李金權(quán)+劉勐

【摘要】隨著教育技術(shù)及互聯(lián)網(wǎng)的迅猛發(fā)展，微課、幕課、翻轉(zhuǎn)課堂等教學(xué)模式越來越受到學(xué)生和老師的歡迎，這些新興的教學(xué)手段都充分利用了視頻教學(xué)資源，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中如何利用好視頻教學(xué)資料來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，達(dá)到更好的教學(xué)效果就是一個(gè)值得研究的問題.本文以高等數(shù)學(xué)中的“牛頓-萊布尼茨公式及其證明”這一節(jié)來展示利用微視頻資料進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，從而更好地把抽象的證明通過圖形的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化體現(xiàn)出來，讓同學(xué)們更深入地理解高等數(shù)學(xué)的知識(shí)及背后的數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)習(xí)效率.

【關(guān)鍵詞】教學(xué)設(shè)計(jì)；微視頻；高等數(shù)學(xué)

一、緒 論

互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展特別是移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展無時(shí)無刻不影響我們的生活方式、生活習(xí)慣、思維方式等方方面面.在教育方面，對(duì)教育理念、教學(xué)方法、教學(xué)模式等的影響巨大，由教育部教育管理信息中心、百度文庫和北京師范大學(xué)聯(lián)合發(fā)布的《2015中國互聯(lián)網(wǎng)學(xué)習(xí)白皮書》的結(jié)果顯示，互聯(lián)網(wǎng)教育產(chǎn)品用戶主要集中在19至24歲、25至34歲兩個(gè)年齡段.19至24歲階段多是大學(xué)生，從中可以看出我們的高等教育必須適應(yīng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展和學(xué)生的行為習(xí)慣，利用互聯(lián)網(wǎng)和科技帶來的效率優(yōu)勢(shì)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率[1].

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)教育中的一門基礎(chǔ)學(xué)科，是絕大多數(shù)大學(xué)生必須掌握的一門基礎(chǔ)課，是學(xué)生綜合素質(zhì)的重要組成部分.高等數(shù)學(xué)有其固有的特點(diǎn)：高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性.抽象性和計(jì)算性是數(shù)學(xué)最基本、最顯著的特點(diǎn)，有了高度抽象和統(tǒng)一，我們才能深入地揭示其本質(zhì)規(guī)律，才能使之得到更廣泛的應(yīng)用.嚴(yán)密的邏輯性是指在數(shù)學(xué)理論的歸納和整理中，無論是概念的表述，還是判斷和推理，都要運(yùn)用邏輯的規(guī)則，遵循思維的規(guī)律.所以說，數(shù)學(xué)也是一種思想方法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是思維訓(xùn)練的過程[2].因此，在教學(xué)中，如何讓學(xué)生在掌握知識(shí)和計(jì)算的過程中，更好地體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，從而提高他們的綜合能力，對(duì)于高等數(shù)學(xué)的教育是一個(gè)很值得思考的問題，這需要我們?cè)诮虒W(xué)設(shè)計(jì)上下功夫，利用科技，特別是信息技術(shù)，把高度抽象的數(shù)學(xué)理論以比較“形象化”的技術(shù)手段進(jìn)行展示，在此過程中把數(shù)學(xué)思想和方法展示給學(xué)生.同時(shí)，注意到當(dāng)代大學(xué)生的學(xué)情特點(diǎn)，他們思維活躍，但是有時(shí)思維方式比較形象化，對(duì)抽象的事物掌握規(guī)律比較困難；特別喜歡移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)，甚至一天不用手機(jī)，他們已經(jīng)不能忍受；他們對(duì)新鮮的事物抱有足夠的好奇.

綜合學(xué)情和已有的技術(shù)儲(chǔ)備，利用微課和翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)理念和模式，我們可以在某種程度上利用信息技術(shù)合理設(shè)計(jì)教學(xué)視頻，把高等數(shù)學(xué)教學(xué)中抽象概念包含的數(shù)序思想更好地展示出來，從而提高學(xué)生們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的動(dòng)力.

我們以高等數(shù)學(xué)中“牛頓-萊布尼茨公式及其證明”這一小節(jié)以微視頻來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生體會(huì)動(dòng)態(tài)的微積分的定義、變上限積分的定義、牛頓-萊布尼茨公式的證明.從中體會(huì)“以直代曲”的線性化方法、數(shù)形結(jié)合方法.進(jìn)而更好地理解不定積分和定積分之間的聯(lián)系.

二、基于微視頻的教學(xué)設(shè)計(jì)

微視頻通常值指的是時(shí)長不超過20分鐘的視頻短片，特別適合在移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)上播放和傳播.本小節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)要利用MATLAB計(jì)算軟件、幾何畫板軟件來制作微視頻.具體教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

牛頓-萊布尼茨公式及其證明教學(xué)設(shè)計(jì)方案

使用的教材為同濟(jì)的《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)，第六版.

一、教材的地位與作用

牛頓-萊布尼茨公式不僅為定積分計(jì)算提供一個(gè)有效地方法，而且在理論上把定積分與不定積分聯(lián)系起來，是微積分學(xué)中最重要的公式.

二、學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)分析

在牛頓-萊布尼茨公式學(xué)習(xí)以前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)、微分、原函數(shù)、不定積分、定積分的概念和性質(zhì)的相關(guān)知識(shí).

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：熟練掌握牛頓-萊布尼茨公式，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的能力，體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系.

2.過程與方法：根據(jù)大學(xué)生的心理素質(zhì)，利用啟發(fā)式教學(xué)，始終從問題出發(fā)，層層設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生在不斷思考中獲取知識(shí).

3.情感與態(tài)度：提高觀察、分析、抽象、概括的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)解決問題的方法和過程，進(jìn)一步滲透類比、轉(zhuǎn)化的思維方法，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

三、教學(xué)重點(diǎn)

掌握牛頓-萊布尼茨公式.

四、教學(xué)難點(diǎn)

理解牛頓-萊布尼茨公式的證明過程，體會(huì)其背后的數(shù)學(xué)思想和方法.

五、教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)舊知識(shí)，以微積分的定義的動(dòng)態(tài)視頻展示引入課題——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境.

首先，利用Matlab軟件設(shè)計(jì)一個(gè)程序完成對(duì)定積分定義的動(dòng)態(tài)展示，即定積分中的分割-近似求和-取極限的過程動(dòng)態(tài)地展示出來.以在區(qū)間[0，1]上的定積分為例，把每一次分割所對(duì)應(yīng)的所有的小矩形的圖形通過Matlab畫出來，然后拼接成動(dòng)畫，做成視頻[3].實(shí)現(xiàn)上述過程，中間過程的一個(gè)靜態(tài)展示如下：

隨著分割的加細(xì)，所有小矩形的圖形逐漸穩(wěn)定，即它們的面積和趨向穩(wěn)定，這個(gè)極限值就是在區(qū)間[0，1]上的定積分.

定積分定義的動(dòng)態(tài)視頻展示，可以讓學(xué)生更好地理解定積分的思想.同時(shí)，體會(huì)到按照定義來求解定積分是不容易的，即使是非常簡單的函數(shù).從而引出牛頓-來不尼茨公式——高效的計(jì)算定積分的方法，且使得定積分成為一種科學(xué)的方法.

2.得到猜想——驗(yàn)證猜想

我們要利用數(shù)學(xué)常用的解決問題的方法：猜測(cè)結(jié)論——驗(yàn)證結(jié)論，得到一般的規(guī)律[4].利用這種方式給出牛頓萊布尼茨公式.

通過上述視頻的動(dòng)態(tài)演示，當(dāng)把[0，1]區(qū)間分割成500份，最終的圖形如下：

如何證明該猜想是一個(gè)難點(diǎn)，我們采用數(shù)形結(jié)合，并利用幾何畫板把它用微視頻的方式展示出來，同時(shí)也把變上限積分的幾何意義展示出來.具體做法如下：

初始畫面如下，揭示定積分的幾何意義為曲邊梯形的面積.從而只需證明陰影部分的面積和紅色線段長度相等.

這需要一個(gè)橋梁和工具：變上限積分.因此要讓陰影部分動(dòng)起來.視頻的中間一個(gè)過程如下圖.

隨著點(diǎn)向左端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)陰影部分的面積不斷變小，通過該過程讓學(xué)生體會(huì)變上限積分函數(shù)的特點(diǎn).接著要把變上限積分函數(shù)的圖像在坐標(biāo)系中畫出來，且曲線的出現(xiàn)的過程與陰影部分的面積的變化過程同步.視頻的一個(gè)中間的靜態(tài)展示如下圖.

從而使得定積分的值——曲邊梯形的面積轉(zhuǎn)化為變上限積分函數(shù)在區(qū)間上的增量.再通過比較圖像的位置關(guān)系，我們可以得到陰影部分的面積在區(qū)間上的增量等于線段長度在區(qū)間上的增量.通過移動(dòng)曲線即可得到，移動(dòng)的過程的一個(gè)靜態(tài)展示如下圖.

3.得到定理——總結(jié)反思，提煉精華

完成定理證明后，加以練習(xí)，并對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行總結(jié)，讓同學(xué)們體會(huì)：

（1）定積分的定義

分割-近似求和-取極限的思想，以及以直代曲思想.

（2）數(shù)學(xué)解決問題的一般途徑

合理的猜測(cè)后進(jìn)行嚴(yán)格的論證從而得到一般的規(guī)律是數(shù)學(xué)解決問題的常用方法.清晰的直覺和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐瑯又匾?

（3）數(shù)形結(jié)合的思想

定積分的幾何意義和變上限積分函數(shù)的圖形展示.

（4）不定積分和定積分之間的關(guān)系：牛頓-萊布尼茨公式給出了求函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)原函數(shù)的問題，這就使得作為積分和數(shù)列的極限的定積分與作為微分逆運(yùn)算的不定積分緊密地聯(lián)系在一起，正是這樣的聯(lián)系才使得微積分有非常廣泛的理論和應(yīng)用價(jià)值[4].

六、教學(xué)方式

采用學(xué)生事先預(yù)習(xí)，課堂上與學(xué)生共同討論的方式來進(jìn)行教學(xué)，多媒體、板書等相結(jié)合.

三、總 結(jié)

隨著互聯(lián)網(wǎng)開放教育的深入發(fā)展，年青一代學(xué)生對(duì)互聯(lián)網(wǎng)的依賴及他們的行為方式的改變，我們需要利用各種信息技術(shù)把數(shù)學(xué)中的概念形象地展示出來.專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件和課件制作軟件是我們必須靈活利用的，如Matlab、幾何畫板等.并制作成視頻，放在網(wǎng)上或者發(fā)給學(xué)生，充分利用微視頻的優(yōu)點(diǎn)和學(xué)生的行為習(xí)慣，幫助學(xué)生自學(xué)、預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)，提高他們的學(xué)習(xí)效率，讓他們感覺到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是輕松的，且有成就感.從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力.

我們以“牛頓-萊布尼茨公式及其證明”這一教學(xué)內(nèi)容為例，把通過Matlab和幾何畫板軟件設(shè)計(jì)的動(dòng)畫視頻作為教學(xué)設(shè)計(jì)的中間環(huán)節(jié).通過這樣的設(shè)計(jì)把比較抽象的概念，通過數(shù)形結(jié)合動(dòng)態(tài)地展示出來.有助于學(xué)生理解公式背后的數(shù)學(xué)思想和方法，有助于培養(yǎng)學(xué)生綜合數(shù)學(xué)修養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

[1]楊經(jīng)曉，互聯(lián)網(wǎng)數(shù)學(xué)開放教育發(fā)展近況[J].數(shù)學(xué)文化，2013，4（1）：61-68.

[2]http：//baike.baidu.com/linkurl=8X4aDMNjbXID3rZTQau2RhpS9U3cp2UN_wI8dquy4yuhKVa1Sa8zUm_c7baoyo2aKoIJcnCJ_u2yDFF7fqrZV0Oa4CrTrh0qhLbbdXpneta.

[3]王正林，龔純，何倩.精通MATLAB科學(xué)計(jì)算[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007.

[4]孫炯.《數(shù)學(xué)分析選講》公開課.http：//www.icourses.cn/viewVCourse.action？courseCode=10126V001.