鄭楠炯，周買春，劉 遠

(華南農(nóng)業(yè)大學 水利與土木工程學院，廣州 510642)

B. B. Mandelbrot提出分形學以來[1, 2]，分形學在多個學科得到廣泛運用。分形是指沒有特征長度但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)[3]，水系是一種分形對象。R.E. Horton(1945)和A.N. Strahler(1952)研究河網(wǎng)結(jié)構(gòu)時總結(jié)出Horton定律，在一個流域內(nèi)，采用Strahler水系分級，河道的數(shù)目、長度、流域面積等隨河道的級數(shù)呈幾何級數(shù)變化[4, 5]，研究表明，天然河網(wǎng)Horton比一般變化范圍是：分枝比為3～5，長度比為1.5～3.0[5, 6]。P. LaBarbera和R. Rosso(1987)研究河道分支結(jié)構(gòu)與分形的聯(lián)系，提出了基于Horton定律的水系分維值計算方法[7]。

水系的分維反映了水系的發(fā)育程度。水系分維值越大，支流數(shù)目越多，分枝比越大，河網(wǎng)密度越大，河道越彎曲，發(fā)育程度越好[8-10]。目前運用較廣的估算水系分維的方法主要有兩種[11]：一種是基于分形的定義，即盒維數(shù)法；另一種是基于Horton定律。基于Horton定律的分維值大于基于分形定義的盒維數(shù)值[12, 13]。

Horton定律是水流在重力作用下隨機發(fā)育的必然結(jié)果，比較準確地反映河網(wǎng)水系結(jié)構(gòu)特征[14]。王大鵬等(2006年)研究表明太湖流域水系具有河長分維值北小南大、河網(wǎng)分維值西小東大的特點[15]；凌紅波等(2010年)研究表明1958-2006年瑪納斯河流域水系變化滿足Horton定律[16]；劉凱等(2010年)計算不同時期新豐江流域水系分維值，分析其水網(wǎng)結(jié)構(gòu)的演變過程，發(fā)現(xiàn)水網(wǎng)結(jié)構(gòu)呈簡單化及主干化發(fā)展[17]；王小軍等(2014年)利用Horton定律計算灌區(qū)渠系分維值，研究分維結(jié)構(gòu)與渠系用水效率的關(guān)系，灌區(qū)渠系分維值過大或過小都不利于用水效率的提高[18]。

利用Arcgis平臺基于DEM計算水系分維值已普遍運用，不同于多匯流閾值下盒維數(shù)法的研究[19, 20]，變化匯流閾值下的Horton定律的水系分維值卻鮮有研究。基于此，本文選取華南地區(qū)的韓江流域為研究區(qū)域，基于DEM提取數(shù)字河網(wǎng)，采用合適的算法準確便捷地統(tǒng)計數(shù)字河網(wǎng)信息，計算系列閾值下的韓江流域分維值及其9個子流域的分維值，并提出河網(wǎng)分形特征不明顯時不統(tǒng)計最高級河道信息的分維值計算方法，為Horton定律計算分維值研究提供方法參考。

1 研究區(qū)域

韓江流域覆蓋廣東東部、福建西南部、江西東南部，包含汀江、梅江、韓江等，東經(jīng)115°13′～117°09′、北緯23°17′～26°05′。流域集水面積30 112 km2，干流總長度428 km，河床平均比降0.39‰，屬亞熱帶季風氣候，多年平均降雨量1 407～2 143 mm，多年平均蒸發(fā)量996～1 406 mm。地勢自西北和東北向東南傾斜，丘陵與谷地相間，山地占總流域面積的70%。山地丘陵的植被是以馬尾松為主的次生林地，臺地、盆地和平原多為農(nóng)作物。以流域內(nèi)9個水文站點將韓江流域劃分成9個獨立的子流域，研究區(qū)域不考慮包含潮安水文站以下的沿海三角洲河網(wǎng)(集水面積1 035 km2)，研究區(qū)域見圖1。

圖1 韓江流域地理位置及子流域劃分Fig.1 Geographical location and the sub basins of Hanjiang River basin

2 研究方法

2.1 數(shù)據(jù)來源

數(shù)據(jù)源的精度會對Horton定律計算產(chǎn)生相當大的影響，主要來源于可辨識的一級支流的不同[6]，劉遠等(2012年)對比分析HYDRO1K、SRTM、ASTER GDEM三種DEM提取韓江流域的河網(wǎng)，發(fā)現(xiàn)基于SRTM的河網(wǎng)精度最好[21]，本文采用中國科學院計算機網(wǎng)絡(luò)信息中心的地理空間數(shù)據(jù)云(http:∥www.gscloud.cn)90 m分辨率的SRTM DEM數(shù)據(jù)。

2.2 Horton定律與分形

Horton定律反映水系結(jié)構(gòu)特征，采用Strahler河網(wǎng)分級法(直接發(fā)源于河源的河道為一級水系，兩條同級別的水系構(gòu)成更高一級，兩條不同級別的水系匯合級別取較高者)，Horton定律中河數(shù)定律、長度定律表達式如下[4, 5]：

Nu=R(s-u)

(2)

RB=Nu/Nu+1

(3)

RL=Lu+1/Lu

(4)

式中：Nu、Lu分別為級別u的河道數(shù)目、平均長度，以此類推。

低級河道并不完全匯入高一級河道，而是有部分直接匯入到更高幾級的河道，對于多級河道的分枝比和長度比，采用統(tǒng)計意義上的平均法計算整個水系的平均分枝比和平均長度比[22, 23]：

(6)

式中：RB(u,u+1)、RL(u,u+1)分別為相鄰u、u+1兩級河道分枝比、長度比；Nu,u+1、Lu,u+1分別為相鄰u、u+1兩級河道的數(shù)目和、平均長度和。

由河道分支結(jié)構(gòu)與分形的聯(lián)系計算水系分維值D[7]：

(7)

2.3 基于DEM的數(shù)字河網(wǎng)的生成及河道特征統(tǒng)計

基于Arcgis平臺的水文分析模塊，將原始DEM填洼、確定水流方向、設(shè)置匯流閾值、河道分級，提取不同集水閾值下的河網(wǎng)[24]，本文設(shè)置系列匯流柵格數(shù)閾值為1，10，20，…，300，400，500，600(單位：個)。將數(shù)字河網(wǎng)特征信息導出為Excel表，統(tǒng)計系列閾值下河道的各級數(shù)量和長度。

統(tǒng)計各級河道的數(shù)目時，Arcgis的河道分級算法使當級連續(xù)的河道被上一級河道分割成多段，如圖2所示，最上方的一條2級河道被多條1級河道分割成3段，3級河道(干流)被低級河道分割成4段，實際上3級河道數(shù)目是1，因此直接查詢河網(wǎng)屬性表的河道數(shù)目則不準確?？紤]到源頭河道不再分支，且不會被分割，其數(shù)目的統(tǒng)計是準確的，因此統(tǒng)計完第一級河道信息后，利用Arcgis的重分類(Reclassify)功能，賦值第一級河道為空值(nodata)，移除第一級河道，使第二級河道在沒有低級河道時成為“源頭”河道，再統(tǒng)計其數(shù)目和長度，既簡便又準確，接著移除該級河道，再統(tǒng)計下一級河道信息，按此方法從低級到高級逐次移除低級河道并統(tǒng)計河道信息。河網(wǎng)提取、河道逐級移除、河道特征信息導出Excel過程在Arcgis的模型構(gòu)建器(Model Bulider)實現(xiàn)批量、循環(huán)、自動化處理，技術(shù)路線見圖3。

圖2 河網(wǎng)分級及河道分段示意圖Fig.2 Diagrammatic sketch of stream orders and segmentation

圖3 河網(wǎng)提取及統(tǒng)計分析技術(shù)路線圖Fig.3 Technology roadmap of drainage networks extracting and statistical analysis

3 結(jié)果與分析

3.1 韓江流域的分維值

計算的系列閾值下的河網(wǎng)分枝比、長度比和分維值描繪于圖4。

根據(jù)Horton定律，不同級別的河道數(shù)目之比、河道長度之比為常數(shù)，韓江流域河網(wǎng)在不同匯流閾值下的分枝比接近固定值4.51，但長度比隨閾值變化在數(shù)值2.0上下波動，均值1.98，水系分維值最小值1.766，最大值3.661，隨閾值變化幅度大，且大都接近或大于2，由系列閾值的分枝比的均值、長度比的均值根據(jù)式(7)，計算韓江流域水系平均分維值為2.21。

大多數(shù)天然河網(wǎng)符合Horton定律的線性規(guī)律，但由于DEM水平和垂直分辨率、不合理的洼地地形及河網(wǎng)提取算法等問題，基于DEM提取的河網(wǎng)會存在錯誤的河道，如匯流閾值較小時的河網(wǎng)有著密集的低級河道、平行河道及衍生的虛假河道等，以觀音橋子流域為例，閾值為0.081 km2(10個匯流柵格×單元格面積0.092km2)的河網(wǎng)及部分錯誤河道如圖5所示，低級河道特征偏離自然實際狀態(tài)，統(tǒng)計時存在誤差。

韓江流域閾值變化時，在一定的有限閾值范圍內(nèi)，隨著閾值的增大，分維值也逐漸增大，見圖4(b)。閾值的增大造成對細小河道進行舍棄，河網(wǎng)趨于簡單化，河網(wǎng)的分級在閾值增大到一定的臨界值時會產(chǎn)生河道級數(shù)的變化(減小)，此時河道分枝比、長度比相應(yīng)地發(fā)生較大的改變，從而分維值驟減，然后又逐漸增大。以韓江流域匯流柵格數(shù)閾值110個(匯流面積閾值0.891 km2)和120個(匯流面積閾值0.972 km2)的河網(wǎng)為例，河網(wǎng)的信息列于表1。

圖4 韓江流域系列閾值下的河網(wǎng)分枝比、長度比及分維值Fig.4 The branching ratios, length ratios and fractal dimension in series conflux thresholds of Hanjiang River basin

圖5 觀音橋子流域河網(wǎng)及一些錯誤河道示例Fig.5 The drainage networks and some examples of wrong rivers in Guanyinqiao basin

匯流柵格數(shù)閾值從110增大到120時，閾值的增大忽略了小河道，河道級數(shù)從8級減小為7級，河道統(tǒng)計長度減少880 km，河道統(tǒng)計數(shù)目減少906條，由式(5)、(6)計算的分枝比皆為4.48，長度比則閾值110的河網(wǎng)為1.65，閾值120的河網(wǎng)為2.25，相差大。由式(7)計算的平均分維值前者是2.98，后者是1.85，不考慮分維值的合理性下，系列閾值下的河網(wǎng)分維值變化范圍大，選擇合適的閾值提取河網(wǎng)用以計算分維值至關(guān)重要。

表1 韓江流域兩種閾值下的河網(wǎng)特征表Tab.1 The drainage networks characteristics in two conflux thresholds of Hanjiang River basin

3.2 不考慮最高級河道時韓江流域的分維值

由表1，低級河道時，相鄰兩級的分枝比、長度比為近似的固定值，對于高級河道，如干流，數(shù)目為1，平均長度最長，其相鄰分枝比、長度比與低級河道的差別大。羅文鋒等(1998年)認為分支網(wǎng)絡(luò)端頭的維數(shù)比網(wǎng)絡(luò)整體的維數(shù)更有意義[25]，劉樂等(2015年)研究表明，位于青藏高原內(nèi)部的非最高級別河流屬性符合Horton定律，而最高級別河流屬性與Horton定律有較大的偏離[26]。分形對象具有自相似性，河網(wǎng)屬于分叉結(jié)構(gòu)，但干流幾乎貫穿整個流域，以及較低級的河道的匯入，影響河網(wǎng)形狀的自相似性。因此，不統(tǒng)計最高級河道(干流)的數(shù)量和長度，重新計算韓江流域系列閾值下的水系分維值，與整個河網(wǎng)(有統(tǒng)計干流信息)的分維值結(jié)果列于表2。

表2 不統(tǒng)計最高級河道時韓江流域分維值Tab.2 The fractal dimension of Hanjiang River basinwithout counting the highest-level channels

不統(tǒng)計干流時分枝比均值與整個河網(wǎng)的分枝比均值相同，長度比均值則變大，計算的平均分維值為1.53，介于1～2之間，數(shù)值范圍合理。

3.3 韓江各子流域分維值

分別提取各子流域系列閾值下的河網(wǎng)，統(tǒng)計子流域河道特征并計算分維值，同時計算不考慮最高級河道時的河道特征及分維值，結(jié)果列于表3。

表3 韓江各子流域河網(wǎng)特征及分維值Tab.3 The drainage networks characteristics and fractal dimensionof each sub basins of Hanjiang River basin

注：RB表示子流域河網(wǎng)的分枝比；R′B表示不包含干流時的子流域河網(wǎng)的分枝比，以此類推。

如同韓江大流域，子流域整個河網(wǎng)與不包含干流時的分枝比均值相近，長度比均值前者小于后者，由9個子流域分枝比均值和長度比均值計算的平均分維值是1.91，不統(tǒng)計干流信息時的河網(wǎng)平均分維值是1.64。不包含干流時，觀音橋子流域、溪口子流域的長度比均值較其余子流域的長度比均值大，且大于長度比的一般范圍最大值3；上杭子流域、楊家坊子流域、潮安子流域的高級相鄰河道的分枝比與低級相鄰河道分枝比接近，河網(wǎng)分形結(jié)構(gòu)好，因此以上5個子流域分維值采用完整河網(wǎng)的分維值，其余子流域分維值采用不統(tǒng)計最高級河道時的分維值，在表3中數(shù)值以加粗表示。按以上方法選取的9個子流域分枝比均值4.51，長度比均值2.66，平均分維值1.54，與韓江整個流域不包含干流時的河道特征和分維值較為一致。基于DEM的Horton定律的水系分維值計算，應(yīng)當結(jié)合流域的河網(wǎng)結(jié)構(gòu)、河道特征等合理選擇是否包含干流，以統(tǒng)計河道特征和計算分維值。

4 結(jié) 語

利用Arcgis平臺基于DEM提取系列閾值下的韓江流域及9個子流域水系，計算基于Horton定律的水系分維值。各級河道信息統(tǒng)計時，采用Arcgis重分類功能，從低級到高級逐次移除低級河道，再統(tǒng)計各級河道信息，簡便又準確。

韓江流域系列閾值下的分枝比較穩(wěn)定，均值4.51，長度比在數(shù)值2.0上下波動，均值1.98，分維值隨匯流閾值的變化幅度大，由分枝比均值和長度比均值計算的平均分維值為2.21。由于閾值變化下河網(wǎng)密度的不確定性、錯誤河道的存在、低級河道直接匯入更高級河道等，統(tǒng)計的河網(wǎng)信息和計算的分維值有偏差。當不統(tǒng)計韓江流域最高級河道信息時，分枝比均值與整個河網(wǎng)的分枝比均值相同，長度比均值則變大為2.67，計算的平均分維值為1.53，介于1～2之間，在合理的范圍內(nèi)。

韓江流域的9個子流域分枝比平均值4.50，長度比平均值2.34，平均分維值1.91；不統(tǒng)計各子流域最高級河道信息時，分枝比平均值4.51，長度比平均值2.80，平均分維值1.64；結(jié)合兩種河網(wǎng)信息統(tǒng)計方法，觀音橋、溪口、上杭、楊家坊、潮安子流域采用完整河網(wǎng)的統(tǒng)計方法，寶坑、河口、水口、橫山子流域采用不統(tǒng)計最高級河道的方法，計算的分枝比平均值4.51，長度比平均值2.66，平均分維值1.54，與韓江整個流域不包含干流時的河道特征和分維值較為一致。因此，基于DEM的Horton定律的水系分維值估算，應(yīng)當結(jié)合流域的河網(wǎng)結(jié)構(gòu)、河道特征值等合理選擇是否包含干流，或者后續(xù)研究中，應(yīng)當區(qū)分低一級河道匯入高一級河道與直接匯入高幾級河道的情況，再統(tǒng)計河道特征和計算分維值。

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