工作，使用非均勻分層方法研究含有共線裂紋的任意熱機械屬性功能梯度條I-型熱應(yīng)力斷裂問題，給出材料屬性、材料自由表面溫度分布變化、裂紋幾何參數(shù)及裂紋間交互作用對裂尖熱應(yīng)力強度因子(TSIF)的影響。

1 求解裂紋問題

含有裂紋的功能梯度條平面彈性問題如圖1所示。兩個共線裂紋垂直于含有任意熱機械屬性功能梯度條的自由表面，該材料的熱機械屬性僅隨x軸變化。如圖1，功能梯度條的厚度為l，y=0為對稱面，因?qū)ΨQ性對應(yīng)的裂紋問題只需考慮y<0部分即可。

由于FGM屬性隨空間位置而變化，故此類問題很難求得解析解。而使用非均勻分層方法可以很好的處理該問題。假設(shè)功能梯度條的實際剪切模量可表示為

(1)

(2)

式中：下標(biāo)n表示第n層，ln-1和ln分別表示第n層上下表面x軸坐標(biāo)。因此第n層位于x=ln-1和x=ln之間，并且有l(wèi)0=0以及l(fā)M=l。這樣實際的材料屬性就可以由一系列的指數(shù)函數(shù)來模擬。

圖1 含有共線裂紋的任意屬性功能梯度條結(jié)構(gòu)Fig.1 The geometry of the collinear cracks embedded in the FGMs with thermomechanical properties

由于每層上下表面的屬性就是材料的實際屬性，因此有

(3)

由式(3)可解得δn和Gn0:

(4)

(5)

(6)

針對應(yīng)力分量，裂紋問題的本構(gòu)方程和平衡方程可表示為

(7)

(8)

已有的研究[1,20]表明在此類問題中，泊松比可取常數(shù)。因此，平面應(yīng)變時有κn(x)=3-4υ；平面應(yīng)力時有κn(x)=(3-υ)/(1+υ)。

該問題的邊界條件和連續(xù)性條件為

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

將式(7)帶入式(8)并應(yīng)用傅里葉變換，可得到位移分量表達(dá)式為

(16)

將方程(16)代入方程(7)可得到應(yīng)力分量：

(17)

將方程(16)和(17)分別代入方程(6)和(5)可得到總位移和總應(yīng)力表達(dá)式為

(18)

(19)

(20)

由式(11)、(17)、(18)和(20)可得

(21)

(22)

經(jīng)過繁瑣的推導(dǎo)[27-28]，最終可求得兩個裂紋的熱應(yīng)力強度因子表達(dá)式如下：

i=1,2

(23)

2 求解熱應(yīng)力

為了求解熱應(yīng)力定義如下參數(shù)：導(dǎo)熱系數(shù)、熱膨脹系數(shù)、剪切模量、楊氏模量和泊松比分別為λ(x)、α(x)、G(x)、E(x)、υ。穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程可表示為

(24)

求解溫度場：

(25)

式中：T1和T2分別表示功能梯度條上下表面的溫度，則無裂紋下的熱應(yīng)力(平面應(yīng)變條件下)求解為

(26)

式中：T0是功能梯度條的初始溫度。A和B可以由如下邊界條件求得

(27)

3 算例與結(jié)果分析

設(shè)計了一些算例，探討熱應(yīng)力下帶有任意屬性的功能梯度條的TSIF的特性。設(shè)實際材料熱機械屬性可以用任意實函數(shù)來描述，在該部分，為了考察不同材料屬性對TSIF的影響，我們分別用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和線性函數(shù)來表示材料熱機械屬性的變化。用指數(shù)函數(shù)表示熱機械屬性時，有

(28)

當(dāng)用冪函數(shù)表示材料熱機械屬性時，有

(29)

式中：p的取值為1、2、1/2。當(dāng)p值取為1時，表示材料熱機械屬性用線性函數(shù)來描述。

3.1 升溫穩(wěn)態(tài)溫度場下的熱應(yīng)力強度因子

下面考慮升溫變化穩(wěn)定后，功能梯度條的上下表面溫度一致(T1=T2)的穩(wěn)態(tài)溫度場情況，考察一個裂紋長度和相對初始溫度變化對另一個裂紋TSIF的影響。

圖2和圖3 分別以材料熱機械屬性為指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)(p=1/2)表示時，升溫達(dá)到穩(wěn)態(tài)(T=T1=T2)，裂紋2無量綱化TSIF的變化情況。圖4給出了不同材料熱機械屬性在穩(wěn)態(tài)溫度場下對裂紋TSIF影響的對比。

從圖2～4中，可以發(fā)現(xiàn)：

1)c2/l較小時，當(dāng)T/T0一定時，裂紋2的無量綱化TSIF受c1/l變化影響不大；當(dāng)c1/l一定時，T/T0越大，無量綱TSIF越大。

2)當(dāng)FGM熱機械屬性由冪函數(shù)(p= 1/2)表示時，發(fā)現(xiàn)裂紋2的無量綱TSIF為負(fù)值。這表明在該條件下，裂紋2的裂尖出現(xiàn)了閉合。值得注意的是，負(fù)的應(yīng)力強度因子是無意義的，若不考慮負(fù)號，僅就其值的變化仍然符合1)所述。

3)當(dāng)FGM熱機械屬性由線性函數(shù)表示時，在圖4所示的條件下，裂紋2的無量綱化TSIF值幾乎為0。這表明在同等條件下，和其他函數(shù)描述材料屬性相比，用線性函數(shù)表示材料熱機械屬性對升溫穩(wěn)態(tài)溫度場不敏感。

4)從圖4可以看到，在一定穩(wěn)態(tài)溫度場下，用不同的函數(shù)形式描述描述材料屬性梯度變化，c1/l一定，用不同函數(shù)表示材料熱機械屬性時，獲取的裂紋2的無量綱化TSIF值明顯不同。

圖2 熱機械屬性按指數(shù)函數(shù)變化時裂紋2的無量綱化熱應(yīng)力強度因子隨裂紋1長度及溫度比變化關(guān)系Fig.2 Normalized TSIFs of crack 2 versus normalized crack length of crack 1 under uniform temperature changes when all the thermomechanical properties are expressed by exponential functions

圖3 熱機械屬性按冪函數(shù)(g=1/2)變化時裂紋2的無量綱化應(yīng)力強度因子隨裂紋1長度及溫度比變化關(guān)系Fig.3 Normalized TSIFs of crack 2 versus normalized crack lengths of crack 1 under uniform temperature changes when all the thermomechanical properties are expressed by power-law functions (g=1/2)

圖4 升溫穩(wěn)態(tài)溫度場下材料屬性按不同函數(shù)形式變化時裂紋2無量綱化熱應(yīng)力強度因子變化情況Fig.4 TSIFs of crack 2 in a heated FGM strip with different types of distribution patterns of material properties

3.2 共線裂紋內(nèi)裂尖距變化下的熱應(yīng)力強度因子

下面考察兩個共線裂紋相對尺寸固定，沿x軸相對位置發(fā)生對稱變化時，在不同的材料熱力學(xué)屬性及溫度場下，內(nèi)裂尖相對距離變化對兩個裂紋的TSIF的影響。用r表示兩個共線裂紋內(nèi)裂尖的距離，即r=a2-b1。圖5～6給出了T1/T0=0.05和T2/T0=0.5條件下，兩個裂紋的無量綱化TSIFs在不同熱機械屬性下隨r/l的變化情況。

圖5 降溫及不同材料屬性條件下裂紋1的無量綱化TSIF隨r/l變化關(guān)系Fig.5 Normalized TSIFs of crack 1 versus r/l with different properties under nonuniform and cooling surface temperat

圖6 降溫及不同材料屬性下裂紋2的無量綱化TSIF隨r/l變化關(guān)系Fig.6 Normalized TSIFs of crack 2 versus r/l with different properties under nonuniform and cooling surface temperature

從圖5可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)熱機械屬性用指數(shù)函數(shù)表示時，隨著r/l的減小，裂紋1逐漸進(jìn)入受壓區(qū)域，此時，無量綱化TSIF為負(fù)值。當(dāng)材料的熱機械屬性用線性函數(shù)和冪函數(shù)(p= 2)表示時，無量綱化kI的曲線與指數(shù)函數(shù)表示下的曲線有近乎相同的變化趨勢，只是同等條件下的無量綱化kI數(shù)值大小不同。而當(dāng)材料屬性用冪函數(shù)(p= 1/2)表示時，無量綱化kI的曲線變化趨勢較其他明顯不同。以上現(xiàn)象表明在分析穩(wěn)態(tài)溫度場下FGM裂紋問題時，特別是分析實際工程問題時，對材料熱機械屬性的描述應(yīng)更加慎重。

從圖6可以發(fā)現(xiàn)：裂紋2的無量綱化TSIF曲線的走向與裂紋1的曲線走向類似，不同的是若不考慮TSIFs的負(fù)號，裂紋2有kI(a2)/k0>kI(b2)/k0。而且，當(dāng)r/l較小時，不同材料屬性下求得的無量綱化TSIF差別比較明顯。

4 結(jié)論

本文研究了含有共線裂紋的任意屬性功能梯度條I-型熱應(yīng)力斷裂問題。在穩(wěn)態(tài)溫度荷載下對功能梯度條進(jìn)行分層處理，研究了溫度變化、材料屬性和裂紋幾何尺寸變化對TSIF的影響。結(jié)果表明：

1)使用同一理論模型用不同函數(shù)形式(指數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)和冪函數(shù))描述FGM的熱機械屬性，求得的TSIF的值差異顯著；

2)熱機械屬性的分布形式可以用來控制裂紋的閉合狀態(tài)；

3)不同材料屬性下求得的裂紋TSIF是有差異的，分析該類問題時，如已有文獻(xiàn)將材料屬性描述成單一函數(shù)形式將不能全面反映材料的熱應(yīng)力斷裂性質(zhì)；

4)FGM不同的熱機械屬性可能對TSIF有顯著影響，因此對極端溫度條件下使用的FGM，應(yīng)對其材料屬性的設(shè)計給予更多的關(guān)注。

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Fracture analysis of interacting cracks in a functionally graded strip under thermal stress

PAN Haizhu1,2, SONG Tianshu1

(1.College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China; 2.College of Computer and Control Engineering, Qiqihar University, Qiqihar 161006, China)

To discuss the effect of temperature variation on functional graded material (FGM) with cracks, the modeI thermomechanical fracture problem in an FGM strip with two collinear cracks is studied in this paper. The hierarchical method is applied for the analysis of the FGM strip under steady state thermal loads so as to obtain the analytical solution to the problem of fracture mechanics in which different themomechanical properties are described by different functions. The thermal stress intensity factors (TSIFs) at the tips of both cracks are solved by means of the Lobatto-Chebyshev value method. Meanwhile, some examples are presented to investigate thermal property influences, the temperature distribution changes at the free surfaces of the strip and the change in geometric parameters of the cracks on the TSIF. In particular, the interaction of cracks is discussed, which may affect the TSIF. The results show that different themomechanical properties described by different functions have significant effects on the TSIFs of both cracks. The results can provide a reference for the design of FGMs used in extreme temperature conditions.

fracture analysis; functional graded material (FGM) ; thermomechanical properties; collinear cracks; thermal stress intensity factors (TSIFs)

2015-12-26.

日期：2016-11-14.

潘海珠(1976-), 女, 副教授, 博士; 宋天舒(1962-), 男, 教授, 博士生導(dǎo)師.

宋天舒, E-mail：songts@126.com.

10.11990/jheu.201512087

http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20161114.1036.016.html

O343.6

A

1006-7043(2017)02-0201-07

潘海珠, 宋天舒. 熱應(yīng)力下功能梯度條共線裂紋斷裂問題分析[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報， 2017, 38(2): 201-206. PAN Haizhu, SONG Tianshu. Fracture analysis of interacting cracks in a functionally graded strip under thermal stress[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(2): 201-206.