陸志強，趙嬋媛，崔維偉

( 1.同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804； 2.上海交通大學(xué) 工業(yè)工程與管理系，上海 200240)

串聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)預(yù)防性維護(hù)計劃建模與優(yōu)化

陸志強1，趙嬋媛1，崔維偉2

( 1.同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804； 2.上海交通大學(xué) 工業(yè)工程與管理系，上海 200240)

針對具有中間緩沖的多設(shè)備串聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)預(yù)防性維護(hù)問題，以最小化維護(hù)相關(guān)成本為目標(biāo)，建立了基于設(shè)備役齡的維護(hù)/換新計劃模型。分析設(shè)備因故障、維護(hù)或饑餓而造成的停機(jī)損失，依據(jù)蒙特卡洛仿真方法，并采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解。綜合成本隨著系統(tǒng)產(chǎn)出率要求、單位時間產(chǎn)出、小修時間的增大而增大；15臺設(shè)備系統(tǒng)中，所得綜合成本僅為傳統(tǒng)總成本的55.9%。

多設(shè)備串聯(lián)系統(tǒng)；停機(jī)損失；預(yù)防性維護(hù)；蒙特卡洛方法；遺傳算法

生產(chǎn)活動使設(shè)備可靠性下降、故障率提升，而預(yù)防性維護(hù)能改善設(shè)備狀態(tài)并降低故障率，因此合理的設(shè)備維護(hù)計劃決策對企業(yè)提高生產(chǎn)效率及降低成本具有重要意義。以往的研究主要集中在單設(shè)備預(yù)防性維護(hù)建模，并取得了豐富的成果[1-3]。通常多部件系統(tǒng)考慮的關(guān)聯(lián)性包括三種：經(jīng)濟(jì)關(guān)聯(lián)性、結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性和隨機(jī)關(guān)聯(lián)性。多設(shè)備系統(tǒng)與多部件系統(tǒng)類似，但在考慮經(jīng)濟(jì)與結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性時更多地受到生產(chǎn)活動的影響。多部件串聯(lián)系統(tǒng)通常假設(shè)一個部件停止運作會導(dǎo)致整個系統(tǒng)停機(jī)，即“一停全停”；而在多設(shè)備串聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)中往往會有在制品中間緩沖，上下游之間存在生產(chǎn)結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性，一臺設(shè)備的停機(jī)可能不會立即導(dǎo)致整個系統(tǒng)停機(jī)，即“一停不停”。

序號不對對于多部件單設(shè)備或多設(shè)備系統(tǒng)的建模和決策大致可分為維護(hù)計劃與維護(hù)策略兩種。維護(hù)計劃一般將有限計劃期分成若干時間區(qū)間，優(yōu)化決策各部件在每個時間區(qū)間的預(yù)防性維護(hù)活動。Moghaddam等[4]引入設(shè)備有效役齡作為中間變量反映部件狀態(tài)變化，以此建立了多部件系統(tǒng)決策維護(hù)/換新的兩種計劃模型。Ahmad等[5]以比例強度模型來描述系統(tǒng)狀態(tài)，建立了多部件系統(tǒng)檢查及換新計劃模型。維護(hù)策略指先決策各部件的維護(hù)方案，再考慮各部件間的關(guān)聯(lián)性，運用成組維護(hù)或機(jī)會維護(hù)策略對系統(tǒng)中各部件的預(yù)防性維護(hù)進(jìn)行調(diào)整。Horenbee等[6]以長期平均成本為最小化目標(biāo)決策各部件不完全維護(hù)時點，考慮了多部件系統(tǒng)的三種關(guān)聯(lián)性，并運用滾動周期法進(jìn)行更新。Van[7]考慮多部件的經(jīng)濟(jì)關(guān)聯(lián)性，提出了成組維護(hù)及動態(tài)更新策略。Hai[8]考慮了串聯(lián)系統(tǒng)的兩種經(jīng)濟(jì)關(guān)聯(lián)性：準(zhǔn)備成本和停機(jī)成本，且關(guān)鍵部件停機(jī)會導(dǎo)致生產(chǎn)損失而非關(guān)鍵設(shè)備不牽涉該成本。Zhou等[9]在進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)決策時考慮了車間加工作業(yè)活動的影響，以工件的完成時刻作為維護(hù)機(jī)會提出成組維護(hù)策略。Tambe等[10]建立了多部件系統(tǒng)的機(jī)會維護(hù)模型，利用部件因故障及物料配送等原因而停機(jī)產(chǎn)生的維護(hù)機(jī)會，以可用性及作業(yè)延遲因子為約束，目標(biāo)為總成本最小化。Xia等[11]以生產(chǎn)換模時間作為維護(hù)機(jī)會，對串并聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)提出機(jī)會維護(hù)策略以優(yōu)化目標(biāo)成本。

上述研究均以成本為決策目標(biāo)，且考慮“一停全停”的情況，而本文研究對象為在實際生產(chǎn)中普遍存在的具有中間在制品緩沖的多設(shè)備串聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)，其預(yù)防性維護(hù)計劃決策問題不再符合“一停全?！奔僭O(shè)。引入中間緩沖后的系統(tǒng)，其實際生產(chǎn)情形更符合“一停不?！鼻樾巍２捎妙A(yù)防性維護(hù)計劃方法來對上述系統(tǒng)的預(yù)防性計劃問題進(jìn)行建模，針對設(shè)備故障隨機(jī)性與系統(tǒng)“一停不?！睅淼膹?fù)雜結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性，提出了基于蒙特卡洛方法的遺傳算法對模型進(jìn)行優(yōu)化求解。

1 串聯(lián)系統(tǒng)維護(hù)計劃問題描述

1.1 問題假設(shè)與符號定義

以N臺設(shè)備構(gòu)成的多設(shè)備串聯(lián)系統(tǒng)為對象，在具有J個相等時間區(qū)間的計劃期T上，優(yōu)化決策每個時間區(qū)間結(jié)束時刻是否對各設(shè)備進(jìn)行維護(hù)(不完全維護(hù))、換新(完全維護(hù))，或無操作，使得在整個計劃期系統(tǒng)維護(hù)相關(guān)總成本最小化。問題假設(shè)及相關(guān)符號定義如下：

1)多設(shè)備生產(chǎn)系統(tǒng)為純串行結(jié)構(gòu)，工件依次通過各臺設(shè)備進(jìn)行加工，假設(shè)串行生產(chǎn)線完全平衡，即各設(shè)備i平均加工一個零件的時間Pi相等。

3)設(shè)備間有中間緩沖，因此當(dāng)一臺設(shè)備因故障、預(yù)防性維護(hù)或饑餓而停機(jī)時，串聯(lián)系統(tǒng)“一停不?！保磫挝粫r間系統(tǒng)生產(chǎn)損失并非定值，而是受隨機(jī)故障影響的隨機(jī)變量。記τd為系統(tǒng)在計劃期T間的生產(chǎn)停機(jī)時間，即第N臺設(shè)備無產(chǎn)出時間，cd為系統(tǒng)在計劃期T間總的生產(chǎn)停機(jī)損失成本，根據(jù)定義可得cd=V·τd，其中V為系統(tǒng)無停頓連續(xù)生產(chǎn)時的單位時間產(chǎn)出。另可推得系統(tǒng)產(chǎn)出率為1-τd/T。

如果設(shè)備i在區(qū)間j結(jié)束時進(jìn)行維護(hù)，則對設(shè)備有效役齡的影響為

(1)

如果設(shè)備i在區(qū)間j結(jié)束時進(jìn)行換新，則對設(shè)備有效役齡的影響為

(2)

相當(dāng)于設(shè)備修復(fù)如新，即為換新作業(yè)。

如果設(shè)備i在區(qū)間j結(jié)束時維持原狀，則

(3)

即設(shè)備有效役齡不發(fā)生改變。

1.2 數(shù)學(xué)模型

定義決策變量mij和rij，分別表示維護(hù)決策與換新決策，均為0/1變量，部件i在區(qū)間j結(jié)束時進(jìn)行維護(hù)則mij為1，否則為0；部件i在區(qū)間j結(jié)束時進(jìn)行換新則rij為1，否則為0。

成本最小化和產(chǎn)出率最大化通常是兩個互相矛盾的指標(biāo)，要滿足較高的設(shè)備產(chǎn)出率必須及時維修/換新部件，因而投入較高昂的成本；而一味節(jié)省維護(hù)成本也將導(dǎo)致產(chǎn)出率過低，本模型將在滿足系統(tǒng)產(chǎn)出率條件的基礎(chǔ)上使得總成本最小化。記總成本為TC，考慮設(shè)備維護(hù)成本、換新成本、故障后小修成本、系統(tǒng)生產(chǎn)停機(jī)損失成本、設(shè)備進(jìn)行維護(hù)/換新?lián)p失的剩余價值成本。

1)維護(hù)/換新成本。

2)小修成本。

(4)

3)系統(tǒng)生產(chǎn)停機(jī)損失成本。

由前述可知系統(tǒng)生產(chǎn)停機(jī)損失成本為cd=Vτd，其中隨機(jī)變量τd的具體求解過程在本文2.2節(jié)中詳述。

4)設(shè)備進(jìn)行維護(hù)/換新后剩余價值損失成本。

(5)

(6)

綜上，預(yù)防性維護(hù)計劃決策的數(shù)學(xué)模型如下：

(7)

s.t.

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：X0i表示計劃期初設(shè)備i的有效役齡，Areq為多設(shè)備串聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)的產(chǎn)出率要求。

2 基于蒙特卡洛的遺傳算法設(shè)計

由于設(shè)備發(fā)生故障的隨機(jī)性，上述數(shù)學(xué)模型中的系統(tǒng)生產(chǎn)停機(jī)時間τd難以通過確定的表達(dá)式來進(jìn)行推算，為求得有效τd以獲得系統(tǒng)產(chǎn)出率與生產(chǎn)停機(jī)損失成本，本文采用蒙特卡洛方法進(jìn)行估計。另一方面，由于模型的規(guī)模以及故障隨機(jī)性使得模型求解變得復(fù)雜，無法使用Cplex等商業(yè)軟件進(jìn)行直接求解，鑒于遺傳算法的優(yōu)化機(jī)理及求解大規(guī)模問題的優(yōu)越性，本文的算法采用自適應(yīng)遺傳算法框架。

2.1 自適應(yīng)遺傳算法框架

1)染色體編碼。

由于維護(hù)/換新決策為0/1變量，故采用二進(jìn)制編碼，如圖1所示，染色體總長度為2N·J，前N·J個基因代表維護(hù)決策，后N·J個基因代表換新決策。

圖1 染色體編碼示例Fig.1 Chromosome coding example

2)初始種群生成。

種群數(shù)量G是影響算法最優(yōu)化性能和效率的因素之一，目前常用的種群數(shù)目范圍為20～200，考慮到染色體長度與運算時間，本文取G為100。初始種群隨機(jī)生成，即每條染色體中隨機(jī)生成維護(hù)/換新概率，再根據(jù)概率隨機(jī)生成基因，需要注意的是，如果第k個基因與第N·J+k個基因都等于1，說明其在同一時刻對同一臺設(shè)備同時進(jìn)行維護(hù)及換新，違背式(11)，隨機(jī)使第k個和第N·J+k個基因之一等于0。

3)解的評價(適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計)。

采用目標(biāo)成本作為適應(yīng)度函數(shù)，記為f=TC，TC中的生產(chǎn)停機(jī)時間利用蒙特卡洛方法求得，詳見2.2節(jié)。不滿足系統(tǒng)產(chǎn)出率約束的染色體在適應(yīng)度值上加入懲罰值，即f=TC+M(M為一個很大的數(shù))，使其在競爭中淘汰。

4)選擇算子。

采用輪盤賭法進(jìn)行選擇。為了保證每一代的最優(yōu)染色體不被破壞，運用跨世代精英策略，將父代種群與通過交叉、變異產(chǎn)生的子代種群混合起來，從中選擇較優(yōu)的G個染色體直接進(jìn)入下一代。

5)交叉算子。

采用均勻交叉法，隨機(jī)選擇不定數(shù)量的交叉位置，使對應(yīng)位置基因進(jìn)行互換。交叉概率Pc通過自適應(yīng)法求得:

(15)

式中：fmax為種群中最大適應(yīng)度值，favg為種群平均適應(yīng)度值，f′為交叉的兩條染色體中較大的適應(yīng)度值，通過數(shù)值試驗調(diào)試，取Pc1=0.9，Pc2=0.6。若交叉后染色體的基因位出現(xiàn)沖突(對應(yīng)的兩個維護(hù)位置都為1)，則隨機(jī)令一個基因位為0。

6)變異算子。

采用二進(jìn)制變異法，隨機(jī)選擇變異位置，使其對應(yīng)位置基因進(jìn)行翻轉(zhuǎn)。變異概率Pm通過自適應(yīng)法求得:

(16)

通過數(shù)據(jù)調(diào)試，取Pm1=0.1，Pm2=0.001。如果變異后第k個基因與第N·J+k個基因都等于1，隨機(jī)使第k個或第N·J+k個基因等于0。交叉概率和變異概率的選取采用了自適應(yīng)遺傳算法相關(guān)技術(shù)，可根據(jù)種群的總體表現(xiàn)自動選取合適的值，Pc1、Pc2、Pm1、Pm2為基本參數(shù)。

7)終止條件。

為控制嵌套了蒙特卡洛抽樣估計過程的遺傳算法運行時間, 本文限制最大的迭代步數(shù)tmax，通過數(shù)值試驗調(diào)試，取tmax=300。

2.2 基于蒙特卡洛方法的系統(tǒng)產(chǎn)出損失估計

蒙特卡洛方法是通過某種“試驗”進(jìn)行抽樣以求得隨機(jī)變量的期望值的方法，本文設(shè)計的“試驗”過程如圖2所示。

圖2 蒙特卡洛方法示意圖Fig.2 Diagram of Monte Carlo method

以遺傳算法迭始代中的可行維護(hù)計劃、初始時刻、初始中間緩沖以及設(shè)備有效役齡作為輸入；以各臺設(shè)備加工各工件的開始與結(jié)束時間，以及設(shè)備前庫存最早可用時間作為中間變量模擬工件的加工；以設(shè)備故障概率分布模擬隨機(jī)故障的發(fā)生；根據(jù)可行維護(hù)計劃進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)；以此得到生產(chǎn)停機(jī)時間的期望值，從而推導(dǎo)獲得系統(tǒng)生產(chǎn)損失。隨機(jī)故障的模擬通過隨機(jī)生成故障間隔時間得到，記設(shè)備i在有效役齡為t′時發(fā)生故障后距下一次故障的間隔時間為tbfi，根據(jù)可靠性與維修性相關(guān)理論[12]:

(17)

具體步驟及說明如下：記計劃期初時刻為tcur，假設(shè)設(shè)備間庫存容量無限制，各設(shè)備前實時庫存為WIPi，系統(tǒng)原材料充足，第一臺設(shè)備從不因缺貨停機(jī)，即WIP1=，記各設(shè)備初始有效役齡為xi。給定抽樣總次數(shù)samp。

2)判斷仿真是否結(jié)束，若滿足?eti≤tcur+T,i=1,2,…,N，則i=1，轉(zhuǎn)到3)；否則轉(zhuǎn)到10)。

3)判斷eti≤tcur+T是否成立，成立則轉(zhuǎn)到4)；否則轉(zhuǎn)到9)。

9)i=i+1。i≤N則轉(zhuǎn)到3)，否則轉(zhuǎn)到2)。

11)τd=τd/samp，根據(jù)cd=Vτd求得cd。

“試驗”的重復(fù)抽樣次數(shù)samp關(guān)系到解的解的精度，抽樣次數(shù)太少則統(tǒng)計值不能代表期望值，而太多則會使計算時間過長，本文采用置信區(qū)間法求解抽樣次數(shù)，取顯著水平5%，得samp約為30。

3 數(shù)據(jù)實驗與對比分析

運用VSC#編程進(jìn)行數(shù)據(jù)實驗，以5臺設(shè)備的實際串聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)為例，各設(shè)備參數(shù)如表1所示，計劃期為12周，以周為長度將計劃期分成等間隔時間區(qū)間，決策每個區(qū)間結(jié)束時的預(yù)防性維護(hù)計劃，系統(tǒng)每天生產(chǎn)8h，要求系統(tǒng)產(chǎn)出率Areq不小于0.85，計劃期初系統(tǒng)無中間緩沖，系統(tǒng)無停頓連續(xù)生產(chǎn)時單位時間產(chǎn)出V為8千元/h。

3.1 本文模型與傳統(tǒng)方法的比較

(18)

(19)

表1 設(shè)備參數(shù)

圖3 不同算例下蒙特卡洛方法與傳統(tǒng)方法求得的系統(tǒng)生產(chǎn)停機(jī)時間比較Fig.3 Comparison between Monte Carlo method and traditional ones under different examples

不同數(shù)據(jù)規(guī)模下本文模型(記為PRO)與tra1及tra2運用2.1算法所求得解的成本如表2所示，從中可以看出本文模型由于綜合考慮了生產(chǎn)停機(jī)損失成本與預(yù)防性維護(hù)成本，能獲得更低的總成本。tra1未考慮隨機(jī)故障對系統(tǒng)停機(jī)的影響，所得解的實際停機(jī)損失cd較大，雖然節(jié)省了預(yù)防性維護(hù)以及相對應(yīng)的剩余價值損失成本，但依然抬高了總成本；TRA2假設(shè)一臺設(shè)備故障即導(dǎo)致整個系統(tǒng)停機(jī)，其得到的解雖然有較低的cd，但因過高估計了隨機(jī)故障的影響，預(yù)防性維護(hù)成本大大增加，使總成本增加。綜上，本文模型考慮系統(tǒng)產(chǎn)出率及停機(jī)生產(chǎn)損失更貼近實際，且比傳統(tǒng)模型解的總成本更低。

3.2 參數(shù)敏感性分析

從圖4(a)中可以看出當(dāng)Areq不大于0.92時，Areq對總成本幾乎沒有影響，這是因為在目標(biāo)函數(shù)中考慮了生產(chǎn)停機(jī)損失成本，系統(tǒng)產(chǎn)出率過低則生產(chǎn)停機(jī)損失成本也會上升，因此優(yōu)化解需滿足一定系統(tǒng)產(chǎn)出率；而當(dāng)要求的系統(tǒng)產(chǎn)出率從0.92上升到0.94時，對設(shè)備的可靠性要求更為嚴(yán)格，預(yù)防性維護(hù)成本增加，預(yù)防性維護(hù)后壽命損失成本也隨之增加，雖小修成本及生產(chǎn)停機(jī)損失成本略有下降，但總成本仍顯著上升；由于存在設(shè)備故障與維護(hù)，系統(tǒng)產(chǎn)出率幾乎不可能達(dá)到100%，當(dāng)需求產(chǎn)出率大于0.94時，未搜索到可行解。

圖4(b)反映了在其余參數(shù)均不變的情況下，生產(chǎn)停機(jī)損失成本及總成本隨單位時間產(chǎn)出V的增加呈遞增趨勢，預(yù)防性維護(hù)成本在V為1～3千元時隨V緩慢上升，隨后趨于平緩，對應(yīng)小修成本先略有下降后趨于平緩，說明在V較小時，預(yù)防性維護(hù)隨著V的增加而略有增多，而當(dāng)V增大到一定數(shù)值時將不再影響預(yù)防性維護(hù)決策。圖4(c)與圖4(b)類似，生產(chǎn)停機(jī)損失成本及總成本隨設(shè)備小修時間的增加而增加，當(dāng)小修時間增大到一定程度時，將不再影響預(yù)防性維護(hù)決策。

表2 不同數(shù)據(jù)規(guī)模下本文算法與傳統(tǒng)算法的成本比較

圖4 不同參數(shù)與總成本的關(guān)系圖Fig.4 Diagram of different parameters and total cost

4 結(jié)論

本文研究了多設(shè)備串聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)預(yù)防性維護(hù)計劃優(yōu)化問題。

1)考慮串聯(lián)系統(tǒng)的“一停不?！币蛩?，綜合分析各種成本構(gòu)成，可使得企業(yè)總成本更低；

2)在與傳統(tǒng)模型相比較的算例以及敏感性分析的算例中，未發(fā)現(xiàn)異常值，驗證了模型與算法的有效性；

3)模型不僅考慮維護(hù)/換新成本、故障小修成本，還引入了維護(hù)/換新造成的設(shè)備剩余價值損失成本以及實際生產(chǎn)停機(jī)損失成本；

4)考慮“一停不?！钡募僭O(shè)與系統(tǒng)產(chǎn)出率約束，更加符合車間實際，同時也使得數(shù)學(xué)模型在理論上更加復(fù)雜，因此設(shè)計了基于蒙特卡洛抽樣的遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解；

5)未來研究可以從實時反應(yīng)策略著手，以機(jī)器故障所產(chǎn)生的生產(chǎn)停機(jī)時間作為可能的維護(hù)機(jī)會對設(shè)備進(jìn)行更加科學(xué)合理的預(yù)防性維護(hù)安排。

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Modeling and optimization of preventive maintenance scheduling for series production systems

LU Zhiqiang1, ZHAO Chanyuan1, CUI Weiwei2

(1. College of Mechanical and Energy Engineering, Tongji University, Shanghai 201804, China; 2. Department of Industrial Engineering and Logistics Management, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

A maintenance replacement scheduling model was proposed on the basis of equipment service age with the aim of minimizing the total maintenance-related cost for a multi-unit series production system with immediate buffers. Shutdown loss caused by breakdown, maintenance, or machine starvation was analyzed. Based on the Monte-Carlo simulation method, the genetic algorithm was applied for optimization of the solution. The comprehensive cost increases with increase in productivity demand, output per unit time, and minor repair time. For a system with 15 machines, the comprehensive cost is 55.9% of the traditional total cost.

multi-unit series system; shutdown loss; preventive maintenance; Monte-Carlo method; genetic algorithm

2015-11-17.

日期：2016-11-14.

國家自然科學(xué)基金項目(61473211,71171130).

陸志強(1968-)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

陸志強，E-mail: zhiqianglu@#edu.cn.

10.11990/jheu.201511036

http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20161114.1036.014.html

TH17

A

1006-7043(2017)02-0269-07

陸志強，趙嬋媛，崔維偉，等. 串聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)預(yù)防性維護(hù)計劃建模與優(yōu)化[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報， 2017, 38(2): 269-275. LU Zhiqiang, ZHAO Chanyuan, CUI Weiwei， et al. Modeling and optimization of preventive maintenance scheduling for series production systems[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(2): 269-275.